La condensation capillaire

3.2 Forces d’adhésion entre sphères rugueuses . . . . 53

La lecture du livre d’Israelachvili [96], montre que l’effet de l’humidité est bien connu sur l’adhésion des poudres, les propriétés sismiques de roches etc. L’origine de cet effet est qu’un liquide peut condenser entre deux surfaces très proches l’une de l’autre. C’est la condensation capillaire. Après avoir expliqué le phénomène de condensation capillaire, nous examinerons dans quelle mesure les forces de cohésion capillaire peuvent rendre compte qualitativement des phénomènes de vieillissement de l’angle d’avalanche décrits dans le chapitre suivant.

3.1 Condensation capillaire et force d’adhésion

3.1.1 La condensation capillaire

Soit un système constitué de deux plans parallèles en contact avec un thermostat à la température T et un réservoir de particules. Le potentiel chimique de ces particules est fixé à une valeur µ < µ_satoù µ_satest le potentiel chimique du système à la coexistence liquide-vapeur. L’état d’équilibre du fluide est donc l’état qui minimise le potentiel thermodynamique du système, c’est à dire le grand potentiel Ω ≡ F − pV .

Les grands potentiels par unité de surface dans le système rempli par de la vapeur ou du liquide comme représenté sur la figure 3.1 sont donc :

Ωvap/A = −pvapH + 2γSV (3.1)

Ω_L/A = −p_LH + 2γ_SL (3.2)

où γSV et γSLsont respectivement les tensions de surface solide-vapeur et solide-liquide. pLest la pression d’un liquide au potentiel thermodynamique µ. C’est une pression où le fluide est métastable en volume.

FIG. 3.1 – Distance critique de condensation capillaire

La possibilité de définir une telle pression est associée à la présence de boucles de van der Waals dans les isothermes de Clapeyron [56, 57] comme ceci est représenté sur la figure 3.2.

Il existe donc une condition thermodynamique pour que la phase gaz condense en phase liquide. Cette relation s’écrit :

Ω_L< Ω_vap (3.3)

Cette transition étant une compétition entre des termes de surface et des termes de volume, la condition de transition fait apparaître une distance caractéristique Hc qui est la taille de pore en dessous de laquelle le liquide confiné est thermodynamiquement stable (figure 3.1) :

H < Hc = 2^{γSV − γSL}

p_vap− p_L ^(3.4)

La relation d’Young-Dupré donne la condition d’équilibre d’une ligne triple [102] :

γ_LV cos θ = γ_SV − γ_{SL (3.5)}

On tire donc :

H_c = ^{2γLV cos θ}

p_vap− p_L ^(3.6)

FIG. 3.2 – Boucle de van der Waals dans

l’isotherme de Clapeyron d’un fluide.

Il est possible d’obtenir une évaluation de la différence de pression pvap− p_Lpour obtenir une expres-sion plus classique de la condition de condensation dans un pore. Dans chacune des phases en présence, l’équation de Gibbs-Duhem à température constante est vérifiée :

−v_Ldp_L+ dµ_L= 0

où vLet vvapsont respectivement les volumes moléculaires des phases liquide et vapeur. L’intégration de la première relation dans le cas d’un liquide incompressible (v_Lconstant) donne :

p_L− p_sat = ¹

v_L^{(µ − µsat) = ρL∆µ (3.8)}

où ∆µ = µ − µ_sat < 0 est la sous saturation et ρ_L la concentration en molécules du liquide. Si nous assimilons la vapeur à un gaz parfait, on a :

v_vap= ¹ ρ_vap ⁼

kT

p_vap ^(3.9)

L’intégration de la deuxième relation donne alors :

µ − µsat= ∆µ = kT ln^pvap

p_sat ^(3.10)

Ce qui donne en faisant l’hypothèse p_vap' p_sat:

p_L− p_vap= ∆ρ∆µ (3.11)

où ∆ρ = ρL− ρ_vapest la différence de concentration en molécules entre les phases liquide et vapeur. La distance critique H_cdevient alors :

Hc = −2^{γLV cos θ}

∆ρ∆µ ^(3.12)

Par la suite, on appellera rayon de Kelvin, la quantité algébrique :

r_K ≡ ^γLV

∆ρ∆µ ^(3.13)

Dans le cas limite du mouillage total, c’est à dire quand cos θ = 0, la distance critique de transition vapeur-liquide dans le pore est égale à deux fois la valeur absolue de du rayon de Kelvin ; dans le cas du mouillage partiel l’équation 3.12 devient :

Hc = −2rKcos θ (3.14)

On remarque d’après l’équation 3.12 que la condensation capillaire ne se produit que si cos θ > 0, c’est à dire si la phase condensée mouille le solide. Le cas symétrique où ∆ρ∆µ > 0, c’est à dire µ − µ_sat > 0, appelé évaporation capillaire, se produit, lui, dans le cas de surfaces non mouillantes. La nucléation d’une bulle de vapeur est parfois à l’origine de forces à longue portée entre surfaces hydrophobes observées dans certaines expériences sur les machines à force de surface ([110] et références incluses).

Il est possible de démontrer autrement l’équation 3.12 pour lui donner une interprétation légèrement différente. La condition pour qu’un pont liquide soit à l’équilibre thermodynamique entre deux surfaces est qu’il vérifie simultanément les conditions d’équilibre mécanique 3.15 et physicochimique 3.16.

p_L− p_vap= ^γLV

r ^(3.15)

µ_L= µ (3.16)

En intégrant comme précédemment les équations de Gibbs-Duhem, et avec les mêmes approximation [152, 41], on montre que la condition d’équilibre du ménisque est r = rK. Ainsi, un liquide sera en équilibre

avec sa vapeur à une pression pvap < psat si l’interface possède un rayon de courbure égal au rayon de Kelvin pour cette pression.

L’obtention de l’équation 3.12 fait intervenir plusieurs hypothèses qui sont : la possibilité de traiter la phase gazeuse comme un gaz parfait, l’incompressibilité du liquide, la possibilité de définir une tension de surface dans un tel milieu [151] et la possibilité de considérer la tension superficielle du fluide confiné comme égale à la tension superficielle d’une interface de grande taille.

Ordres de grandeur

La figure 3.3 représente la valeur absolue du rayon de Kelvin calculée dans le cas de l’eau à 25^◦C pour γ_LV = 72, 6 mN.m⁻¹ et v_L = 18 cm³.mol⁻¹. Le résultat important est que l’ordre de grandeur du rayon de Kelvin est nanométrique. Une autre conséquence est que les pressions qui sont associées au rayon de

FIG. 3.3 – Valeur absolue du rayon de

Kel-vin pour l’eau à 298 K obtenue à partir de l’équation 3.12

Kelvin par la relation γLV/r_Kpeuvent être très grandes en valeur absolue. Si on considère par exemple un rayon de Kelvin de 2 nm, on obtient une pression de 35 MPa. Il faut remarquer que cette pression est une pression grande devant la pression atmosphérique ce qui conduit à des pressions négatives dans le ménisque mais cette valeur est petite devant la dureté des billes de verre. On ne s’attend pas à ce que la dépression causée par un ménisque puisse provoquer un fluage des contacts.