Introduction

Il est important, pour le bon fonctionnement des systèmes structurés, que certaines

propriétés structurelles soient vérifiées. Un système peut assurer sa mission dans des

conditions convenables si toutes ses variables ou une partie d’entre elles sont commandables,

observables, s’il est possible de détecter et d’isoler d’éventuels défauts, de rejeter les

perturbations, etc. La non vérification de ces propriétés peut parfois causer de graves

problèmes de fonctionnement voire des catastrophes comme des crashs aériens (BEASAC,

2012)

, fuites de gaz ou de produits chimiques (Directive 96/82/CE, 1996), etc.

Les propriétés structurelles d’un système structuré peuvent être vérifiées

graphique-menti.e.en se basant sur la représentation graphique du système (graphe orienté ou graphe

biparti). Dans la littérature, plusieurs travaux tels que (Boukhobza, 2012; Dion et al.,

2003; Murota, 1987a; Reinschke and Wiedemann, 1997; Svaricek, 1993) montrant que la

vérification de la plupart des propriétés structurelles dépend principalement de la vérification

de 4 types de conditions graphiques élémentaires qui sont les conditions de connectivité,

de lien, de distance et de couplage complet. La Table 2.1 résume ces conditions graphiques

élémentaires nécessaires et suffisantes pour la vérification des propriétés structurelles pour

3 types de systèmes structurés : linéaires, bilinéaires et linéaires à commutations. Les cases

vides correspondent à une combinaison propriété structurelle/type de système structuré

qui, à notre connaissance, n’est pas encore complètement et exactement caractérisée dans

la littérature.

Système linéaire Système bilinéaire Système linéaire à

structuré structuré commutations structuré

Commandabilité Condition de connectivité ——————-

——————-totale de l’état Condition de couplage complet (Dion et al., 2003; Reinschke, 1988)

Commandabilité Condition de connectivité

partielle de l’état Condition de couplage complet ——————- ——————-Condition de distance

(Murota, 1987c)

Observabilité totale Condition de connectivité Condition de connectivité ——————-de l’état Condition de couplage complet Condition de couplage complet

(Boukhobza, 2008) (Boukhobza and Hamelin, 2007) (Svaricek, 1993)

Observabilité Condition de connectivité Condition de connectivité Condition de connectivité totale/partielle Condition de couplage complet Condition de couplage complet Condition de couplage complet

de l’état et Condition de distance Condition de distance Condition de distance des entrées (Boukhobza et al., 2014, 2009) (Boukhobza, 2008) (Boukhobza and Hamelin, 2011b)

(Canitrot et al., 2008)

Détectabilité et Condition de connectivité Condition de connectivité ——————-isolabilité de défauts Condition de lien Condition de lien

(Commault et al., 2008) (Boukhobza et al., 2008) (Boukhobza, 2008)

Rejet de Condition de lien

perturbations Condition de distance ——————-

——————-(Do, 2011; van der Woude, 1991)

Table 2.1 – Propriétés structurelles/Types de systèmes

Dans la Table 2.1, la vérification des propriétés structurelles pour les 3 types de systèmes

structurés nécessite une combinaison de deux ou plusieurs des 4 catégories de conditions

élémentaires de connectivité, de lien, de distance et de couplage complet. Ces conditions

doivent être vérifiées par rapport à des ensembles de sommets définis en accord avec

la propriété structurelle étudiée. Par exemple, dans un graphe orienté, la condition de

connectivité est définie entre les variables d’entrée et les variables d’état pour l’étude de la

commandabilité tandis qu’elle est définie entre les variables d’état et les variables de sortie

pour l’étude de l’observabilité.

Au lieu d’étudier toutes les combinaisons propriété structurelle/type de système structuré,

nous nous intéressons dans ce travail de thèse à la vérification des 4 types de conditions

élémentaires graphiques. Comme présenté dans la Table 2.1, la validité de propriétés

structurelles dépend de la vérification de certaines conditions élémentaires graphiques.

Ainsi, en s’intéressant aux conditions de connectivité, de lien, de distance et de couplage

complet, il n’est pas nécessaire d’étudier plusieurs propriétés structurelles pour les systèmes

linéaires, bilinéaires et linéaires à commutations. L’étude de ces conditions élémentaires

graphiques permet donc de donner à l’analyse des propriétés structurelles proposée dans ce

travail de thèse un caractère générique.

Puisque nous nous intéressons à la sûreté de fonctionnement des propriétés

structu-relles, nous considérons que ces propriétés structurelles sont vérifiées et donc les conditions

graphiques élémentaires. Nous étudions donc l’aspect dysfonctionnel des propriétés

struc-turelles. Ainsi, nous nous intéressons au maintien de la vérification de ces conditions.

L’objectif de ce chapitre est d’exprimer la vérification de ces conditions élémentaires en

fonction de la validité des arcs dans la représentation graphique du système. Ainsi, à partir

de la représentation graphique, les 4 conditions élémentaires de connectivité, de lien, de

distance et de couplage complet sont représentées sous forme d’expressions booléennes.

Dans notre étude, les expressions booléennes sont basées sur les arcs dans les graphes

représentant le système contrairement à d’autres travaux qui sont basés sur les sommets

des graphes (Maza et al., 2012; Commault et al., 2007). En fonction des arcs impliqués

dans ces expressions booléennes, ces dernières sont associées à la valeur “vrai” quand la

condition étudiée est vérifiée et à la valeur “f aux” quand elle ne l’est pas. Il est à noter

que ces conditions élémentaires sont définies par rapport à des ensembles de sommets et

elles sont associées à des expressions booléennes en fonction de l’état de validité des arcs.

Les expressions booléennes des 4 catégories de conditions élémentaires proposées dans ce

chapitre ainsi que le résumé fourni dans la Table 2.1 permettront l’étude de la validité des

propriétés structurelles pour les systèmes linéaires, bilinéaires et linéaires à commutations.

Ainsi, avec des combinaisons logiques des expressions booléennes relatives aux 4 conditions

élémentaires graphiques, la vérification de plusieurs propriétés structurelles peut être

exprimée de façon booléenne.

Pour les 4 conditions élémentaires, les expressions booléennes fournies dans ce

cha-pitre seront utilisées pour le calcul de la fiabilité et de la disponibilité des propriétés

structurelles présenté dans le chapitre 3.

Ce chapitre est organisé de la manière suivante. Pour chacune des conditions

élémen-taires (connectivité, lien, distance et couplage complet), une définition est d’abord fournie,

suivie du développement de l’expression booléenne correspondante ainsi que de sa preuve.

Des applications sur des exemples de systèmes linéaires, bilinéaires et linéaires à

com-mutations sont fournies afin d’illustrer les 4 expressions booléennes. Une conclusion est

développée en fin de chapitre.