Bases du RT des ondes scalaires

Cette section est dédiée aux bases mathématiques et physiques du phénomène de RT des ondes scalaires en général.

Considérons la propagation d’une onde scalaire sphérique dans un milieu non dissipatif, homogène, linéaire, isotrope et sans pertes. Cette propagation est caractérisée par une fonction scalaire d’onde,ψ(r¹,t), qui satisfait l’équation d’onde sans sources :

, 0 ) , ( 1 ) , ( 2 2 2 = ∂ ∂ − ∆ r t t c t r¹ ψ ¹ ψ _(2.1)

où r¹et t sont les coordonnées spatiale et temporelle et c est la vitesse de propagation de l’onde (comme le RT des ondes EM est envisagé, on considère que la vitesse de propagation de l’onde est la vitesse de la lumière). L’operateur laplacien, en coordonnées cartésiennes, est défini comme :

1

Nétant la dimension de l’espace.

D’un point de vue mathématique, le RT implique le remplacement de la variable temporelle

t par (−t). En conséquence, pour que l’onde retournée temporellement soit solution de l’équation (2.1), il faut que cette équation reste invariante lorsque t est remplacée par

)

(−t . Alors, on note que le premier terme de l’équation (2.1), ∆ψ(r¹,t), ne dépend pas du temps, car l’operateur agit sur la distribution spatiale de ψ(r¹,t). Quant au deuxième terme de l’équation (2.1), il est proportionnel à la dérivée du second ordre par rapport au temps. En conséquence, si ψ(r¹,t) est solution de l’équation d’onde, alors ψ(r¹,−t) est également une solution et son sens physique est celui d’une onde retournée temporellement.

Autrement dit, l’équation reste invariable au RT. Il est donc possible de retourner temporellement une onde se propageant dans un milieu non dissipatif [1], [4].

Dans un milieu dissipatif, une perte d’énergie difficilement modélisable a lieu. La propriété de symétrie de l’équation d’onde n’est plus valable s’il y a de l’atténuation. Si le milieu est caractérisé par une atténuation dépendant de la fréquence, l’équation d’onde peut contenir des dérivées d’ordre impair par rapport au temps. En conséquence, l’invariance au RT est perdue. Pourtant, si le coefficient d’atténuation est suffisamment petit dans la gamme de fréquences utilisées, le processus reste invariant au RT [6]. Les limitations du RT des ondes acoustiques, dans des milieux solides, ont été investiguées dans [12]. Le RT dans des milieux dissipatifs reste un sujet en cours d’étude [13].

De même, dans toute expérience de propagation, les conditions initiales et les conditions aux limites déterminent une solution unique, ψ(r¹,t), de l’équation d’onde. Le but, dans le processus inverse, est de modifier les conditions initiales afin de générer la solution duale,

) , (r¹ −t

ψ . Cependant, cette solution n’est pas réaliste puisqu’elle demande l’échantillonnage, et l’enregistrement (dans la mémoire) des champs dans tout le volume de l’espace. Une solution beaucoup plus réaliste utilise les avantages du principe de Huygens (Fig. 2.2) qui s’énonce de la manière suivante : « Les ondes se propagent selon le mécanisme suivant : chacun des points d'un front d'onde agit comme une source de petites ondes secondaires. À un instant ultérieur, l'enveloppe des bords avant des petites ondes forme le nouveau front d'onde.»

Fig. 2.2 Principe de Huygens.

En utilisant le principe de Huygens, le champ en tout point d’un volume de l’espace peut être construit à partir du champ sur une surface fermée qui entoure ce volume.

Il est à noter, qu’afin de pouvoir reconstruire le champ dans tout le volume de l’espace, l’invariance au RT et la réciprocité spatiale sont demandées en même temps.

2.1.1.1 RT des ondes acoustiques

Le RT des ondes acoustiques a été étudié depuis longtemps, la focalisation spatiale et la compression temporelle étant cherchées en théorie et en pratique. Les applications des dispositifs de RT en acoustique ont été intensivement investiguées dans les deux dernières décennies pour le domaine médical [13], pour l’acoustique sous-marine [14], pour les cavités chaotiques [15], [16] et pour les milieux à dispersion multiple [17].

Comme il a été montré auparavant, pour un milieu non-dissipatif hétérogène, l’équation d’onde (2.1) est invariante à l’opération de RT. Ainsi, pour toute onde scalaire ψ(r¹,t)

émise par une source et potentiellement réfléchie, réfractée ou diffractée par le milieu hétérogène, il existe, en théorie, un set d’ondes ψ(r¹,−t) qui se retro-propagent et convergent d’une manière synchrone à la source originale, comme si le temps coulait à l’inverse. Cette idée se trouve à la base du processus de RT en acoustique.

En profitant de ces propriétés, le concept de « cavité à retournement temporel » (CRT) a été introduit par Fink et al. [6] [18], et quelques dispositifs ont été construits pour illustrer l’efficacité de ce concept. Dans un tel dispositif, une source acoustique, placée dans un milieu hétérogène et sans pertes, émet un signal transitoire de courte durée qui se propage et qui est distordu par le milieu. Le champ acoustique est ensuite enregistré/mesuré sur une surface qui enferme les sources. Dans un deuxième temps, la source initiale reste passive. Le champ enregistré auparavant est retransmis, sur la même surface, dans une chronologie inverse. L’onde ainsi générée se retro-propage vers la position initiale de la source et est focalisée sous la forme d’une tache focale. C’est ce qu’on appelle

« focalisation spatiale ». De plus, le signal formé au niveau de la source est court : on parle

alors de « compression temporelle ».

L’information importante qui a été ajoutée est le fait que les ondes acoustiques dans un volume de l’espace peuvent être reconstruites à partir des valeurs des champs de pression enregistrées sur une surface enfermant les sources. De cette manière, l’approche inverse est simplifiée, car au lieu de définir des conditions initiales dans tout le volume de l’espace, afin de créer ψ(r¹,−t), il suffit de les définir uniquement sur une surface délimitant le volume respectif. Cette propriété ressemble beaucoup au théorème de la surface équivalente que nous allons appliquer pour le cas des ondes EM qui nous intéressent.

Du point de vue pratique, la CRT n’est pas physiquement réalisable, car il est difficile à concevoir une cavité sphérique ayant un nombre très élevé de transducteurs sur sa surface. En conséquence, le concept de « miroir à retournement temporel » (MRT) a été ensuite introduit. Avec cette notion, la surface fermée contenant les transducteurs a été réduite à une surface plane, facilement réalisable.

Il faut remarquer que le signal ψ(r¹,−t) est anti-causal, ce qui n’a pas de sens physique. De fait, généralement on utilise des signaux de durée finie, variant entre 0 et t₁. L’enregistrement doit être donc limité dans le temps, par le choix de la durée de la fenêtre temporelle T_f >t₁ (T_f est choisi tel que la perte d’information puisse être considérée comme négligeable). Ainsi, après avoir enregistré le signal ψ(r¹,t) suite à l’approche directe, le signal ψ(r¹,T_f −t) est construit. Toutefois, par facilité d’écriture, on garde la notation simplifiée ψ(r¹,−t).

Il faut signaler également que l’étude du RT en acoustique a été initialement focalisée sur deux applications principales : la thérapie avec des ultrasons (pour les tumeurs ou pour la destruction de calculs rénaux [5]) et les communications acoustiques sous-marines. Pour les deux applications pratiques, l’auto-focalisation à la source est accomplie en utilisant une MRT et sans connaitre le milieu entre la source et la MRT. En revanche, pour simuler le RT, nous aurons besoin de connaître le milieu de propagation.

2.1.1.2 Procédure employée

Cette section est basée sur le procédé de retro-propagation, introduit par R.P. Porter et A.J. Devaney en 1982 [19], développé pour les problèmes inverses.

L’expérience de RT contient deux étapes et peut être décrite de la manière suivante :

a) Propagation directe (première étape)

On considère une ou plusieurs sources sonores situées à l’intérieur d’un certain volume de l’espace. Le processus utilisé en acoustique commence par une première étape, de propagation directe des ondes sonores. Elle finit par l’enregistrement du champ au niveau d’un certain nombre de récepteurs. Ces récepteurs sont placés sur la surface (S) entourant le volume de l’espace considéré (Fig. 2.3a). Le milieu de propagation peut être

hétérogène, cas dans lequel l’onde générée est réfléchie, réfractée et difractée, d’une manière complexe, dans le milieu respectif.

b) Retro-propagation (deuxième étape)

Afin de simuler la retro-propagation des ondes, les signaux acoustiques enregistrés suite à la première étape sont d’abord inversés dans le temps (selon la technique « dernier arrivé, premier sorti »). Ensuite, ils sont réémis par les émetteurs situés sur la même surface (S) (Fig. 2.3b). L’excitation des signaux retournés temporellement donne naissance à une onde qui parcourt le même chemin que celle initiale, mais en sens inverse. Ainsi, il a été démontré que pour recréer cette onde qui converge vers la position initiale de la source, il suffit de connaitre le champ de pression sur la surface (S).

(a) _(b)

Fig. 2.3 (a) Etape de propagation directe et d’enregistrement du champ; (b) Etape de retro-propagation.

2.1.2 Analyse mathématique du phénomène de RT. Théorie de