Plusieurs types de modélisation traitent aujourd’hui des effets de taille en plas-ticité.
– il y a des méthodes purement discrètes telles que la dynamique des dislocations discrètes. Le problème de ce type de modélisation est que les volumes et les déformations modélisés par ces méthodes restent encore limités, étant donné les temps de calculs importants requis,
– Il y a des méthodes de type phénoménologique telles que les milieux continus généralisés (comme les milieux de Cosserat). Elles sont basées sur l’introduc-tion " arbitraire " d’un gradient de déformal’introduc-tion ou de rotal’introduc-tion. Ces méthodes ne prennent pas en compte explicitement les mécanismes physiques propre-ment dits.
Dans le but de déterminer les effets propres des longueurs internes microstruc-turales et ainsi d’améliorer les méthodes de transition d’échelles actuelles, il s’avère nécessaire de développer une approche intermédiaire qui tient compte des
incom-patibilités du réseau cristallin dues à la présence de distributions de dislocations discrètes, c’est-à-dire un modèle prenant en compte la nature physique des événe-ments discrets intra-granulaires. Cette approche consiste à déterminer le champ de contraintes internes et l’énergie élastique associée à ces incompatibilités de manière statique. Le but est par la suite de développer des modèles polycristallins rapidement transférables et exploitables par l’industrie.
Chapitre 3
Modélisation micromécanique
statique discrète des défauts
3.1 Introduction
Dans le but d’obtenir rapidement des résultats concrets avec une description réaliste des mécanismes physiques pour des applications industrielles, les principales études ont été réalisées dans le cadre de la mécanique des milieux continus à l’échelle des grains et des phases. Les phénomènes intra-granulaires tels que ceux présentés dans la section 1.1.2. ont été le plus souvent décrits de manière simplifiée. Malgré leurs intérêts scientifiques et technologiques, certains phénomènes collectifs des dé-fauts ont donc été ignorés. Dans les théories micromécaniques des dédé-fauts dites " à champs moyens ", les champs de déformation plastique sont supposés homogènes à
l’intérieur des grains (cf. figure 3.1) et sont pris égaux à leur moyenne volumique
sur le grain. On parle alors de micro-homogénéisation à l’échelle du grain. Ces ap-proches " à champs moyens " sont incarnées par le problème de l’inclusion plastique d’Eshelby [Esh57] qui est à la base du modèle auto-cohérent [Krö61,BZ79]. Dans ce
Figure 3.1 – a. Modélisation par une approche à champ moyen de la fluctuation du champ plastique à l’interface entre deux grains ; b. Micrographie AFM d’un joint de grain (poly-cristal de laiton après une déformation plastique macroscopique de 1.5%)
chapitre, on introduit tout d’abord les notions de glissement plastique moyen et de " quasi-dislocations "‘ inhérentes aux approches à champs moyens. Ensuite, dans un premier volet, on rappelle les équations fondamentales de la mécanique des milieux continus pour un milieu élastique linéaire avec défauts. On appliquera tout d’abord la théorie élasto-statique au cas de défauts plastiques uniformes dans une inclusion de forme ellipsoidale noyée dans un milieu infini élastique homogène : il s’agit du problème classique d’Eshelby dont les solutions sont brièvement rappelées.
L’amélioration des techniques de caractérisation (EBSD, MET, AFM) permet ac-tuellement une meilleure compréhension des mécanismes plastiques intra-granulaires. Ces techniques permettent de déterminer de manière plus précise les champs de dis-torsion plastique βp
∼. Dés lors, la modélisation de ces phénomènes apparaît comme
essentielle pour améliorer la prédiction des modèles. Contrairement aux approches à champs moyens précédemment introduits, les hétérogénéités plastiques intra-granulaires (cf. figure 3.1b) peuvent être modélisées de manière plus réaliste au travers de
dis-tributions discrètes de boucles de " super-dislocation " contraintes par les joints de grains. La déformation plastique n’est alors plus considérée homogène et uniforme par morceau comme pour les approches à champs moyens. Ceci constitue une avan-cée forte, notamment par rapport aux modélisations classiques basées sur l’inclusion d’Eshelby, car cela permet de capter des effets de longueurs internes de la micro-structure sur le comportement mécanique. On présente tout d’abord la description mathématique des champs plastiques décrivant des distributions discrètes spatiales de boucles de dislocation. Les problèmes de champs sont résolus par la méthode des transformées de Fourier [BBR08] qui est décrite dans ce chapitre. Cette technique a été initialement introduite par Mura [Mur87] dans le cas de matériaux sujets à des déformations libres de contraines (i.e. " eigenstrains "). Dans un premier temps, des situations statiques de glissement simple sont étudiées, où les boucles de disloca-tion sont contraintes par des joints de grain sphériques. Dans ce chapitre, l’espace-ment entre les boucles sera supposé constant (distributions discrètes périodiques de boucles de dislocation). Cet espacement sera aussi pris non constant dans le chapitre 4 afin de respecter au mieux les mesures AFM. Contrairement aux modèle d’Eshelby et al. introduit en 1951 [EFN51], cette étude s’intéresse à l’impact d’une
distribu-tion de boucles discrètes tapissant un grain sphérique (cf. 3.2(a)) sur les champs
élastiques et l’énergie élastique. Le modèle d’Eshelby et al. [EFN51] modélise un
empilement de dislocations rectilignes contraintes par un joint de grain plan (cf. figure 3.2(b)) mais ne permet pas de capter les effets sur les champs élastiques dus à la forme et la taille des grains.
Les modélisations présentées dans ce chapitre sont des formulations statiques. Ainsi, les forces d’inertie sont négligées, ce qui exclut les phénomènes dynamiques. Cette formulation ne cherche donc pas à décrire l’évolution des évènements discrets plastiques au cours de la déformation, notamment le transport convectif des dislo-cations. On suppose également l’absence de force de volume. Dans ces conditions, l’équation d’équilibre des contraintes de Cauchy s’écrit :
Figure3.2 – (a) Distribution de boucles de dislocation contraintes par un joint de grain sphérique ; (b) Empilement de dislocations rectilignes contraintes par un joint de grain plan introduit par Eshelby et al. [EFN51].
La formulation statique présentée permet l’évaluation des contraintes internes et le calcul des micro-textures liées aux incompatibilités générées par un état de défor-mation plastique donné.
Dans ce chapitre, on démontre que des contributions nouvelles sur les champs de contraintes internes ainsi que sur l’énergie élastique sont captées par rapport au modèle classique d’Eshelby lorsque la nature discrète du glissement plastique est prise en compte. Cette modélisation discrète des défauts est une nouvelle manière d’introduire des longueurs internes induites par la déformation plastique dans les modèles micro-macro, et de capter ainsi de nouveaux effets non décrits par les ap-proches en champs moyens (cf. Chapitre 2). Même si l’approche reste statique, ceci constitue aussi une voie alternative aux simulations de dynamique des dislocations
discrètes [Kub92, Ver98, Sch99, KZ02] qui sont très consommatrices en temps de