∨ ( (x+1,x−1,0)∧Exp ( {x+1,x+2,x+5},EB\{(x+3,y−2,0),(x+4,x−2,0),(x+4,x−5,0),(x+5,x−5,0)})) Remarque 5 L’ordre de traitement des sommets x+i est arbitraire. Le résultat final i.e. l’expression booléenne Exp(V+,EB) est toujours le même quelque soit l’ordre de traitement des sommets x+i . De la même façon, nous calculons les expressions booléennes : Exp ( {x+1,x+2,x+5},EB\ {(x+3,y−2,0),(x+4,x−2,0),(x+4,x−5,0),(x+2,x−2,0)})) et Exp ( {x+1,x+2,x+5},EB\ {(x+3,y−2,0),(x+4,x−2,0),(x+4,x−5,0),(x+5,x−5,0)})). Nous obtenons ainsi l’expression booléenne de la condition de lien complet donnée par : M C(V+, V−) =Exp(V+,EB) = (x+3,y2−,0)∧((x+1,y1−,0)∨(x+1,x−1,0)∨(x+1,x−2,1) ) ∧ ((( (x+2,x−1,1)∨(x+2,x−3,0) ) ∧(( (x+4,x−2,0)∧(x+5,y−3,0)) ∨((x+4,x−2,0)∧(x+5,x−5,0)) ∨ ( (x+4,x−2,0)∧(x+5,x−4,0)) ∨((x+4,x−5,0)∧(x+5,y−3,0)) ∨((x+4,x−5,0)∧(x+5,x−4,0)))) ∨ ( (x+2,x−4,0)∧(( (x+4,x−2,0)∧(x+5,y−3,0)) ∨((x+4,x−2,0)∧(x+5,x−5,0)) ∨((x+4,x−5,0)∧(x+5,y3−,0))) ∨ ( (x+2,x−2,0)∧(( (x+4,x−2,0)∧(x+5,x−5,0)) ∨((x+4,x−5,0)∧(x+5,y3−,0))))) À partir de l’expression booléenne M C(V+, V−), nous constatons que l’arc (x+3,y−2,0) est essentiel pour la vérification de la condition de distance entreV+=X+ et V−=X−∪Y−. Donc, si cet arc n’est plus valide, l’expressionM C(V+, V−)est égale à “f aux” et la condition de couplage complet entre V+ et V− n’est plus vérifiée. 2.6 Conclusion Dans ce chapitre, des résultats concernant les conditions graphiques élémentaires ont été présentés. En premier lieu, une table de synthèse bibliographique des conditions nécessaires et suffisantes pour la vérification des propriétés structurelles a été donnée. Cette table montre que 4 catégories de conditions élémentaires graphiques sont essentiellement utilisées pour l’analyse de la vérification des propriétés structurelles pour 3 classes de systèmes structurés. Il s’agit des conditions de connectivité, de lien, de distance et de couplage complet. Ces 4 catégories de conditions élémentaires graphiques sont traitées dans ce chapitre . Après avoir énoncé la définition de chacune de ces conditions élémentaires, nous avons développé des expressions booléennes caractérisant l’état de validité de ces conditions. Les expressions booléennes sont basées sur les arcs dans les représentations graphiques du système. Ces arcs peuvent admettre deux états : valide ou non valide, ce qui détermine les valeurs (“vrai” ou “f aux”) des expressions booléennes et donc l’état de validité des conditions élémentaires correspondantes. L’expression booléenne associée à la condition de connectivité est construite récursivement en utilisant deux approches graphiques différentes. La première est basée sur un parcours de graphes en profondeur et la seconde est basée sur un parcours de graphes en largeur. Les deux approches sont équivalentes en terme de résultat. Donc, une étude comparative basée sur leur complexité a été présentée. Cinq propositions sont donc fournies ainsi que leurs preuves pour les 4 conditions élémentaires traitées. Les approches proposées pour les conditions de lien, de distance et de couplage complet corres-pondent à des complexités polynomiales et non combinatoire quelque soit l’ordre du système. Après avoir énoncé les résultats de ce chapitre sur les conditions élémentaires gra-phiques, des exemples ont illustré la construction des expressions booléennes associées aux conditions. Les expressions booléennes sont obtenues d’une façon récursive en utilisant des algorithmes à complexité polynomiale. Sachant ces expressions booléennes, leur combinaison en “ET” logique permet d’obtenir une expression booléenne associée à une propriété structurelle, par exemple l’expression booléenne associée à la capacité d’un système à rejeter les perturbations nécessite les expressions booléennes associées aux conditions de lien et de distance. Ainsi, les propriétés structurelles peuvent être écrites comme des expressions 2.6 Conclusion 103 booléennes basées sur les arcs des graphes associés au système. La condition de distance est la seule condition à être développée sous l’hypothèse que la condition de lien soit vérifiée. La condition de distance n’est pas toujours associée à la condition de lien pour la vérification d’une propriété structurelle comme c’est le cas pour l’observabilité partielle. Ainsi, cette hypothèse est donc considérée comme une limite de notre étude. La formulation des conditions élémentaires graphiques ainsi que les propriétés struc-turelle sous forme d’expressions booléennes basées sur les arcs des graphes associées au système permet de lier la vérification des propriétés structurelles à l’état de validité des arcs. Ainsi, il est possible de savoir l’impact de la non validité d’un ou plusieurs arcs sur la vérification des propriétés structurelle. Ces expressions booléennes permettront ensuite le calcul de la fiabilité et/ou de la disponibilité des propriétés structurelles dans le chapitre 3. Chapitre 3 Sûreté de fonctionnement des propriétés structurelles 3.1 Introduction Les propriétés structurelles jouent un rôle très important pour le bon fonctionnement d’un système et la sécurité de ses utilisateurs. En effet, il est nécessaire que certaines propriétés structurelles comme l’observabilité, la commandabilité, la solvabilité du problème de rejet de perturbations, la détectabilité et l’isolabilité des défauts, etc., soient vérifiées pendant toute la durée de la mission du système. Nous avons présenté, dans le deuxième chapitre, 4 catégories de conditions graphiques élémentaires intervenant dans la validité de plusieurs propriétés structurelles. Il s’agit des conditions de connectivité, de lien, de distance et de couplage complet. Ces conditions graphiques élémentaires ont été associées à des algorithmes permettant le calcul des expressions booléennes basées sur les arcs des graphes représentant la structure du système étudié. Les propriétés structurelles sont associées à des expressions booléennes par la combinaison logique des expressions booléennes associées à deux ou plusieurs conditions graphiques élémentaires (cf. Table 2.1) et leur instanciation par des ensembles spécifiques dans les graphes considérés. Par exemple, l’observabilité de l’état nécessite la vérification des conditions de connectivité et de couplage complet, alors que la solvabilité du problème de rejet de perturbations nécessite la vérification des conditions de lien et de distance. Dans ce chapitre, il s’agit d’exploiter les résultats du deuxième chapitre pour l’ana-lyse de la sûreté de fonctionnement des propriétés structurelles. Cette anal’ana-lyse est principalement basée sur le mode de fonctionnement des composants du système (bon fonctionnement ou défaillance). Par conséquent, les expressions booléennes, associées aux propriétés structurelles et basées sur les arcs, doivent être liées aux composants du système afin de pouvoir évaluer la fiabilité et la disponibilité de ces propriétés structurelles. En effet, les arcs appartenant aux graphes représentant le système, peuvent être liés à ses composants grâce à une association arc-composants dans l’esprit de la fonction injective pro-posée par A. Kaufmann (Kaufmann et al., 1975) (cf. chapitre 1). Ainsi, l’état de validité des arcs, qui est égale à “vrai” ou “f aux”, dépend de l’état de fonctionnement des composants du système. En utilisant l’association arc-composants, les expressions booléennes, associées aux propriétés structurelles et basées sur les arcs, peuvent être réécrites en fonction des défaillances des composants du système. Après avoir associé les propriétés structurelles aux expressions booléennes basées sur les défaillances des composants du système au travers des conditions graphiques élémen-taires, leur fiabilité et/ou leur disponibilité peuvent être calculées. Pour ce faire, nous utilisons les outils de sûreté de fonctionnement présentés dans le premier chapitre. Dans ce chapitre, nous nous intéressons à l’association des deux disciplines d’analyse structurelle et de sûreté de fonctionnement qui est, à notre connaissance, peu abordée dans la littérature (Conrard et al., 2011; Maza et al., 2012; Staroswiecki, 2007). L’objectif de ce chapitre est de présenter le calcul de la fiabilité et la disponibilité des propriétés structurelles en utilisant des outils de sûreté de fonctionnement. Aussi, les résultats de ce calcul sont interprétés en fonction des exigences dans le cahier des charges du système. L’association arc-composants est définie dans un premier temps. Le calcul de la fiabilité et Dans le document Développement d'une méthodologie conjointe d'analyse structurelle et de sûreté de fonctionnement des propriétés d'un système complexe (Page 113-119)
