Analyse d’hologrammes simulés

Pour démontrer l’efficacité de la méthode proposée, nous l’avons d’abord testée sur des données simulées. Ces données ont été simulées en utilisant l’équation (4.16), c’est-à-dire avec les termes non linéaires des figures de diffraction et avec les termes d’interférences entre les différentes figures de diffraction mais sans simuler la déformation du front d’onde lors du passage à travers le volume d’étude. De plus, l’effet d’intégration sur le pixel est négligé et aucun bruit n’a été ajouté aux simulations. Ces simulations nous permettent d’étudier la précision de cette méthode dans différentes configurations, c’est-à-dire avec différents para-mètres moyens (en particulier différentes tailles de particules) et différentes concentrations. 4.7.1.1 Influence de la taille et de la concentration

F. 4.11 —Hologramme de 10 petites par-ticules.

F. 4.12 —Hologramme de 100 petites par-ticules.

Tout d’abord nous avons fait varier le nombre de particules et leur taille afin d’étudier leur influence sur la précision des résultats donnés par la méthode. Les simulations ont été effectuées en considérant un laser de longueur d’onde632.8 nm diffracté par des particules si-tuées aléatoirement dans un volume d’étude de taille8 mm × 8 mm × 30 mm. Les hologrammes ainsi simulés sont discrétisés sur8 bits et 1024 × 1024 pixels carrés de 6.70 µm × 6.70 µm, ce qui signifie que toute les particules sont dans le champ du capteur. Deux tailles moyennes (rayons compris entre35 µm et 50 µm d’une part et entre 3.5 µm et 5 µm d’autre part) et deux concentrations différentes (10 et 100 particules) ont été testées. Afin de rester dans les condi-tions dans lesquelles on peut décrire les figures de diffraction sous la forme analytique définie à l’équation (4.11), le volume d’étude est placé à250 mm pour les particules de rayons faible et à100 mm pour les grosses particules. Deux hologrammes générés avec des particules de petit rayons sont présentés sur les figures4.11et4.12.

Une fois les particules toutes détectées, nous avons calculé l’écart-type des erreurs d’es-timation sur chacun des paramètres. Ces résultats sont présentés sur le tableau 4.1. Tout d’abord on peut constater une très bonne précision, toujours inférieure à 0.3µm ((1

nombre de rayon ∆x ∆y ∆z ∆r particules des particules (µm rms) (µm rms) (µm rms) (µm rms) %

10 35 µm ≤ r ≤ 50 µm 0.27 0.26 0.74 0.06 (≈ 0.14%)

100 35 µm ≤ r ≤ 50 µm 0.30 0.30 2.37 0.12 (≈ 0.28%)

10 3.5 µm ≤ r ≤ 5 µm 0.28 0.28 0.26 0.15 (≈ 3.5%)

100 3.5 µm ≤ r ≤ 5 µm 0.28 0.29 0.85 0.51 (≈ 12%)

T. 4.1 — Ecart-type des erreurs d’estimation des paramètres des particules pour différentes configurations simulées.

pixel) latéralement, à3µm ((¹₂)ième de pixel) en profondeur et à0.6µm ((₁₀¹)ième de pixel) sur le rayon. De plus, la concentration, comme la taille des particules, semblent avoir peu d’in-fluence sur l’erreur latérale d’estimation. Par contre, plus les particules sont petites, plus il y a d’anneaux de diffraction enregistrés sur l’hologramme et donc plus l’estimation de z est précise. A l’inverse, plus les particules sont grosses plus il y a de lobes de la figure de dif-fraction qui sont enregistrés et donc plus l’estimation (relativement à sa taille) du rayon est précise. On peut aussi constater que la précision surz et r diminue lorsque la concentration augmente. Ceci peut s’expliquer par deux phénomènes : (i) plus il y a de particules, plus les hautes fréquences et donc plus les anneaux éloignés du centre de la particule sont brouillés, diminuant le nombre d’anneaux de diffraction sur lesquels peut se faire l’estimation dez et r ; (ii) plus il y a de particules et plus les termes d’interférences entre leurs figures de diffraction sont importants et perturbent le modèle et donc l’estimation de z et r. Il semblerait en pra-tique que la première cause (brouillage des hautes fréquences) prévale sur la seconde en ce qui concerne la précision sur la profondeurz.

4.7.1.2 Influence de la taille du champ

Comme nous l’avons affirmé dans la section4.6.4, l’étape de détection permet de détec-ter des particules hors du champ du capteur. Pour étudier cette caractéristique, nous avons appliqué cet algorithme deux fois sur le même hologramme : une fois sur la totalité de l’ho-logramme (1024 × 1024 pixels) dans lequel toute les particules sont dans le champ, une autre fois uniquement en considérant le quart central (512 × 512 pixels) de celui-ci soit avec les trois quarts des particules situées hors-champ du capteur. Trois hologrammes différents ont été simulés avec trois tailles différentes de particules : de3.5 µm à 5 µm, de 15 µm à 20 µm et de 30 µm à 40 µm. Dans tous les hologrammes 100 particules ont été aléatoirement distribuées dans un volume de taille8 mm × 8 mm × 30 mm situé à 250 mm du capteur. La longueur d’onde du laser est632.8 nm et la taille des pixels est 6.70 µm × 6.70 µm.

L’écart-type des erreurs d’estimation sur chacun des paramètres est présenté sur le ta-bleau4.2. Comme l’estimation dez et de r est d’autant plus précise que le nombre d’anneaux de diffraction enregistré est grand, cette précision diminue avec la taille du champ. Comme à la section précédente, on peut constater que plus les particules sont petites, plus l’estimation de la profondeur est précise car les anneaux de diffraction situés loin du centre de la parti-cule sont d’autant moins atténués que la partiparti-cule est petite. C’est pour la même raison que la précision latérale diminue avec la taille du champ pour des particules de gros diamètres.

Les différences avec les résultats de la section précédentes peuvent s’expliquer par le fait que l’on n’ait simulé qu’un seul hologramme. Or nous avons observé que l’estimation des

taille du rayon ∆x ∆y ∆z ∆r capteur des particules (µm rms) (µm rms) (µm rms) (µm rms) %

1024 3.5 µm ≤ r ≤ 5 µm 0.28 0.28 1.38 0.46 (≈ 11%) 512 3.5 µm ≤ r ≤ 5 µm 0.28 0.28 6.38 0.72 (≈ 17%) 1024 15 µm ≤ r ≤ 20 µm 0.28 0.28 2.53 0.03 (≈ 0.17%) 512 15 µm ≤ r ≤ 20 µm 0.28 0.28 11.8 0.09 (≈ 0.51%) 1024 30 µm ≤ r ≤ 40 µm 0.28 0.28 14.3 0.14 (≈ 0.4%) 512 30 µm ≤ r ≤ 40 µm 0.39 0.39 46.85 0.17 (≈ 0.48%) T. 4.2 —Ecart-type des erreurs d’estimation des paramètres des particules suivant la taille du champ pour différentes tailles de particules.

paramètres d’un petit nombre de particules présente des erreurs très fortes par rapport aux autres. En effet, lorsque la concentration augmente la probabilité que deux particules soient alignées longitudinalement augmente. Deux particules ainsi alignées vont brouiller mutuel-lement leurs hautes fréquences et la précision de l’estimation de leur profondeur et de leur rayon en est dégradée.

4.7.1.3 Influence de la position latérale des particules

La possibilité d’estimer les paramètres d’une particule dans un volume dans la largeur est supérieure à celle du capteur est une caractéristique très importante pour les applications de la méthode proposée. Il est donc nécessaire d’étudier la précision de cette méthode en fonc-tion de la posifonc-tion latérale des particules en particulier pour les particules hors-champ. Pour cela nous avons simulé 32 hologrammes avec les mêmes conditions. Pour chacun des holo-grammes,20 particules de rayon compris entre 40 et 50 µm ont été aléatoirement distribuées dans un volume de taille13.72 × 13.72 × 50.00 mm3_{illuminé par un laser de longueur d’onde}

532 nm. Le capteur, placé à 250 mm du volume d’étude, comporte 1024 × 1024 pixels carrés de 6.7 µm. Sa surface correspond au quart central de la surface latérale de la zone d’étude. Les hologrammes ainsi simulés sont quantifiés sur 8 bits. Ces hologrammes ont été traités d’une part par la méthode proposée ici et d’autre part par la méthode dite “classique” c’est-à-dire une reconstruction du volume par transformée de Fresnel suivie d’une segmentation.

La méthode proposée a pu détecter quasiment toutes les particules : seules20 particules sur640 n’ont pas été détectées (taux de détection de 97 %) et seulement deux particules ont été faussement détectées (taux de fausse détection de0.3 %). Comme on pouvait s’y attendre, la méthode classique a été quasiment incapable de détecter des particules hors du champ : elle présente un taux de détection de100 % dans le champ et de 6 % hors du champ soit 32 % en tout (631 particules détectées).

Les résultats des deux méthodes sont détaillés par les figures4.13,4.14et4.15. Ces figures représentent les erreurs sur chacun des paramètres de toutes les particules détectées sur les 32 hologrammes en fonction de la distance de ces particules par rapport au bord du capteur ; la partie négative de l’abscisse représente l’intérieur du capteur, 0 correspond au bord du capteur et la partie positive compte pour les particules hors du champ du capteur.

– La figure 4.13présente les erreurs transversales des deux méthodes. On peut consta-ter que les deux méthodes permettent d’atteindre une précision sous-pixel. Cepen-dant la nouvelle méthode présentée ici est bien plus précise et sans biais. Sa

préci-600 800 400 200 0 −200 −400

distance to the closest edge in pixels −600 −10 −5 0 error in 10 5 15 m µ classical approach inverse problem approach

F. 4.13 —Comparaison des erreurs latérales (en x et y) de la méthode proposée et de la méthode “classique” en fonction de la distance au bord du capteur. 30 20 800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −30 −20 −10 0 10

distance to the closest edge in pixels

m error in µ classical approach inverse problem approach

F. 4.14 —Comparaison des erreurs longitu-dinales (enz) de la méthode proposée et de la méthode “classique” en fonction de la distance au bord du capteur. 0.15 0.05 0.1 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 distance to the closest edge in pixels

error in

µ

m

F. 4.15 — Erreurs sur le rayon (r) de la mé-thode proposée en fonction de la distance au bord du capteur.

sion est constante quelque soit la position latérale de la particule et son écart-type est ∆x ' ∆y ' 0.3 µm soit 1/20 pixel.

– La figure4.14présente les erreurs longitudinales pour les deux méthodes. Là encore, notre méthode améliore grandement la précision des résultats. Son biais est négligeable et son écart-type est de∆z ' 0.9 µm soit 1/7 pixel. Cette précision est bien supérieure à la résolution optique dans les même conditions (δz ≥ λ/Ω2 = 2.6 mm). Cet écart-type est à peu près constant quelque soit la position latérale de la particule. Sur cette figure, l’oscillation visible au niveau du bord du capteur (abscisse0), présente pour les deux méthodes, n’a pas encore reçu d’explication satisfaisante.

de la méthode classique sont trop importantes. En effet cette méthode présente un biais de−8.8µm et un écart-type de ∆r ' 1.8 µm. Contrairement à cette méthode classique, notre méthode permet d’estimer le rayon des particules avec une très grande précision ; son écart type∆r ' 0.04 µm. Curieusement, alors qu’il n’y a aucun biais pour les parti-cules hors champ, un biais négatif peut être observé pour les partiparti-cules dans le champ. Ce biais peut être expliqué par une simplification faite dans le modèle : le terme non-linéaire de la figure de diffraction n’est pas tout à fait négligeable dans le calcul du centre de la figure de diffraction, cela provoque une surestimation de la taille du premier lobe de la figure de diffraction et donc une sous estimation du rayon de la particule.

Notre méthode a donc prouvé sur ces simulations sa précision et sa faculté à estimer avec une faible erreur les paramètres des particules hors-champ. Ces caractéristiques doivent donc maintenant être validées sur des données expérimentales.