Ce travail de thèse a initialement été motivé par des questions issues de la formulation tensorielle des lois de comportement en mécanique des milieux continus. Mathématique-ment, il nous a fallu comprendre et développer des méthodes effectives pour
1. calculer des classes d’isotropies ;
2. calculer des familles génératrices finies d’algèbres d’invariants.
Par les opérations de Clips, nous avons pu développer un algorithme général pour répondre à la première question dans le cas des espaces de tenseurs. C’est ensuite par une reformulation de l’algorithme de Gordan que nous avons pu obtenir de nouveaux résultats sur les algèbres d’invariants et de covariants de formes binaires, ce qui se traduit ensuite directement en termes d’invariants d’espaces de tenseurs.
Mais les résultats montrent que le travail initié dans cette thèse ne peut s’arrêter en l’état. Dans le cas de l’élasticité, en effet, nous avons pu déterminer une famille gé-nératrice minimale de 299 invariants. A partir d’une telle famille, on pourrait tenter d’en extraire une famille de séparants plus petite, si elle existe. Une autre piste consiste à rechercher un système générateur du corps des invariants rationnels, en cherchant par exemple des invariants rationnels. L’une des applications possible de ces recherches est de finir le travail initié par Aufray et al. [AKP14] sur la stratification de l’espace (Ela, SO(3)).
Indépendamment de ces résultats obtenus sur les tenseurs piézoélectriques et élas-tiques, la reformulation de l’algorithme de Gordan ouvre aussi des pistes sur les algèbres de covariants de formes binaires de degré plus grand que 8. Par un travail commun avec Lercier, nous avons déjà pu obtenir des bases de covariants de formes binaires de degré 9 et 10, démontrant ainsi les conjectures sur ces degrés. Les covariants de formes binaires de degré 12 semblent eux aussi accessibles, ce qui permettrait notamment d’étudier une conjecture de Dixmier sur les systèmes de paramètres des invariants de formes binaires : Conjecture 7.3.6. Pour tout entier n ≥ 1, l’algèbre C[S4n]SL(2,C) possède un système de paramètres de degré 2, 3, . . . , 4n − 1.
Un telle conjecture n’a été montrée que pour n = 1 et n = 2. Un nouveau résultat sur S12permettrait ainsi de progresser sur ce point.
Enfin, précisons que les questions d’effecivité interviennent aussi en informatique
quan-tique, ce qui fait intervenir des formes ternaires [Luq07]. Dans ce cadre, certains travaux avaient été tenté, par les anciens, pour adapter l’algorithme de Gordan mais le sujet demeure globalement encore assez vierge.
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