Z ∂Ωj ξGi ds − ξj+1 Z ∂Ωj Gi ds . Cependant avec une limite interne, pour tout point i et j nous avons : pour j = n1 V1i n1 = 1 ξ1− ξn1 Z ∂Ωn1 ξGi ds − ξ1 Z ∂Ωn1 Gi ds , pour j = n2 V1i n2 = 1 ξn1+1− ξn2 Z ∂Ωn2 ξGi ds − ξn1+1 Z ∂Ωn2 Gi ds .
Nous rappelons enfin que, dans le cas considéré dans ce travail, le système à résoudre sera exprimé dans le domaine de Laplace. On aura donc à la place de u une fonction qui décrit le comportement du rabattement (avec un terme de rabattement). Ce terme de rabattement sera noté par exemple sD s’il est exprimé de manière adimensionnelle et dans le domaine de Laplace. Les résultats ainsi obtenus pourront alors être inversés numériquement à l’aide des algorithmes d’inversions classiques, comme par exemple ceux proposés par Stehfest (1970); De Hoog et al.
(1982). L’implémentation de la méthode des éléments de frontière peut se faire aisément à l’aide du logiciel de calcul scientifique Octave (Eaton et al.,1997).
1.4 Conclusion
En conclusion, les aquifères karstiques se distinguent des aquifères poreux et fracturés par la variabilité spatiale et temporelle des composants hydrauliques majeurs. La circulation d’eau (associée à son pouvoir de dissolution) dans les discontinuités structurelles préexistantes d’un réservoir carbonaté favorise l’élargissement de ces discontinuités. Aussi, cet élargissement a pour conséquence de favoriser la circulation d’eau. Ainsi, au sein de chaque réservoir karstique, le transfert de flux s’effectue dans un réseau hiérarchisé qui s’est auto-développé.
La structure verticale d’un réservoir karstifié peut-être décrite de manière conceptuelle selon trois zones d’écoulements spécifiques : (i) l’épikarst et les zones de recharge ponctuelles permettent les échanges entre eau de surface (météorique et rivière) et le milieu sous-jacent, (ii) la zone de transfert (concentré ou diffus), non nécessairement saturée entre la zone de recharge et la zone saturée, (iii) la zone saturée où les transferts sont localisés (dans des zones à forte conductivité hydraulique) vers l’exutoire.
Le stockage et le transfert de masse et de pression dans ces réservoirs dépend (i) des propriétés de la roche dans laquelle se développent les réseaux de conduits et (ii) de la structure du réseau.
1.4. Conclusion 27
Le stockage peut s’établir selon diverses échelles au sein de différents volumes : (i) dans la porosité matricielle de la roche ou dans des micro-fractures, (ii) dans des cavités mal connectées au système de drainage actif (i.e. actuellement sollicité), (iii) temporairement dans l’épikarst. Nous noterons qu’à chaque zone de transfert est associée une conductivité hydraulique spécifique. Le transfert de flux dans ces réservoirs dépend de la structure spatiale du réseau de conduit. En effet, les réseaux de conduits sont à l’origine du drainage des structures de stockage. Une distribution dense et une importante connectivité en 4-D (espace et temps) du réseau de conduits permettra un drainage important des volumes de stockage.
La variabilité spatiale (3-D) des réseaux de conduits et leur interaction avec l’ensemble de l’aquifère influencent les flux transférés entre les zones de stockage (ou de recharge) et le réseau de drainage. Ces interactions sont difficiles à appréhender à cause du manque de connaissance du milieu et du manque d’outils adéquats (physique et numérique) pour les explorer. Physiquement, l’accès à l’information sur la structure de l’aquifère est aujourd’hui complexe et dépendante de la localisation du point d’observation. L’observation (et l’information de structure) est en général restreinte au point d’observation ou à son environnement très proche (quelques mètres). Mathéma-tiquement et numériquement, les difficultés rencontrées se situent dans la validité des changements d’échelles employées. Les lois généralement utilisées pour décrire convenablement les écoulements sont la plupart du temps mal adaptées au cas des écoulements dans le karst.
Le réseau de drainage (conduits noyés) joue un rôle primordial dans le fonctionnement hydro-dynamique des aquifères karstiques. Toutefois, aucune méthode ne permet actuellement de décrire précisément la géométrie ou la position des réseaux de conduits noyés. En outre, les conduits verticaux (ou les formes de drainage similaires) sont généralement peu pris en compte dans la modélisation des transferts de flux. Ces conduits ont pourtant un impact très important puis-qu’ils permettent les connexions hydrauliques entre zone de transfert et zone noyée. Deux enjeux scientifiques majeurs actuels de l’hydrogéologie karstique sont (i) de mesurer la position et/ou la géométrie des conduits noyés et (ii) de quantifier les interactions entre deux zones de stockage et deux de drainage, la zone noyée et la zone sus-jacente. Ces enjeux nécessitent non seulement de développer de nouvelles approches mais de pérenniser les observations réalisées sur les milieux naturels, à des fréquences d’échantillonnage adéquates.
Chapitre 2
Solution analytique pour des essais à
charge constante en milieu
double-porosité
Sommaire
1.1 Les aquifères karstiques. . . . 5
1.1.1 Spéléogénèse et structure endokarstique . . . . 5
1.1.2 Conceptualisation des écoulements dans le karst . . . . 8
1.2 Méthodes d’identification de conduits karstiques . . . . 9
1.2.1 Traceurs naturels et artificiels . . . . 9
1.2.2 Méthodes hydrauliques. . . . 10
1.2.3 Méthodes géophysiques . . . . 11
1.2.4 Autres méthodes . . . . 11
1.3 Modélisation et hydrodynamique karstique . . . . 11
1.3.1 Volume élémentaire représentatif . . . . 12
1.3.2 Approche expérimentale de laboratoire. . . . 13
1.3.3 Approche globale . . . . 14
1.3.4 Approche distribuée . . . . 15
1.3.5 Méthodes numériques de résolutions des équations d’écoulement . . . . 20
1.3.6 Méthode des éléments et intégrales de frontières . . . . 21
1.4 Conclusion . . . . 26
2.1 Introduction
Problématique
La modélisation des écoulements dans les aquifères karstiques nécessite une approche spé-cifique. En effet, comme expliqué précédemment dans le Chap. 1, les aquifères karstiques sont des aquifères qui comportent des structures hydrauliques hétérogènes et donc des comportements hydrodynamiques complexes. Les hétérogénéités de structure résultent d’une succession d’interac-tions entre contexte géologique, écoulements et processus d’érosion (p. ex. chimique ou mécanique). Plusieurs types de modèles conceptuels ont été développés, par différents auteurs, pour représen-ter par exemple le comportement hydraulique non linéaire des aquifères karstiques. Ces différents types d’approches ont été présentés dans le Chap. 1.
Le type de comportement hydraulique (local ou régional) généralement reconnu pour les aqui-fères karstiques est un comportement à double-porositéDrogue(1969,1980);Goldscheider et Drew
30
Chapitre 2. Solution analytique pour des essais à charge constante en milieu double-porosité
Figure 2.1 – Exemple de schématisation du niveau piézométrique à plusieurs étapes lors de la vidange de blocs matriciels par des conduits à forte conductivité hydraulique. Le ni-veau (h0) de base de la vidange est une condition à la limite de charge imposée à l’interface conduit/matrice, modifié d’aprèsKovács et al.(2005).
pour l’interprétation de perturbations hydrauliques artificielles (Lods et Gouze,2004;Kaczmaryk et Delay, 2007). Pour la simulation des écoulements régionaux (Teutsch, 1988, 1990; Sauter,
1992) considèrent un milieu à double-perméabilité. D’autres auteurs ont aussi considéré le flux de vidange et la période de récession des aquifères karstiques comme issus de la vidange de bloc po-reux. La solution analytique développée dans l’étude menée par Kovács et al.(2005) n’est valable que lorsque la conductivité hydraulique des drains n’influence plus le flux provenant des blocs de matrices. Dans ce cas, les auteurs considèrent que la charge dans les blocs ne varient plus et que les blocs de matrices (à une porosité) sont entourés par une limite à charge constante (comme sur la Fig.2.1).
Objectif
En accord avec les essais par pompage qui sollicitent le domaine d’écoulement à l’échelle locale, nous associons alors un comportement à double-porosité aux blocs de matrice fissurée représentés sur la Fig.2.1. On peut penser qu’il serait judicieux de tenir compte du comportement hydraulique local (à double-porosité) pour simuler le comportement régional également à double-porosité.
L’objectif de ce chapitre est d’étudier à l’aide d’une solution analytique, le comportement du flux en régime transitoire dans un milieu à double-porosité sous la contrainte d’une perturbation hydraulique. Nous considérons une perturbation liée à (i) une condition à la limite (au puits) de type charge imposée, et (ii) un milieu d’extension infinie.
Pour répondre à cet objectif, sur la base des nombreuses solutions analytiques existantes (dé-veloppées par Barenblatt et al. (1960); Warren et Root (1963); Boulton et Streltsova (1977);
Moench (1984)) pour interpréter les variations de pression et/ou de flux lors d’une perturbation hydraulique d’un réservoir fissuré, nous considérons l’une des solutions analytiques des plus géné-rales (Hamm et Bidaux,1996). La solution analytique considérée n’a toutefois jamais été étudiée selon la condition à la limite proposée ici (charge imposée). Les milieux à double-porosité suivent un comportement hydraulique particulier où 3 phases sont généralement identifiées. Nous propo-sons d’appliquer une méthode de caractérisation basée sur l’étude de la dérivée seconde comme définit par Roberts et al. (1999). Ceci permet (i) de mieux contraindre les possibilités d’identifi-cation des paramètres hydrauliques du milieu, et (ii) d’identifier les phases de transitions dans la réponse du flux.
Ce chapitre est organisé comme suit. Dans une première partie, nous présentons une brève revue de littérature des solutions analytiques utilisées pour l’interprétation des essais de puits menés dans des milieux à double-porosité. En seconde partie, nous présentons la méthode de résolution employée avec un exemple de résolution pour un modèle à simple porosité ; ensuite, le modèle mathématique à double-porosité considéré pour notre étude est présenté en détail. Une