Conductivité électrique dans les composites et percolation : l’état de l’art

On trouve dans la littérature quatre classes principales de modèles de conductivité qui incluent les modèles statistiques, thermodynamiques, géométriques et les modèles orientés structure, décrits en détail par Lux [63]. Une brève description de chaque classe de modèles est donnée ci-aprés [64].

V- 1- Modèles de percolation statistique

La plupart des modèles trouvés dans la littérature sont de type percolation statistique. Ces modèles prédisent typiquement la conductivité selon la probabilité de contacts des particules dans le composite. Deux des premiers modèles de percolation souvent référencés étaient à l'origine proposés par Kirkpatrick [16] et Zallen [65]. Une matrice finie et régulière de points (tels que cubiques à faces centrées ou cubiques centrés) et de liens (entre les points) a été utilisée pour déterminer la concentration permettant d’avoir le phénomène de percolation.

43 Par simulation, il était possible de prédire les points et les liens qui appartenaient à un amas et de déterminer si cet amas joignait les frontières du système. Il était alors possible de prédire le seuil de percolation, mais des calculs supplémentaires étaient nécessaires pour convertir les valeurs prédites en fractions volumiques.

Le modèle proposé suit une loi de puissance de la forme suivante :

t c i

c  (vv )

 (II-30)

où c est la conductivité électrique du composite, i la conductivité électrique de la charge,  la fraction volumique des inclusions (charge), _c la fraction volumique du seuil de percolation et t dépend des dimensions du réseau.

Ce modèle particulier n'était pas complètement précis dans le calcul de la conductivité électrique. Cependant, il est devenu la base pour beaucoup de modèles de conductivité apparus ultérieurement.

V- 2- Modèles thermodynamiques

Mamunya et al [66,67] ont étudié la conductivité d’un composite en fonction de la fraction volumique des inclusions pour différents polymères d’une manière qui leur a permis d'évaluer l’influence d'autres facteurs sur la conductivité. Ces facteurs incluent, entre autres, les énergies de surface de la charge et du polymère ainsi que la viscosité du polymère fondu. Le modèle résultant a montré que le comportement de percolation dépendait de l'interaction inclusion-polymère, en plus de la taille et de la quantité des inclusions.

Pour tous les points au-dessus du seuil de percolation, la conductivité du composite s’exprime par : k c c p F p c v F v v          

log (log log )

log    (II-31) c c c v v v K k ) (    (II-32) mi B A K   (II-33)

où p est la conductivité électrique au seuil de percolation, F la conductivité électrique du composite quand = F où F est la fraction volumique maximum de remplissage; mi est la tension de surface interfaciale; A, B et c sont des constantes.

44 La valeur de k dépend de la fraction volumique des inclusions, du seuil de percolation et de la tension interfaciale calculée par l'équation de Fowkes [68] qui s’écrit sous la forme : 5 . 0 ) ( 2 _m^d _i^d i m mi         (II-34)

où m est l'énergie de surface totale du polymère, (égale à la somme des énergies de surface dispersive et polaire du polymère); i est l'énergie de surface totale de l’inclusion, qui est la somme des énergies de surface dispersive et polaire; m^d est l'énergie de surface dispersive du polymère et i^d est l’énergie de surface dispersive de l’inclusion.

Mamunya et al [66,67] ont utilisé une forme modifiée de l'équation de Fowkes pour

déterminer _mi de leur système:

5 . 0 ) ( 2 _{m i} i m mi         (II-35)

Ce modèle présente un bon accord entre les valeurs calculées et les données expérimentales pour différents polymères chargés de noir de carbone.

V- 3- Modèles de percolation géométrique

Selon Lux [63], cette classe de modèles de percolation était destinée à l'origine pour prédire la conductivité des mélanges frittés de poudres conductrices et isolantes. L’hypothèse majeure est que pendant le processus de frittage, le matériau isolant forme des particules cubiques régulières, tandis que les particules conductrices s'arrangent de façon régulière sur la surface des particules isolantes. Les principaux paramètres utilisés pour déterminer la conductivité sont le diamètre des particules non frittées ou les longueurs de côté des particules isolantes frittées.

Un modèle bien connu dans cette classe est celui proposé par Malliaris et Turner [54]. Deux équations sont utilisées pour prédire deux fractions volumiques : une pour calculer le seuil de percolation et l’autre pour la fraction volumique à la fin de l’augmentation de la conductivité. Ces équations utilisent le diamètre des particules, la probabilité d'occurrence de longues chaînes de particules conductrices à la surface des particules isolantes et l'arrangement des particules conductrices à la surface des particules isolantes.

La comparaison avec des résultats expérimentaux a montré que ces équations n'étaient pas capables de prédire avec précision les fractions volumiques

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V- 4- Modèles orientés structure

Les modèles orientés structure sont basés sur la construction physique du composite final. La conductivité électrique des matériaux composites est souvent affectée par les propriétés structurelles telles que le facteur de forme et l’orientation des inclusions. Ces propriétés sont typiquement un résultat des techniques de traitement employées pour élaborer le composite. Par exemple, le moulage par injection d’un composite causera un alignement des inclusions dans un polymère en raison du flux à travers le bec (nozzle) et le moule. L'alignement des inclusions peut donner différents résultats de conductivité, selon la direction de la mesure. Les procédés d’extrusion et moulage par injection peuvent aussi dégrader les inclusions, raccourcissant les longueurs.

Weber et Kamal [69] ont proposé deux modèles (contact bout à bout et contact entre fibres) tenant compte de la concentration des inclusions, dimensions, facteur de forme et orientation. Le système étudié consistait en des fibres de graphite couvertes de nickel dans le polypropylène. Le modèle bout à bout considère que l'échantillon consiste en des chaînes conductrices de fibres connectées de bout en bout dans une matrice polymérique et que les fibres sont alignées dans la direction du test de la conductivité électrique.

Un autre modèle proposé tient compte des contacts de fibre à fibre, de la longueur de fibre et de l’alignement des fibres à un angle  de la direction du test de la conductivité électrique. L'équation résultante pour le contact peut être exprimée comme suit :     ₂ 2 , cos 4v d L X d c p f long c  (II-36) c n X 15 . 0 59 . 0 1   (II-37) v v_p ₀ (II-38) c t c v v v v    0  (II-39)

où c, long est la résistivité longitudinale du compositef la résistivité électrique de la fibre, X la fonction du nombre de contacts, dc le diamètre du cercle de contact, d le diamètre de la fibre, L la longueur des fibres, nc le nombre de contacts, v la fraction _p

46 volumique de fibres participant aux chaînes conductrices,  l'angle d'orientation et v _t la valeur seuil à laquelle toutes les fibres participent aux chaînes.

Bien que certains modèles orientés structure puissent prédire avec précision la conductivité, une limitation majeure à tous les modèles de cette classe est qu'ils ne tiennent compte ni prédisent les interactions d'énergie de surface qui sont connues pour avoir un effet significatif sur la conductivité du composite. Le modèle thermodynamique de Mamunya et al [66] montre que la conductivité est reliée aux interactions de surface du polymère et des inclusions. Le modèle de Mamunya et al [66] donne le meilleur ajustement des données expérimentales parce qu'il tient compte du facteur de forme et de l’énergie de surface dans les calculs de conductivité. Cependant, il y a des limitations dans chaque modèle qui peut affecter de façon significative les calculs. Par exemple, dans le modèle de Mamunya et al, la structure du composite n’est pas considérée.

Le modèle de structure de Weber et Kamal [69] s’appuie sur des paramètres qui seraient très difficiles à mesurer expérimentalement et doivent être considérés ou calculés à partir de résultats expérimentaux. Les limitations de chaque modèle doivent être prises en compte puisqu’elles sont examinées pour des types de systèmes différents.

VI- Conclusion

Cette étude bibliographique nous a permis de présenter les théories susceptibles de modéliser le comportement électrique des composites. Il apparaît au vu des recherches bibliographiques que deux théories permettent cette modélisation :

- la théorie du milieu effectif qui est adaptée dans le cas où les propriétés de la charge et de la matrice ne sont pas trop éloignées.

- la théorie de la percolation utilisable lorsque ce contraste de propriétés tend vers l’infini.

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Chapitre III