2.4 Fermionic Hamiltonians of groundstatable wavefunctions
2.4.3 Conclusion
En conclusion, nous avons vu que l’approche choisie dans cette ´etude, partir de la fonction d’onde pour reconstruire l’Hamiltonien parent, peut donner de nouvelles informations sur des mod`eles non simulables par des m´ethodes classiques. En particulier, nous avons pu obtenir des r´esultats significatifs sur des syst`emes de fermions en interaction qui ont normalement un probl`eme de signe.
La fiabilit´e de notre m´ethode num´erique a tout d’abord ´et´e test´ee sur la fonction d’onde de Calogero-Sutherland en retrouvant la forme appropri´ee de l’Hamiltonien. En deux dimensions, nous avons pu illustrer la perte de fondamentalisation, en ´etudiant les variations de l’´energie potentielle et de l’overlap δ lorsqu’on d´eforme la surface de Fermi de la fonction d’onde libre. L’overlap montre une chute brutale au point o`u la fonction d’onde change de statut, chute s’ac- centuant lorsque la taille du syst`eme augmente. En ce point, bien que la fonction d’onde soit parfaitement d´efinie et continue, l’Hamiltonien devient singulier. Il serait int´eressant de trouver d’autres exemples de syst`emes fermioniques pouvant continument passer du statut d’´etat fon- damental `a celui d’´etat excit´e pour pouvoir montrer le caract`ere g´en´erique du comportement de δ. L’analyse de fonctions d’onde BCS et SDW fait apparaˆıtre des r´esultats parfaitement en accord avec les approches champ moyen plus anciennes : l’´etat supraconducteur `a sym´etrie s est favoris´e par des interactions attractives fortes et de tr`es courte port´ee alors que l’´etat de sym´etrie d est g´en´er´e par un potentiel plus faible en amplitude o`u les interactions entre plus proches voisins sont pr´edominantes. L’´etat antiferromagn´etique onde de densit´e de spin r´esulte lui d’un Hamiltonien r´epulsif avec des interactions de longue port´ee. Dans tous les cas, l’overlap reste tr`es proche de 1 pour une large gamme de param`etres, ce qui conforte l’approximation du potentiel `a deux corps. Nous avons aussi men´e l’´etude de fonctions partiellement projet´ees. Etant donn´e que le projecteur ne change pas le signe de la fonction d’onde, ces ´etats sont forc´ement fondamentalisables si l’´etat non projet´e poss`ede cette propri´et´e. Le potentiel obtenu dans le cas d’une fonction BCS fait apparaˆıtre un terme de Hubbard qui croˆıt lorsque la double occupation de sites est p´enalis´ee. Le cas des fonctions RVB o`u les sites doublement occup´es sont compl`etement interdits apparaˆıt comme un point singulier dans notre approche. Enfin,
2.4. FERMIONIC HAMILTONIANS OF GROUNDSTATABLE WAVEFUNCTIONS.
nous nous sommes int´eress´es `a un cas plus complexe de fonction d’onde pouvant contenir les ´etats supraconducteurs et antiferromagn´etiques. L’´etude des param`etres d’ordre fait apparaˆıtre un point non trivial autour duquel supraconductivit´e et ordre magn´etique sont simultan´ement favoris´es. Le potentiel associ´e contient sans doute une interaction attractive de longue port´ee associ´ee `a une r´epulsion de courte port´ee.
De nombreux d´eveloppements sont possibles `a partir de cette ´etude. Tout d’abord, on pourra penser `a finir d’explorer l’espace des param`etres pour la fonction d’onde mixte BCS-SDW (ici, nous n’avons que consid´er´e le cas o`u les valeurs des coefficients ∆ ´etaient ´egales). La mˆeme ´etude pour un ´etat de sym´etrie d r´eserve probablement beaucoup de surprises et de nouveaut´es. Un autre ensemble de fonctions d’onde `a consid´erer serait les fonctions de type ϕ(r)∼ 1/rα. Il reste
`a d´eterminer un moyen pour prouver qu’elles sont effectivement l’´etat fondamental du syst`eme. Plus g´en´eralement, l’approche que nous suivons devrait permettre de savoir si certaines phases exotiques, comme les non-liquides de Fermi, sont permises dans la nature. Au lieu de chercher des Hamiltoniens qui admettent un tel ´etat pour solution, on peut num´eriquement construire les Hamiltoniens cibles en partant de la fonction d’onde et de termes cin´etiques locaux. La question de savoir si les phases correspondantes sont effectivement r´ealis´ees dans la mati`ere revient `a savoir si l’´etat est fondamentalisable ou pas.
Study of an anisotropic spin tube with
integer spin.
La physique du probl`eme `a N corps en dimension 1 est particuli`ere tant dans ses effets que dans les m´ethodes employ´ees pour la comprendre. Ici existent des phases telles qu’on n’en trouve pas dans les dimensions sup´erieures, comme le liquide de Luttinger pour les chaˆınes de fermions ou l’´etat de Haldane pour les chaˆınes de spins. Cela est dˆu au fait que les corr´elations entre particules sont extrˆemement fortes en une dimension, et que les fluctuations quantiques y jouent un rˆole tr`es important. Le cas des chaˆınes de spins est riche de cette physique particuli`ere. On pourrait penser qu’en application du th´eor`eme de Mermin-Wagner [2], le cas unidimensionnel se limite `a un ´etat banalement d´esordonn´e, analogue quantique de la phase paramagn´etique du mod`ele d’Ising, o`u les spins se meuvent de fa¸con ind´ependante. En r´ealit´e, les ´etats d´esordonn´es des chaˆınes de spins se rapprochent plutˆot des ´etats RVB que nous avons rencontr´es en deux di- mensions : ils sont souvent associ´es `a un ordre topologique et peuvent pr´esenter des corr´elations `a courte ou `a longue port´ee. Un des r´esultats primordiaux sur les chaˆınes non frustr´ees est la conjecture de Haldane. Ce dernier a postul´e que le mod`ele de Heisenberg pour n’importe quel spin demi-entier a toujours des corr´elations spin-spin qui d´ecroissent alg´ebriquement avec la distance alors que les chaˆınes de spins entiers ont des corr´elations exponentielles [111]. Cette conjecture a ´et´e plus tard g´en´eralis´ee aux syst`emes en ´echelle [112] et on en connaˆıt aujourd’hui de nombreuses v´erifications exp´erimentales [113]. En une dimension, l’effet de la frustration sera d’autant plus fort que les fluctuations quantiques y tiennent un rˆole pr´epond´erant. Dans notre recherche de phases exotiques, il est donc essentiel de se pencher sur le cas frustrant. Dans ce chapitre, nous ´etudierons l’exemple du tube de spin triangulaire avec spins entiers. La g´eom´etrie triangulaire permet d’introduire naturellement de la frustration. Les probl`emes de spins entiers sont particuli`erement int´eressants car ils poss´edent naturellement un ordre ”cach´e” [87]. En ef- fet, bien qu’´etant d´epourvus d’un param`etre d’ordre local, il est parfois possible de caract´eriser certaines de leurs phases en fonction d’un param`etre d’ordre non local, associ´e `a une brisure de sym´etrie non triviale. C’est cette vari´et´e de phases, ainsi que la nature des transitions, que nous cherchons `a d´eterminer dans notre probl`eme.
Notre mod`ele consiste en une chaˆıne de spins S o`u les spins sont coupl´es par triangle. Tous les couplages sont antiferromagn´etiques. Il y a trois constantes de couplage pertinentes dans ce probl`eme : le couplage parall`ele J! le long de la chaˆıne, et deux couplages inter-chaˆınes diff´erents
J⊥ et αJ⊥ avec 0≤ α. L’Hamiltonien s’´ecrit : ˆ H = Hˆ!+ ˆH⊥ (3.1) ˆ H! = J!! i,a (Si,a· Si+1,a) ˆ H⊥ = J⊥ ! i
(Si,3· Si,1+ Si,2· Si,3+ αSi,1· Si,2) ,
o`u i = 1...N est l’indice de la chaˆıne et a = 1, 2, 3 est l’indice du barreau. Le param`etre d’anisotropie α permet de contrˆoler l’importance de la frustration.
Ce probl`eme a d´ej`a ´et´e ´etudi´e dans des cas d’int´erˆets diff´erents. Dans le cas des spins S = 1/2, on peut utiliser la bosonisation [114], des approches effectives de type couplage fort ou le DMRG (Density Matrix Renormalization Group) [115, 116]. Une ´etude du groupe de T. Sakai met notamment en ´evidence un diagramme de phase riche poss´edant une phase gapp´ee et dim´eris´ee et d’autres phases aux corr´elations critiques. Un autre moyen pour obtenir des informations sur ce genre de syst`emes consiste `a consid´erer de grandes valeurs de S et `a introduire autour de l’´etat d’´equilibre classique des fluctuations quantiques. Ces fluctuations peuvent alors ˆetre trait´ees perturbativement (d´eveloppement en ondes de spins) [117] ou non perturbativement (mod`ele sigma non lin´eaire) [118, 119, 120]. Dans le cas qui nous int´eresse, nous appliquons ces diff´erentes m´ethodes pour obtenir une image nouvelle et coh´erente du tube de spins entiers. Nous commen¸cons par une approche de couplage fort, en analysant la physique d’un seul triangle, classique et quantique, puis en ajoutant un faible couplage longitudinal J!. Ensuite, nous introduisons la physique des spins entiers, du string order parameter et des sym´etries cach´ees. A l’aide d’une transformation non locale, nous proposons un param`etre d’ordre apte `a distinguer les diff´erentes phases du mod`ele. Notre analyse est confirm´ee par un calcul DMRG pour le cas S = 1 o`u en fonction de α, deux nouveaux points critiques semblent ˆetre observ´es. Pour mieux comprendre la possibilit´e de points critiques dans le mod`ele, nous nous tournons finalement vers une approche grand S, en pr´esentant un calcul d’ondes de spin, puis en d´erivant le mod`ele sigma non lin´eaire. Nous mettons l’accent sur l’apparition d’un terme imaginaire dans l’action, et montrons que sa pr´esence peut expliquer les points critiques observ´es [121].
Fig. 3.1 – The geometry of the system studied.