Dans ce chapitre, une approche spectrale basée sur l’algorithme FFT est déve-loppée pour résoudre de façon précise et rapide les équations élasto-statiques de la Mécanique des Champs de Dislocations (FDM) dans les milieux périodiques, élas-tiques, linéaires, homogènes ou hétérogènes. Les champs élastiques dûs aux hétéro-généités élastiques et à la présence des densités de dislocations sont obtenus grâce à la résolution des équations de type Poisson et de type Lippmann-Schwinger avec incompatibilités à l’aide d’un algorithme à point fixe (algorithme de base pour la résolution de la déformation élastique compatible). Trois procédures différentes ont été utilisées pour le calcul des dérivées partielles spatiales de premier et de second ordre. Tout d’abord, la procédureP−LSrésultant de l’utilisation de l’approximation classique a été appliquée à la résolution des équa-tions de type Poisson et de type Lippmann-Schwinger. Ensuite, la procédurePC−LS résultant de l’utilisation de la DFT avec les différences finies centrées à 9 pixels pour la résolution de l’équation de type Poisson, et l’approximation FFT classique pour la résolution de l’équation de type Lippmann-Schwinger. Enfin la procédurePC−LSR résultant de l’utilisation de la DFT avec les différences finies centrées à 9 pixels pour la résolution de l’équation de type Poisson, et le schéma "rotated" (basée sur les différences finies sur une grille pivotée de 45˚) pour la résolution de l’équation de type Lippmann-Schwinger. Dans le cas de l’élasticité homogène, la précision de la méthode a été vérifiée dans le cas des dislocations individuelles vis et coin définies sur un seul pixel et par différentes distributions (Gaussienne par exemple). Les résultats FFT ont été donc comparés de manière satisfaisante aux solutions analytiques et aux résultats éléments finis avec des conditions aux limites périodiques. Les simulations ont également montré l’éfficacité de la présente approche FFT en terme de temps de calcul par comparaison à la méthode EF. Dans le cas de l’élasticité hétérogène, des comparaisons ont été effectuées avec les solutions analytiques, dans le cas d’une densité de dislocations coin définie sur un seul pixel au centre d’une inclusion circulaire noyée dans une phase matrice. Ces comparaisons ont montré que la procédure PC −LSR est plus précise et plus rapide que les procéduresP−LS etPC−LS. L’efficacité de la procédurePC−LSR s’est confirmée par des comparaisons satisfaisantes avec les solutions analytiques dans le cas extrême (contraste infini) d’une dislocation coin interagissant avec un trou circulaire 2D. D’autre part, la comparaison des nombres d’itérations entre les procédures PC −LS et PC −LSR pour des contrastes mécaniques inférieurs à un, a montré la rapidité de convergence de la procédure PC −LSR (notamment par rapport à la procédure classique de Moulinec et Suquet). contraintes dans les cas physiques rencontrés dans les matériaux cristallins tels qu’un dipôle de dislocation coin localisé autour de l’inclusion et contraint à l’interface de discontinuité matrice/inclusion d’un matériau composite 2D. Par ailleurs, l’approche a été étendue aux simulations 3D, telle qu’une distribution d’inclusions cubiques ri-gides entourées de boucles de dislocations constituées de segments vis ou de segments coins. La suite de ce mémoire est organisée comme suit. Dans le chapitre 4, il sera question de résoudre l’équation de transport des densités de dislocations par une approche spectrale de type FFT basée sur l’utilisation des filtres spectraux de type exponentiel. Le chapitre 5 sera consacré au développement d’un modèle complet de type FFT pour la résolution de la FDM phénoménologique et mésoscopique en élasto-viscoplasticité pour la simulation de la plasticité cristalline d’agrégats poly-cristallins, en y intégrant l’approche FFT sur le transport des densités de dislocations et les schémas centrés et "rotated" pour la résolution des équations d’incompatibilité et d’équilibre, respectivement. Chapitre 4 Résolution de l’équation de transport des densités de dislocations par une approche spectrale de type Transformée de Fourier Rapide 4.1 Objectifs Dans le chapitre 3, nous avons développé une approche spectrale de type Tans-formée de Fourier Rapide (FFT : "Fast Fourier Transform" en anglais) en utilisant la Tansformée de Fourier Discrète (DFT : "Discret Fourier Transform" en anglais) pour le calcul des champs élasto-statiques de la Mécanique des Champs de Dislo-cations (FDM : "Field DisloDislo-cations Mechanics" en anglais) en élasticités homogène et hétérogène. Les résultats obtenus ont montré que cette approche spectrale est aussi efficace que les approximations éléments finis en terme de précision mais plus intéressante en terme de temps de calculs. Motivé par les capacités prédictives et surtout par la rapidité de calcul de cette approche spectrale pour les champs élasto-statiques, nous nous proposons dans ce chapitre de développer une approche spectrale pour résoudre de façon précise et rapide l’équation de transport des densités de dislocations (équation (2.73)). Le développement d’une telle approche pour la résolution de l’équation de transport permettra d’implémenter la théorie de la Mécanique des Champs de Dislocations (FDM : "Field Dislocations Mechanics" en anglais) et la théorie Phénoménologique et Mésoscopique de la Mécanique des Champs de Dislocations (PMFDM : "Pheno-menological Mesoscopic Field Dislocations Mechanics" en anglais) par FFT, avec comme objectif principal, une importante réduction du temps de calcul, compara-tivement aux techniques éléments finis (sous-sections 2.4.6.1, 2.4.6.2 et 2.5.5.1) [7]. Ainsi, la modélisation de la plasticité des agrégats polycristallins deviendra mieux accessible avec la théorie PMFDM comme on le verra dans le dernier chapitre de ce manuscrit (chapitre 5). La nature hyperbolique de l’équation de transport des dislocations constitue une source d’instabilités numériques croissantes dues au développement des hautes fréquences comme décrites dans la sous-section 2.5.5.1 dans le cas des approxima-tions éléments finis. Dans les méthodes spectrales, ces instabilités sont renforcées par l’apparition de fortes oscillations qui sont inhérentes aux approximations FFT surtout dans les régions de discontinuités (phénomène de Gibbs). Dans la littéra-ture, des filtres spectraux ont été utilisés pour dissiper ces hautes fréquences qui se développent dans la résolution des équations de type hyperbolique, afin d’obte-nir des solutions numériques stables [154, 124, 152, 225, 90, 37, 89, 88, 202]. Ces filtres ont pour principe d’enlever les hautes fréquences, sources d’instabilités, aux points de discontinuités. Dans ce chapitre, nous allons analyser l’influence de deux filtres spectraux passe-bas sur la stabilité numérique et la précision de la solution de l’équation de transport des densités de dislocations à vitesses de dislocations im-posées constantes. Notamment, le filtre cosinus [154, 124, 225, 89, 202] et le filtre exponentiel [154, 124, 152, 225, 90, 37,89, 88] seront analysés. Le chapitre est organisé comme suit. Dans la section 4.2, l’équation de transport des densités de dislocations sera brièvement rappelée. Cette équation sera réso-lue dans la section 4.3 par une approche spectrale FFT couplée à l’utilisation des filtres spectraux. L’implémentation numérique de l’approche spectrale filtrée sera également présentée. Dans la section 4.4, l’approche spectrale filtrée est compa-rée avec la solution exacte et l’approximation éléments finis basée sur le schéma Galerkin/Moindres-Carrés (cf. sous-section 2.5.5.1) [224, 52] dans le cas des pro-blèmes de transport et d’annihilation en 1D. Dans la section 4.5, l’approche spec-trale utilisant le filtre exponentiel sera finalement choisie et appliquée à la simulation de l’extension et de l’annihilation des boucles de dislocations en deux et trois di-mensions (2D et 3D). Les résultats obtenus seront discutés dans la section 4.6. Il faut noter que ce chapitre a été récemment publié dans le journal "Modelling and 4.2 Equation de transport de densités de Dans le document Développement et applications d’une technique de modélisation micromécanique de type "FFT" couplée à la mécanique des champs de dislocations (Page 152-157)
