Conclusions

VII. PROCÉDÉ QUALITATIF DE L'ÉCOULEMENT

APPLICATION DU MODÈLE QUAL2E

VII.1. PRÉSENTATION DU MODÈLE

VII.1.1 Introduction

L'objectif principal du développement d'un modèle hydrologique qualitatif des eaux

de surface est d'être capable de simuler l'aspect quantitatif et qualitatif au comportement

hydrologique du ruissellement.

Avec les moyens informatiques actuels et leur évolution, en particulier les logiciels

de pointe, les stations performantes de cartographie numérique permettent l'analyse

assistée par ordinateur de diverses informations socio-géographiques et biogéochimiques.

Ces informations sont utilisées dans la gestion quantitative et qualitative des eaux. Le

traitement numérique des informations spatiales permet, d'une part, la simulation et la

prédétermination des débits et, d'autre part, l'évaluation des apports en substances

chimiques. Les simulations biogéochimiques permettent, finalement, de déterminer et de

prévoir les flux de ces éléments dans les rivières. A cet égard, la connaissance du pouvoir

autoépurateur des cours d'eau, soumis à des rejets biodégradables, présente une

importance capitale.

La plupart des modèles de gestion globale des rivières disponibles à l'heure

actuelle, sont essentiellement consacrés aux grands cours d'eau (macrobassin) ou aux

petits ruisseaux (microbassins) pour lesquels on peut adopter quelques hypothèses

simplificatrices. L'adaptation de ces deux types de modèle à un bassin de taille

intermédiaire (mésobassin) soulève un certain nombre de problèmes parmi lesquels:

- la variation spatiale et temporelle des rejets,

- l'importance des apports latéraux,

- le temps de séjour des masses d'eau.

Cependant, certains modèles développés par des organismes de grande expérience dans

ce domaine tels que "Environnemental Protection Agency, EPA" présentent la particularité

d'être assez souple pour répondre aux exigences des bassins de taille moyenne.

VII.1.2. Les modèles qualitatifs

Depuis le deuxième projet du programme international d'hydrologie "International

Hydrological Programme" (Whitehead, 1984), le développement de modèles hydrologiques

qualitatifs à pris son plein essor. Dès lors, un grand nombre de logiciels qui généralisent

les systèmes fluviaux et lacustres ont été développé, en particulier aux USA.

MODELE DESCRIPTION

SNSIM Développé par Braster et al, 1975. Il s'occupe de résoudre des

états d'équilibres unidimensionnels sans tenir compte de la

dispersion dans l'écoulement.

DOSAG1

!

Développé à l'origine par "Texas Water Development Board"

pour la simulation ponctuelle et la distribution des demandes en

oxygène carboné et nitré ainsi que leurs impacts sur l'oxygène

dissous du ruissellement.

DOSAG3 D'origine DOSAG1, modifié pour "l'Environnemental Protection

Agency, EPA" par "Water Resources Engineers". Il possède un

plus grand nombre de constituants définis et utilise la technique

Tsivouglou pour le calcul du coefficient de la réaération.

QUALI Développé par "Texas Water Development Board", il permet de

résoudre les équations différentielles représentant le transport

unidimensionnel de polluant par dispersion-advection des

constituants non conservatifs.

QUAL2 C'est la version modifiée de Quall. Qual2 est le programme

utilisé dans la présente étude. Ses caractéristiques sont donc

détaillées dans la suite.

Tableau 7.1: Ilustration de auelaues modèles de la Qualité des eaux de ruissellement

usuellement utilisés.

La complexité de ces modèles varie. Ils sont prévus pour des systèmes à l'état

stationnaire ou en équilibre dynamique. Ils peuvent être déterministes ou stochastiques.

Plusieurs d'entre eux sont opérationnels, d'autres sont en études. Le Tableau (7.1) reprend

quelques modèles de la qualité des eaux de ruissellement généralement utilisés.

VII.1.3. Le modèle qualitatif des eaux de ruissellement QUAL2E

La série de programmation Quai a une longue histoire dans l'analyse des systèmes

de gestion de la qualité des eaux (Barnwell, 1987). Le modèle d'origine, Quall a été utilisé

comme outil d'évaluation de la variation du flux thermique et du contrôle de l'oxygène

dissous. Ce modèle développé par le "Texas Water Development Board" aux USA à la fin

des années soixante, a été amélioré par I' "Environnemental Protection Agency" qui a

développé récemment des versions plus complètes. Ces dernières sont d'application en

Europe, en Asie et en Amérique du sud.

QUAL2E est la version la plus complète, disponible à l'heure actuelle, de la Série Quai.

C'est un modèle de simulation de la qualité des eaux de surface, à l'état stationnaire et

dans les conditions d'équilibre chimique pour les polluants conventionnels dans les

ruisseaux et les rivières. De plus, il préserve la ramification dans la simulation d'un

système de ruissellement unidimensionnel, et ce en utilisant la solution par différence finie

pour un transport de masse par advection-dispersion.

Le modèle est généralement utilisé pour étudier l'impact des déversements d’une charge

polluante sur la qualité des eaux de ruissellement, il peut également être aussi utilisé pour

identifier l'ampleur et les caractéristiques qualitatives de la pollution diffuse.

La simulation de la qualité des eaux de surface par QUAL2E est réalisée en appliquant un

modèle mathématique qui se décompose successivement en trois étapes que nous

examinerons successivement ci dessous.

VII.1.3.1. Représentation conceptuelle

La représentation conceptuelle comporte un graphique d'idéalisation d’un prototype

décrivant les propriétés géométriques qui seront modélisées. Elle est réalisée en identifiant

les conditions limites et les relations entre les différentes parties du prototype. Par ailleurs,

il est recommandé de subdiviser le prototype en éléments "discrets" d'une taille

compatible, selon les objectifs auxquels le modèle doit servir.

La représentation conceptuelle générale du modèle se décrit sous forme d'une équation

représentant:

- le transport de masse,

- les caractéristiques hydrauliques,

- la dispersion longitudinale.

La représentation conceptuelle utilisée dans la formulation de QUAL2E est

schématisée dans la figure (7.1). La première étape est de subdiviser le système de

ruissellement en un nombre fini de biefs ou "reaches", c'est-à-dire les sections des cours

d'eau qui ont des caractéristiques hydrauliques uniformes. Chaque bief est par après

subdivisé en éléments de calcul de longueurs égales. Ces éléments de calcul ainsi

déterminés sont équivalents à des différences finies.

Pour chaque élément on doit décrire:

- le bilan hydrologique en terme de débit (Q),

- le bilan de température (T),

- le bilan de matériel en terme de concentration (C).

Les transports par advection et par dispersion sont tous deux pris en considération dans

le calcul de l'équilibre du matériel. Le processus de transport contribue à un gain ou une

perte de masse d'une substance considérée. Cette variation de masse peut être attribuée

à une source externe (décharge d'eaux usées, ...) ou à une source interne (écoulement

ou transformation biologique dans la rivière). Dans QUAL2E, l'équation de transport est

I

résolue pour un flux stationnaire dans les conditions classiques implicitement rétrogrades.

L'équation spécifique et sa solution sont décrites en détail dans la suite.

VII.1.3.2. Représentation fonctionnelle

La représentation fonctionnelle du modèle se traduit par un ensemble de formulations

mathématiques décrivant les processus qui influencent la variation de la concentration de

l'espèce chimique au cours de son transfert par ruissellement.

VII.1.3.2.1. Formules mathématiques générales

Pour simuler le comportement d'une substance dissoute transportée dans une rivière,

on utilise l'équation différentielle de transport de masse unidimensionnel par advection-

dispersion. Elle décrit les effets du transport, de la dilution, des apports externes et des

réactions chimiques sur la variation de la concentration de l'espèce chimique au cours du

temps.

Cette équation peut être écrite de la façon suivante:

A^dx —

^ ôt

5 f 4 A_V ^{ô C}

d X )

dx

d (a ûdC) . .

dx----dx + (^A^dxjR + S

^x

Où:

C :Concentration (ML'^)

X : Distance (L)

t : Temps (T)

: Surface de la section mouillée (L^)

D| : Coefficient de dispersion (L^T^)

û : Vitesse moyenne (LT^)

R : Réations chimiques (ML'^T)

S : Source externe (MT^)

7.1

126

dx)

représente la fonction de dispersion

Apc

a (Afic)

J 0x ■ représente la fonction d'advection.

L'équation (7.3) représente donc la variation d'une substance dissoute au cours du

temps, pour un système dynamique (loin de l'équilibre hydrodynamique).

Si le débit de la rivière ne varie pas et si R et S sont constants, la rivière atteint un état

Stationnaire et ^ Q

C'est donc, cette dernière équation que nous utiliserons pour simuler le comportement

des substances étudiées dans notre système aquatique.

VII.1.3.2.2. Les différents types de constituants

Les espèces chimiques dissoutes peuvent êtres classées selon leur réactivité en deux

catégories, conservatives et non-conservatives. Les substances conservatives sont celles

dont la concentration ne subissent aucune transformation (R=0). Les substances non-

conservatives sont par contre des substances réactives c'est-à-dire dont la masse varie

au cours du temps suite à des processus de dégradation, de production ou de

transformation.

dt

Par conséquent, l'équation fondamentale 7.3 se réduit à;

a) Substances conservatives

La simulation du comportement des substances conservatives demande généralement

une approche moins complexe que pour les substances non conservatives.

Par définition, la masse de la substance conservative donnée ne change pas avec le

temps. Tout ce qui est demandé par conséquent, dans la simulation, est un calcul des

entrées et des sorties de la substance, en considérant évidemment le mode de transport

par advection et dispersion.

Dans l'équation différentielle générale (7.4), la dépendance entre la concentration du

constituant et le temps se reflète dans l'expression (Axdx)R. Cette expression cinétique,

incorporée dans l'équation (7.4) pour les substances non conservatives s'annule (R=0)

pour les substances conservatives.

b) Substances non conservatives

L'hypothèse de base formulée quant à ce type de substances réactives est que le

coefficient de changement de la masse ou de la concentration est décrit par une cinétique

du premier ordre ou par des réactions d’équilibres pour des processus de type chimique

ou géochimique ou encore, par une cinétique de type Menten-Michaelis pour les

transformations biologiques.

Dans la cinétique du premier ordre (irréversible), la variation de la concentration d'une

substance dans le temps est donnée par la formule suivante:

= -kC

dt

En intégrant cette expression dans le temps, elle devi

7.5

C. = Coe-^‘

C, : concentration de la substance au temps t, (en mg/l).

Cq : concentration de la substance au temps tg, (en mg/l).

k : coefficient du premier ordre, (en temps'^).

Par ailleurs, l’équation 7.5 représente la forme simplifiée d’une réaction d’équilibre

(réaction réversible7.7) quand Cg est négligeable devant C.

^ = -HC-C,) 7.7

at

Cg : concentration à l’équilibre, (en mg/l).

En somme, trois types de réactions sont considérés Dans la modélisation de la qualité

des eaux:

1 - la cinétique du premier ordre “réactions irréversibles” (eq.7.5) est typiquement

appliquée pour les réactions de décroissance (ou décomposition) des substances

radioactives,

2 - les réactions d’équilibres “réactions réversibles” (eq.7.7) est appliquée pour la

réaération atmosphérique et les réactions de dissolution des minéraux (Wollast, 1967).

3 - La cinétique de type Michaelis-Menten (eq.7.8) est fréquemment utilisée pour décrire

la croissance microbienne et l'utilisation des substrats dans les systèmes biologiques. Elle

peut être formulée comme suite:

l^ = ^max(-p—7.8

Ke + C

IJ : masse du substrat éliminé par unité de temps et par unité de masse.

: taux spécifique maximal d'utilisation du substrat.

C : concentration de substrat.

Kg : demi-constante de saturation, aussi appelée constante de Michaelis-Menten. Elle est

égale à la concentration de substrat correspondant au demi-taux maximal d'utilisation de

substrat.

indiquant les différentes substances suivantes est utilisée;

—X—^—)• • • (—-—)•

^k,C,+C,k,C,+C, 'k„c„+c„ ^7.9

VII.1.3.2.3. Relation entre les différents constituants

Une des considérations les plus importantes dans la détermination de la capacité

assimilatrice de la rivière est son aptitude à maintenir une concentration d'équilibre en

oxygène dissous. Le programme QUAL2E intègre des interactions comme celles des

cycles des nutriments, de la production des algues, des demandes en oxygène, de la

réaération atmosphérique et leurs incidences sur la balance d'oxygène. La figure (7.2)

illustre ces interactions.

VII.1.3.3. Méthodologie de calcul et entrées du modèle

La nature physique, chimique et biologique des rivières forme un système interactif

complexe qui devient difficile à modéliser en détail. Pour la présente étude, on a pris en

considération les conditions suivantes dans le choix de la modélisation:

a) Conditions hydrauliques: Etat stationnaire.

b) Conditions de rejets; Sources ponctuelles, sources diffuses, affluents.

c) Processus physiques, chimiques et biologiques: cycle d’azote, cycle du phosphore,

réaération atmosphérique.

d) Caractéristiques physiques de la rivière: la profondeur, la largeur et la section mouillée

sont considérées comme constantes dans chaque bief.

e) La contribution du flux latéral de chaque affluent est proportionnelle à la surface drainée.

Trois catégories de données d'entrée sont nécessaires pour faire fonctionner le

programme QUAL2E;

1. Une représentation schématique caractérisant le système "Rivière"

2. Les données relatives au débit ruisselé et aux apports en charge dissoute.

3. Les coefficients et les constantes relatives aux différentes réactions.

A ces données s'ajoutent les informations relatives aux incertitudes sur les données du

modèle et la sensibilité de celui-ci à ces différentes données.

VII.1.3.3.1. Représentation schématique de la rivière

La figure (7.3) présente une représentation schématique de la Senne en amont de

Tubize. Ce schéma simplifié est tracé de manière à répondre aux limites des applications

du programme QUAL2E. Dès lors, la rivière est subdivisée en éléments de calcul de 400

mètres de longueur et les principales caractéristiques de la rivière sont données au

Tableau (7.2). Cela fait 189 éléments de calcul correspondant à 75.6 km de rivières et de

ruisseaux modélisés.

Caractéristiques Senne Conditions limites QUAL2E

Nombre d'éléments 189 250

Nombre de biefs 17 25

Nombre de jonctions

6 6

Nombre de sources 7 7

Nombre de rejets ponctuels 4 25

Tableau 7.2: Caractéristiques de la rivière Senne en amont de Tubize en relation avec les

limites d'application du programme QUAL2E.

Notons que cette manière de subdiviser les biefs en éléments de calcul la plus réduite

possible a été effectuée dans l'objectif d'augmenter la précision du modèle et d'être

compatible avec le modèle quantitatif MHM (dont la maille est de 200 m). Elle permet ainsi

de rassembler un maximum de ramifications (simuler aussi les affluents), tout en ne

dépassant pas les limitations du modèle QUAL2E (Tableau 7.2).

t

c: élément de calcul

■ point de rejet

1, 2, 17: numéros du bief

Figure 7.3. Représentation schématique de la Senne en amont de Tubize montrant la

subdivision en biefs et en éléments de calcul (taille des éléments = 400m)

VII.1.3.3.2. Représentation des débits

Le modèle QUAL2E nécessite une représentation hydraulique de la rivière, et plus

particulièrement l'évolution des débits tout au long de la rivière. Le bassin d'étude dispose

de deux stations de mesures de débits. L'une située à l'exutoire, permet de disposer des

débits horaires, l'autre, à Steenkerque, fournit les débits journaliers (Chapitre II). Dans la

présente étude nous avons calculé le débit le long du cours d'eau par le modèle

hydrologique maillé MHM pour les périodes pluvieuses (voir chapitre III) et par

extrapolation linéaire pour les périodes sèches. Ceci a permis de déduire les apports d’eau

(accroissement du débit) pour chaque bief de la rivière. Dans le programme QUAL2E,

l'accroissement du débit intègre à la fois les apports latéraux et les apports ponctuels.

Nous l'avons calculé pour les trois types de débit (étiage, intermédiaire et crue)

correspondant aux périodes d'échantillonnage d'eau (Tableau 7.3).

Biefs

Débit d'entrée (m^/s) _Rejets

ponctuels

(mVs)

Débit de sortie {refis) Accroissement du débit {rrfis)

Etiage Intermédiaire Crue Etiage Intermédiaire Crue Etiage Intermédiaire Crue

1 0,002

0,035 0,050 0,015 0,067 0,230 ' 0,315 0,050 0,180 0.250

3 0,137 0,380 0,595 0,026 0,223 0,506 0,741 0,060

0,100 0,120

5 0,303

0,686 1,001 ^-

0,343 0,786 1,161 0,040

0,100

0,160

9 0.521 1184 2,089

-

0,531 1,254 2,169

0,010

0,070 0,080

11

0,581 1,434 2,449

-

0,601 1,514 2,569

0,020

0,080

0,120

13 0,661 1,624 2,819

-

0,721 1,714 2,949 0,060 0,090 0,130

16

0,886

2,119 3,604

0,020

0,956 2,329 3,974 0,050 0,190 0,350

17 0,956 2,329 3,974

-

1,016 2,529 4,304 0,040 0,180 0,310

Tableau 7.3: Répartition des débits le long de l’axe principal de la Senne en amont de Tubize

Biefs ponctuels^Rejets

(mVs)

Accroissement du débit {refis)

Etiage Intermédiaire Crue

2 ^-

0,070 0,150 0,280

4

-

0,080 0,180 0,260

6

0,004 0,060 0,130 0,310

7

-

0,050 0,130 0,330

8 ^-

0,050

0,120

0,270

10 ^-

0,050 0,180 0,280

12 ^-

0,060

0,110

0,250

14 0,025 0,080 0,190 0,320

15

-

0,060 0,190 0,310

VII.1.3.3.3. Evaluation des coefficients et des constantes

La détermination des paramètres physiques (profondeurs des biefs, vitesses

d’écoulement, dispersion longitudinale et la constante d’aération) a fait l’objet d’une

méthodologie décrite ci dessous. L’ajustement des paramètres chimiques (constantes

cinétiques; Menten-Michaelis etc.) a été effectué sur base d’informations données par la

littérature (Bowie, 1985). Le tableau 7.10 résume les valeurs utilisées en comparaison

avec les ordres de grandeur fournis dans la littérature (Bowie, 1985; Brown L.C and T.O

Barnwell, 1987).

Une étude des incertitudes et de sensibilité s'avère néanmoins utile, voire même

nécessaire, pour tester la sensibilité du modèle vis-à-vis de ces coefficients. Par suite,

nous avons testé la sensibilité du modèle vis-à-vis de ces paramètres.

a) Calcul des profondeurs des tronçons et des vitesses du ruissellement

Dans le modèle QUAL2E, on considère que le régime hydraulique de la rivière est à

l'état stationnaire. De ce fait;

Où Qx est la somme des apports liquides externes.

Le calcul des délais d’écoulement se fait par application de la formule empirique de

Manning, classique en hydraulique, qui relie la vitesse moyenne u (m/s) d’un écoulement

en canal libre à la profondeur d (m) de l’eau dans ce canal et à sa pente s (m/m). Elle est

décrite par la relation suivante;

7.10

dt

Donc pour chaque élément de calcul, le bilan hydrique se résume à;

7.11

U = - 7.12

n

Par ailleurs, la vitesse moyenne est par définition le quotient du débit (Q) par la section

mouillée:

U = ^ 7.13

d. 1

Où I: est la largeur moyenne du tronçon.

De ce fait, la profondeur peut être déterminée en fonction du débit (Q) et des

caractéristiques géométriques du tronçon fournies par l’analyse géomorphologique:

d =

(Q-I .1/2

7.14

n est le coefficient de rugosité de Manning, dont la valeur est généralement comprise entre

0.02 et 0.1 (dans le système d’unité m, sec) pour des rivières réelles (Hammer and Mc

Kichan, 1981). Il devient dès lors facile d’estimer la valeur de n à partir des observations

menées sur le bassin et par ajustement de l’équation ci-dessus (figure 7.4).

La valeur retenue à l’exutoire du bassin est n = 0.075

observée

n = 0.05

n = 0.075

n =0.1

Figure 7.4: Relation observée entre la profondeur et le débit de la Senne à Tubize.

Relations théorique pour diverses valeurs du coefficient de rugosité de Manning.

Dès lors, la relation entre la profondeur et le débit peut s’écrire sous la forme requise par

le programme QUAL2E:

profondeur: d = aQi^; a et p sont des constantes empiriques. 7.15

La figure 7.5 donne les différentes valeurs de d dans différents tronçons en fonction de la

largeur de la rivière. La relation entre la largeur du cours d’eau (I) et la surface de son

bassin versant (SBV) établie par De Becker; 1986, pour des rivières belges est très

comparable avec celles observées sur le bassin de la Senne en amont de Tubize.

La relation trouvée est la suivante:

l = 0.8*SBV°® 7.16

Figure 7.5: Estimations des profondeurs de différents tronçons en fonction du débit et de la

largeur de la rivière

En remplaçant l’équation 7.14 dans 7.12, la vitesse moyenne d’écoulement peut

également s’écrire de la façon suivante:

û = n-9/15g1/6,-2/3Q6/15

j

Ce qui répond aux conditions nécessaires au fonctionnement du programme QUAL2E.

Dès lors, nous pouvons écrire la vitesse moyenne d’écoulement sous la même forme:

7.18

Vitesse moyenne: û = aQ*’ où: a et b sont des constantes empiriques.

a = et b = 6/15

La figure 7.6 donne les différentes valeurs de û dans différents tronçons en fonction du

débit et de la largeur de la rivière.

I = 1m l = 2m l = 3m I = 4m I = 5m l = 6m l = 7m I = 8m I = 9m I = 10m Débit (nf/s)

Figure 7.6: Estimations des vitesses d’écoulement de différents tronçons en fonction du débit et

de la largeur de la rivière

La gamme des valeurs des vitesses et des profondeurs établies pour la Senne est

reprise dans le Tableau 7.4. Le tableau 7.5 donne à titre comparatif certaines valeurs

mesurées pour les rivières de taille petite à moyenne (Fisher et al, 1979; Bowie et al,

1985).

Senne Profondeur (m) Vitesse (m/s)

Temps sec

1

^O

C \J

O

i 1

0.09-0.5

Temps humide 0,26-1.5 0.1 -0.65

Période de crue 0.43-2.0 0.3 - 0.75

Tab

Rivière Profondeur (m) Vitesse moyenne (m/s)

R. Derment 0.25 0.38

R. Clinch 0.84 0.32

Comité River 1.29

1.11

Rivière Derwent 0.74 1.14

John Day River 1.73 3.03

eau 7.5: Vitesse mesurée dans différentes rivières du monde en fonction des profondeurs

b) Dispersion longitudinale, D,^

Le transport longitudinal par dispersion dans les rivières est modélisé en utilisant

l'équation unidimensionnelle suivante;

dC ^ dC d f ^ dC)

— + M— = — D,— 7.19

ôt dx dx\ dx J

Où C; la concentration de la substance en solution (MV'^),

û : Vitesse moyenne (LT^),

Dl : Coefficient de dispersion longitudinale (L^T^),

t : Temps (T),

Dans le programme QUAL2E, la dispersion longitudinale est calculée à partir des

équations développées par Taylor (1954), Elder (1959) et Fisher (1974).

Dans les rivières de débit faible à moyen, Elder (1959) considère que seul le gradient

vertical de vitesse est important. Il fournit donc l'équation suivante:

Dl = k U. d 7.20

Où d est la profondeur de la rivière en m, k est une constante empirique = 5.95; u.est la

vitesse de friction.

En appliquant cette expression pour les larges chenaux, comme utilisé dans le programme

QUAL2E, elle devient;

Où n est le coefficient de Manning et û, la vitesse moyenne.

La gamme des valeurs du coefficient de dispersion utilisée dans la présente étude est

donnée dans le Tableau (7.6). A titre comparatif, le Tableau (7.7) illustre des valeurs

expérimentales établies dans différentes rivières.

Senne Profondeur (m) Dispersion (m^/s)

Etiage

0.2

-

1.0

0.1 -2.95

Intermédiaire 0.26-1.5 0.18-5.75

Crue 0.43 - 2.0 0.7-8.85

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