A.2 Définitions importantes en dynamique du fluide
2.2 Configuration de trois "contrôle-volume"
˙ si=−µ(si) γi xi+Di(si−1−si) ˙ xi= (µ(si)−Di)xi+Dixi−1, i=1, ...,n
oùDi=Q/Vi,si (respxi) représentent la concentration en substrat (resp la concentration en biomasse) dans lei-ème bioréacteur(i=1, ...,n)., avecs0=sin,x0=0 etVi=Vn.
Le comportement qualitatif de ce système d’équations différentielles ordinaires (EDO) est aujourd’hui bien compris (voir la section 1.5 et 2.5), que pour lequel on utilise différents schémas numériques ro-bustes pour résoudre ce système d’EDO (Runge-Kutta, LSODA ...) qui ont été tous parfaitement consis-tents avec l’étude analytique des états d’équilibres et de leur stabilité. Cela nous amène à faire confiance aux solutions numériques obtenues par l’intégration numérique des EDOs de ce modèle.
Pour simuler le modèle du chemostat avec les modèles du transport réactif, nous avons considéré un
sout Q sin Q Troisième V.C. 1m, 3 cellules Premier V.C. Z
FIG. 2.2 – Configuration de trois "contrôle-volume"
Di-richlet et valent 0 sur la face de sortie, et de type Neumann sur la face d’entrée spécifiant un débit Q[l.s−1]. Un choix spécifique deQnous a donné un milieu qui est parfaitement saturé pour tout temps. Les conditions aux bords concernant la partie réactive du problème sont de type Neumann sur la face de sortie et de type Robin sur la face d’entrée avec une valeur égale àsinpour la concentration en substrat. Pour simuler plusieurs chemostats connectés en série sans diffusion, nous avons choisi le coefficient de diffusion dans l’eau et dans l’air, ainsi que le coefficient spécifique du stockage égale à zéro. La porosité du milieu formé d’une seule zone est choisie égale à 1. L’unité du temps choisie est le jour, avec un pas de temps maximal de 10−3jour et un pas de temps initial de l’ordre de 10−10jour .
Finalement, nous avons considéré une simple réaction irreversible exprimant la bio-conversion d’une mole du substrat en mole de biomasse. La cinétique de croissance spécifique à la biomasse considérée ici est de type Monod :
µ(s) = µmax.s ks+s,
avec µmax[s−1] représente le maximum de la réaction cinétique et ks[mol/l] la constatnte de demi-saturation.
Dans une deuxième étape, nous gardons les mêmes considérations spatiales mais cette fois-ci avec deux éspèces, en supposant que chaque espèce à une fonction de croissance qui suit la loi de Monod. On considère que la ressource limitante est le seul facteur limitant, et que les espèces n’entrent en compétition que via leur consommation de la ressource commune. On se concentre sur le cas d’une "vraie" compétition, dans le sens que celui des compétiteurs qui utilise le mieux le substrat en faible quantité survit et les autres s’éteignent.
2.4 Résultas et discussion
Notons pars?M (resp.s?C) la valeur de la concentration en substrat calculée par MIN3P (resp. par le modèle du chemostat) à l’équilibre, et parx?M la valeur de la concentration en biomasse donnée par MIN3P à l’équilibre. Soitδ la valeur absolue de la différence entres?M etsC?, qui sert d’indicateur de divergence entre les simulations des deux modèles.
Pour la comparaison des deux modèles, nous représentons d’abord l’indicateurδ comme une fonction deQ. Puis, pour étudier l’effet d’une discrétisation spatiale, nous examinerons ensuiteδ en fonction du
nombre de cellules.
Pour simplifier l’écriture, nous omettons de préciser les unités des valeurs numériques que nous donnons ci-dessous (les concentrations sont supposées être mesurées enmol.l−1, les volumes en l, les flux en l.s−1et les taux de croissance ens−1).
2.4.1 Cas d’une seule espèce
Pour les simulations, nous avons choisisin=3,ks=1,x(0) =2 ets(0) =5.
En choisissantµmax=4.10−5, nous avons étudié la variation deδ par rapport àQdans le premier et le troisième "contrôle-volume". Selon les graphes deδ qui correspondent au premier (resp. troisième) "contrôle-volume" (voir Figure 2.3, Sortie (resp. Entrée)), nous remarquons que pour 10−6≤Q≤10−5, on se trouve avec une différence significative entre les simulations des deux modèles dans le "contrôle-volume" d’entrée, et qui est encore plus grande dans le "contrôle-"contrôle-volume" de sortie. Mais pour 10−5≤
Q≤15.10−6, on n’a presque pas de différence dans le "contrôle-volume" d’entrée, et on observe un saut deδ au voisinage deQ=10−5dans le "contrôle-volume" de sortie.
Nous savons d’après la théorie du chemostat (voir la section 2.5, Proposition 2.1), que pour un volume parfaitement mélangé, en présence d’une seule espèce qui croît sur un seul substrat limitant, la condition
µ(Sin)
D >1 assure que la biomasse xne sera pas lessivée à l’équilibre. Maleureusement, ce résultat n’a pas été observé dans les simulations avec MIN3P. Pour montrer cela, nous avons étudié la variation de la concentration de la biomassexpar rapport àQdans le "contrôle-volume" d’entrée. Nous observons que la biomasse est lessivée pourQ≥8.10−6 (voir Figure 2.3,x?M en pointillés). Or, lorsque 8.10−6≤
Q<10−5, nous avons µ(Sin)
D1 =10Q−5 >1, et on peut observer sur le graphe deδ la différence entre les simulations obtenues par les deux modèles dans le "contrôle-volume" d’entrée.
Dans le cas de trois chemostats de même volune connectés en série et traversés par le même débitQ, le lessivage de la biomasse dans le "contrôle-volume" d’entrée doit conduire théoriquement à son lessivage dans le "contrôle-volume" de sortie. Or ce n’est pas le cas avec MIN3P et nous pouvons remarquer sur la figure 2.3 (Sortie), que pour 8.10−6≤Q≤15.10−6, nous atteignons le lessivage de la biomasse dans le "contrôle-volume" d’entrée, et la biomasse dans le "contrôle-volume" de sortie n’étant pas encore les-sivée. En d’autres termes, sous certaines conditions, les croissances microbiennes prédites par les deux simulations sont radicalement différentes.
0.0e+00 5.0e−06 1.0e−05 1.5e−05 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Q δ x?M Entrée Sortie