R´ eduction de la zone d’´ etude :
2.1 Pr´ esentation de la probl´ ematique du rac- rac-cord
2.2.5 Conclusion sur les raccords simples
X1.E4 deplacement contrainte Type de raccord : C1 C2 C3
Figure 2.8 – ´Evolution de MY suivant l1 : cas homog`ene isotrope
2.2.5 Conclusion sur les raccords simples
Contrairement au cas des plaques, il n’est pas possible de construire sim-plement un raccord correct entre une poutre et un massif. Tous les raccords envisag´es g´en`erent un effet ind´esirable pr`es de la zone de raccord. Il ne peuvent donc pas ˆetre utilis´es directement. Cependant, dans la zone int´erieure, le rac-cord en contrainte donne de bons r´esultats ce qui est en acrac-cord avec le principe de Saint-Venant.
Dans le cas de l’introduction de fonctions de gauchissement, la r´esolution de probl`emes auxiliaires devient n´ecessaire comme c’est le cas pour la th´eorie exacte des poutres d´evelopp´ee ci-apr`es. Dans la mesure o`u la difficult´e de mise en oeuvre est ´equivalente, cette derni`ere th´eorie est pr´ef´er´ee car elle permet de construire « exactement » la solution de Saint-Venant.
moment My z 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 X1.E2 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 X1.E4 C1 C2 C3 deplacement Type de raccord : contrainte
Figure 2.9 – ´Evolution de MY suivant l1 : cas composite
2.3 Principe de Saint-Venant
Le lecteur trouvera un bilan des travaux effectu´es sur le principe de Saint-Venant dans (Horgan et Knowles, 1983; Horgan, 1989, 1996) et un exemple de son utilisation sur des cylindres h´et´erog`enes anisotropes dans (Dong et al., 2001a,b,c). De mani`ere classique, le principe de Saint-Venant peut s’´enoncer de la mani`ere suivante :
”Dans la section droite d’une poutre, la distribution de contraintes due `a un syst`eme de forces, appliqu´ees `a une certaine distance de cette section, ne change pas si l’on substitue `a ces forces un autre syst`eme, provoquant les mˆemes efforts int´erieurs ; seules changent, sur une longueur ´egale `a une `a deux fois la plus grande dimension transversale de la poutre, les contraintes locales pro-voqu´ees par l’introduction de forces.”
Ce principe donne donc une ´equivalence entre deux chargements par rap-port `a la solution int´erieure d’un probl`eme d’´elasticit´e. La condition d’´equi-valence entre chargements est exprim´ee par l’´egalit´e des torseurs des actions m´ecaniques appliqu´ees.
La vision pr´esent´ee par Ladev`eze (Ladev`eze, 1983) et `a l’origine de la th´eo-rie exacte des poutres (Ladev`eze et Simmonds, 1995; Sanchez, 2001), part de
la volont´e de s´eparer l’effet `a grande longueur de variation de la solution de l’effet `a faible longueur de p´en´etration (effet de bord). Pour cela, l’hypoth`ese de comportement ´elastique est indispensable, sans quoi la propri´et´e de super-position est perdue. Le but est donc de trouver la classe de conditions limites assurant la localisation des contraintes et des d´eplacements.
Remarque : On appellera solution de Saint-Venant la partie polynˆomiale (i.e. `a grande longueur d’onde) de la solution du probl`eme ´elastique trait´e (l’´etude dans le cas de chargements sur la surface lat´erale et des forces volumiques de la poutre ´etant en fait due `a Almansi - Michell). On trouvera des exemples de solutions de Saint-Venant dans le cas de tubes composites dans (Xia et al., 2001b, 2002, 2001a,c).
La solution de Saint Venant s’´ecrit de la mani`ere suivante :
Usv = ˜u + ˜ω ∧ ~X + A ˜N + B ˜M + zd (2.32)
σsve~z = A0N + B˜ 0M + Z˜ d (2.33)
avec :
– A0, B0, A, B sont des op´erateurs caract´eristiques de la section droite et du mat´eriau, constants par rapport `a z ;
– zd, Zd sont des vecteurs constants par rapport `a z, caract´eristiques des efforts, de la g´eom´etrie et du mat´eriau ;
– ˜u, ˜ω sont des vecteurs constants dans la section droite qui ne d´ependent donc que de z ;
– ˜N , ˜M sont respectivement la r´esultante et le moment de σ ~ez, en ´equilibre avec les charges.
La condition de localisation des contraintes et des d´eplacements (´equation de Maxwell-Betti ´ecrite sur une section) s’´ecrit alors :
∀s∗sv : [s0, s∗sv] = 0 (2.34)
[s0, s∗sv] = Z
S
σ∗sv e~z· U − σ ~ez· Usv∗ dS (2.35) En injectant les expressions de Usv et σsve~z dans cette derni`ere ´equation, il est possible d’´ecrire la condition de localisation en fonctions de grandeurs g´en´eralis´ees `a d´efinir.
Z
S
σsv∗ e~z· U − σ ~ez · Usv∗ dS = ˜N∗u + ˜˜ M∗ω + ˜˜ N ˜u∗+ ˜M ˜ω∗ (2.36) Les grandeurs g´en´eralis´ees sont les suivantes :
– Contraintes g´en´eralis´ees : ˜ N = Z S σ ~ez dS (2.37) ˜ M = Z S ~ X ∧ σ ~ez dS (2.38) – D´eplacements g´en´eralis´es : ˜ u = Z S A0TU − ATσ ~ez dS (2.39) ˜ ω = Z S B0TU − BTσ ~ez dS (2.40)
Remarque : Les quantit´es g´en´eralis´ees d´efinies ici seront `a la base de la th´eorie exacte des poutres qui fera l’objet du paragraphe suivant. La construction du d´eplacement g´en´eralis´e n’est pas une simple moyenne mais fait intervenir des op´erateurs, ceux-ci permettront la mise en place du comportement poutre de la th´eorie exacte des poutres. De plus, au mˆeme titre que les contraintes g´en´erali-s´ees, les d´eplacements g´en´eralis´es d´efinissent une ´equivalence entre conditions limites. Des conditions limites dites ´equivalentes g´en`erent alors la mˆeme solu-tion int´erieure. Autrement dit, pour un effet localis´e les quantit´es g´en´eralis´ees sont nulles. On retrouve cette id´ee de conditions limites assurant la localisation des contraintes et des d´eplacements dans les travaux de (Buannic et Cartraud, 2001b) par exemple.
La solution du probl`eme d’´elasticit´e se d´ecompose alors comme suit : s(z) = ssv(z) | {z } solution de St Venant + Z L 0 s±(z − t, t) | {z }
densit´e d’effet localis´e
dt
Pour certains types de g´eom´etries (voiles minces par exemples), les solutions localis´ees peuvent donc recouvrir l’int´egralit´e de la poutre. La solution de Saint-Venant n’est alors pas ”visible”, et il faut utiliser une th´eorie de poutre adapt´ee pour capter la solution int´erieure (Vlassov, 1962; Grillet et al., 2000).