Le critère minimisé pour réaliser la déconvolution et défini à l’équation (3.20) n’est pas convexe. Sa minimisation étant réalisée par une méthode d’optimisation continue (VMLM-B), l’objet et la PSF reconstruits dépendent des conditions initiales. Comme on utilise une minimisation alternée, si chacun des critères est convexe alors il y a deux cas de figure : soit on commence par estimer l’objet et alors seule la PSF initiale a un rôle, soit on commence par estimer la PSF et alors seul l’objet initial importe. La déconvolution aveugle étant très dégé-nérée il est crucial d’estimer lors de cette première itération une solution qui permettra à la fin des minimisations alternées de trouver une solution satisfaisante. En effet, dans le cas d’un flou gaussien en particulier, la PSF peut souvent être décomposée comme la convolution de noyaux plus petits. Le risque est alors lors de la première estimation de la PSF de ne trou-ver qu’un de ces noyaux. Si cela se produit, la minimisation alternée restera autour de cette solution sous-optimale et les données ne seront pas suffisamment déconvoluées. Il est donc important de définir la PSF ou l’objet initial de manière à éviter les solutions sous-optimales. 3.9.1 PSF initiale
Dans le cas où l’on commence par estimer l’objet, si le critère est convexe la solutionx(1)
ne dépend que de la PSF initialeh(0)et des données y. Si l’on dispose d’une PSF a priori hprior il est raisonnable de penser que cet a priori constitue une bonne PSF initiale. Certains auteurs commeCHANetWONG(1998) utilisent un Dirac comme PSF initiale mais cela risque d’aboutir à un objet reconstruit trop proche de l’objet flou.
3.9.2 Objet initial
De même, si le critère est convexe et que l’on commence par estimer la PSF alors seul l’objet initialx(0)compte. Malheureusement on ne dispose pas en général d’objets a priori que
l’on pourrait utiliser. Cependant si l’objet initial ne doit pas conduire à des solutions sous-optimales, il ne doit pas obligatoirement être un objet a priori. C’est dans cet esprit que nous proposons une manière d’obtenir un objet initial satisfaisant.
L’idée proposée se base sur le fait que certaines zones des données portent plus d’informa-tion sur la PSF que d’autres. En effet, le flou sera quasiment sans conséquence sur les zones de structure plutôt basse-fréquences comme les zones uniformes ; à l’inverse les zones de l’objet comprenant des haute-fréquences seront bien plus affectées. Parmi ces zone haute-fréquences, c’est en particulier autour des bords francs de l’image que l’effet du flou sera le plus visible. Caractériser leurs dégradations permettrait donc de caractériser la PSF. C’est pourquoi nous proposons d’effectuer un traitement non linéaire sur les données faisant ressortir les bords les plus francs pour fournir l’objet initial. Ainsi lors de la première minimisation alternée, l’algo-rithme “calibrera” la PSF comme étant la déformation qui permettant de passer de ces bords très marqués aux bords flous des données. Cette PSF sera donc plus proche de la PSF “vrai” et évitera ainsi ces solutions sous-optimales.
L’objet obtenu par un traitement non-linéaire doit avoir plusieurs caractéristique : (i) pour respecter la normalisation de la PSF, il doit présenter la même moyenne que les données, (ii) les textures susceptibles de brouiller la PSF doivent être supprimées, (iii) seul les bords francs entre des zones très contrastées de la scène doivent être gardés. Cet objet doit donc être com-posé uniquement de quelques zones uniformes très contrastée. De nombreuses méthodes de
segmentation permettent d’accomplir ce traitement, en particulier les segmentation utilisant des méthodes de “graph-cut” semblent être très adaptées à ce travail de décomposition de la scène floue en quelques zones uniformes.
F. 3.6 —Image d’origine. F. 3.7 —Image floutée par un disque de 7 pixels de rayon + un bruit gaussien centré de varianceσ2= 1 ni-veau sur 8 bits.
F. 3.8 —Objet initial obtenu par un traitement non-linéaire des données.
Nous avons appliqué cette technique dans le cas de la déconvolution aveugle de l’image du caméraman déjà utilisée aux chapitres précédents (Fig.1.2). Ces données ont été produites par la convolution de l’image nette par une PSF en forme de disque de 7 pixels de rayon à laquelle a été ajouté un bruit blanc gaussien de varianceσ2 = 1 niveau de quantification sur 8 bits. Elle est affiché figure3.7. L’objet initial formé par le traitement non-linéaire de ces don-nées est affiché à la figure3.8. Pour ne pas pénaliser les bords francs de la PSF, la régularisa-tion de la PSF est effectuée par la norme`2–`1appliquée aux gradients avec l’hyper-paramètre
βS = 1010; pour favoriser partout un comportement`1 sans pénaliser la convergence, le seuil a été arbitrairement fixé àη = 10−5. Un disque de20 pixels de rayon a été utilisé comme sup-port afin de diminuer le nombre de paramètres à estimer sans biaiser la reconstruction. Sur la figure3.12est affichée une coupe ày = 1 des PSFs vraie (Fig.3.9), obtenue à la première itération (Fig.3.10) et à la fin de la minimisation alternée (Fig.3.11). On y observe qu’un tel objet initial permet d’obtenir dès la première itération, une PSF très proche de la vérité. L’objet reconstruit à la convergence de la minimisation alternée en utilisant la norme`2–`1appliquée aux gradients avec les hyper-paramètresαS = 1.2×10−2et η = 1, est présenté figure3.13. Il donne une erreur quadratique moyenne deEQM = 22.5 dB à comparer avec l’erreur obtenue lorsque la PSF est connue :EQM = 20.8 dB. En comparant avec les résultats présenté sur le tableau 2.1page63, on peut constater que ce résultat est équivalent en terme d’erreur qua-dratique moyenne avec une déconvolution à PSF connue utilisant le filtre de Wiener.
Pour confirmer la pertinence de ce traitement non linéaire pour générer l’objet initial, nous avons utiliser cette technique lors la déconvolution aveugle dans le cas d’un flou gaussien. L’image du cameraman a donc été dégradée par un flou gaussien de largeur à mi-hauteur de 7 pixels et un bruit blanc gaussien additif de variance σ2 = 1 niveau de quantification sur 8 bits. L’image floue est présentée figure3.14. L’objet initial fourni est très proche de celui présenté à la figure3.8dans le cas d’un flou “disque”. La régularisation utilisée est une simple norme quadratique appliquée aux gradients avec l’hyper-paramètreβS = 1×107. Les coupes
+0.0000 +0.0007 +0.0014 +0.0021 +0.0028 +0.0034 +0.0041 +0.0048 +0.0055 +0.0062 +0.0069 F. 3.9 —PSF originale. +0.0000 +0.0007 +0.0014 +0.0021 +0.0028 +0.0035 +0.0042 +0.0049 +0.0056 +0.0063 +0.0070 F. 3.10 — PSF recons-truite d’après l’objet initial (Fig.3.8). +0.0000 +0.0007 +0.0014 +0.0022 +0.0029 +0.0036 +0.0043 +0.0051 +0.0058 +0.0065 +0.0072 F. 3.11 —PSF reconstruite d’après la convergence de la minimisation alternée. -5 0 5 10 0.000 0.005 X en pixel
F. 3.12 —Coupe horizontale, au centre (à
y = 1) de la PSF originale (ligne continue noire) et des PSFs reconstruites à la pre-mière itération à partir de l’objet initial (ligne tiretée rouge) et à la fin de la minimisation alternée (tiret-point bleu).
F. 3.13 — Objet reconstruit en fin à la convergence de la minimisation alternée (EQM = 22.5 dB).
figure3.15. Comme dans le cas où la PSF est un disque, on peut constater que dès la première itération, la PSF est assez proche de la vérité. On peut observer que les PSFs reconstruites sont légèrement décentrées, ce décalage est l’effet de la dégénérescence suivant une translation dans deux sens opposés du couple PSF/objet reconstruits. Il est sans effet réel sur la qualité du résultat peut être corriger a posteriori.
L’objet est reconstruit avec une régularisation utilisant la norme`2–`1appliquée aux gra-dients avec les hyper-paramètres (fixés de façon optimale)αS = 1.8×10−2etη = 1. Le résultat à la convergence de la minimisation alternée est affiché sur la figure 3.16. La qualité de la reconstruction (EQM = 25.2 dB) doit être comparée avec la reconstruction lorsque la PSF est connue. Cette déconvolution simple est effectuée avec la même régularisation sur l’objet avec l’hyper-paramètreαS = 4×10−3. L’objet déconvolué, montré figure3.17, présente une erreur
F. 3.14 — Image dégradée par un flou gaussien de largeur à mi-hauteur de 7 pixels et par un bruit blanc gaussien additif de va-rianceσ2 = 1niveau de quantification sur 8 bits. -10 -5 0 5 10 0.000 0.005 0.010 0.015 X en pixel F. 3.15 —Coupe ày = 1de la PSF origi-nale (ligne continue noire) et des PSFs re-construites à partir de Fig.3.8à la première itération (ligne tiretée rouge) et à la fin de la minimisation alternée (tiret-point bleu).
quadratique moyenne deEQM = 23.8 dB. Visuellement les mêmes détails peuvent être dis-tingués sur ces résultats même si le résultat de la déconvolution aveugle présente une sorte de granulosité sur dans les zones uniformes. Bien que visuellement les images dégradées par un disque (Fig.3.7) ou par une gaussienne (Fig.3.14) semblent de résolutions équivalentes, le flou gaussien atténue bien plus fortement les hautes fréquences, ce qui explique la différence de qualité de reconstruction (à PSF connue en particulier) entre ces deux cas.