1.3 Quelques outils de la sûreté de fonctionnement
1.3.2 Réseaux de fiabilité de Kaufmann
Les réseaux de fiabilité de Kaufmann représentent un outil intéressant pour calculer la
fiabilité des systèmes (Kim, 1972; Misra, 1970). Ils sont utilisés dans l’étude des réseaux
de communication ou de distribution d’énergie (Satyanarayana and Chang, 1983). Cette
représentation graphique constitue un outil de modélisation pour de nombreux problèmes
où les BDF sont peu appropriés. Les réseaux de fiabilité de Kaufmann peuvent être
considérés comme une forme d’extension des BDF. Ainsi, ces réseaux de fiabilité offrent
un moyen simple pour traiter la fiabilité des systèmes. Les réseaux de fiabilité permettent
de représenter la structure et les connexions dans un système sous forme graphique en
exprimant les relations entre les composants.
Un réseau de fiabilité est défini par Kaufmann (Kaufmann et al., 1975) comme un
graphe dirigé noté G = ⟨N,A⟩ composé d’un ensemble de sommets N et un ensemble
d’arcs orientés A. Les sommets de N sont reliés entre eux par des arcs de l’ensemble A
notés (N
i, N
j) avec N
i∈ N et N
j∈ N. Deux sommets S ∈ N etT ∈ N sont distingués et
appelés respectivement “sommet source” et “sommet terminaison” . S n’ayant que des arcs
sortants etT n’ayant que des arcs entrants.
Un réseau de fiabilité de Kaufmann se différencie d’un BDF par ses arcs orientés.
Dans un réseau de fiabilité de Kaufmann, les arcs représentent les composants du système
étudié et les sommets représentent les connexions entre ces composants. Les arcs de A
sont associés aux composants du système en utilisant une fonction notée ∆. Plusieurs arcs
peuvent correspondre à un même composant et il est possible qu’aucun arc ne corresponde
à un composant donné.
Il est possible d’avoir, entre certains sommets, non pas un arc (au plus), mais deux
ou plusieurs arcs. Le concept correspondant est appelér-graphe où rest le nombre maximal
d’arcs ayant la même extrémité initiale et la même extrémité terminale. Deux sommets
de N peuvent être reliés par s ≤ r arcs. Par exemple dans le cas de la redondance, nous
pouvons avoir s composants en parallèle assurant la même fonction. Ceci est traduit dans
unr-graphe par s arcs reliant les deux mêmes sommets. Ainsi, lesr-graphes sont considérés
comme une nouvelle représentation reflétant l’architecture fonctionnelle d’un système. Dans
un r-graphe, chaque arc (N
i, N
j) de l’ensemble A est associé à un indice t afin de pouvoir
différencier les r arcs reliant les mêmes sommets Ni et Nj. Les arcs du graphe sont donc
notés (N
i, N
j)
t.
Un exemple de réseau de fiabilité est donné à la Figure 1.10 où les
en-sembles N et A sont : N = {S, T, N
1, N
2, N
3, N
4, N
5}, A = {a
1, a
2, . . . , a
12} =
{
(S, N
2)
1,(S, N
3)
1,(N
3, N
4)
1,(N
3, N
4)
2, . . . ,(N
5, T)
1,(N
5, T)
2}
.
Figure1.10 – Exemple de réseau de fiabilité de Kaufmann
Dans ce type de représentation graphique, le système et ses composants admettent deux
états binaires : bon fonctionnement/défaillance (cf. H
1du paragraphe 1.2.1.2). Ainsi, A.
Kaufmann (Kaufmann et al., 1975) a montré qu’un réseau de fiabilité est une représentation
graphique qui caractérise l’état binaire du système en fonction des états binaires de ses
composants. Le bon fonctionnement ou la défaillance du système dépend uniquement de
l’état de ses N composants (cf. H
2du paragraphe 1.2.1.2) en utilisant une “fonction de
structure” binaire notée ϕ.
L’état de fonctionnement d’un composant c
ipeut être associé à une variable binaire
s
ioù :
•s
i= 1 quand le composant c
iest en bon fonctionnement ;
•s
i= 0 quand le composant c
iest défaillant.
L’état de fonctionnement des l composants peut être exprimé par le vecteur des états
binaires des composants S
l= (s
1, . . . , s
l) où s
i(i = 1, . . . , l) correspond à l’état de
fonctionnement du composant c
i.
L’état de fonctionnement du système est également associé à une variable binaire notée S.
S est défini par la fonction de structure tel que S =ϕ(S
l)où :
• S = 1 quand le système est en bon fonctionnement ;
• S = 0 quand le système est défaillant.
Pour un réseau de fiabilité de Kaufmann, 4 configurations d’architecture fonctionnelle
de système sont fournies dans la Figure 1.11. Il s’agit de composants montés en série
(Figure 1.11.a), montés en parallèle (Figure 1.11.b), montés en série-parallèle (Figure 1.11.c)
et montés en parallèle-série (Figure 1.11.d)
Figure1.11 – Exemples de Réseaux de fiabilité de Kaufmann
Pour ces 4 configurations, la fonction de structure S = ϕ(S
h) = ϕ(s
1, s
2, . . . , s
h) est définie
comme suit :
• En série :l composants en série : c
1, c
2, . . . , c
h:
ϕ(S
h) =s
1·s
2·sh =
h
∏
i=1