Ce premier chapitre a pr´esent´e apr`es un bref parcours historique, les notions g´en´erales de chimie et de physique des polym`eres, et plus particuli`erement des ´elastom`eres, qui seront utilis´ees dans la suite du document.
La complexit´e des liaisons et des m´ecanismes intervenant lors de la d´eformation de ces mat´eriaux explique qu’il n’existe pas encore actuellement de mod`ele unique permettant de simuler une pi`ece en ´elastom`eres. L’hypoth`ese d’un comportement de type hyper´elastique est g´en´eralement admise pour mod´eliser le comportement ´elastique non-lin´eaire, et a permis de donner naissance `a un nombre important de mod`eles diff´erents fond´es sur des observa- tions exp´erimentales ou sur la physique des chaˆınes de macromol´ecules. En revanche, les mod`eles visco´elastiques sont rares et sont encore loin de reproduire suffisamment correctement les exp´eriences pour ˆetre utilis´es dans des codes de calcul. Ceci est encore plus vrai pour les mod`eles simulant l’effet Mullins.
Notons finalement que, pour un m´ecanicien, l’existence d’un mod`ele ≪ universel ≫ n’est pas un probl`eme en soi tant que l’on n’´etudie pas des pi`eces susceptibles de subir toutes les d´eformations possibles dans un domaine de d´eformation tr`es ´etendu. Certaines industries se satisfont amplement de l’estimation de la raideur de leurs pi`eces. En revanche, si on s’int´eresse `a des pi`eces pr´esentant simultan´ement des zones peu d´eform´ees et des zones fortement d´eform´ees, il est int´eressant de disposer d’un mod`ele plus complexe. Ainsi, l’´etude de la propagation de fissures dans les ´elastom`eres n´ecessite l’utilisation d’un mod`ele capable de repr´esenter correctement l’´etat de fortes d´eformations en fond de fissure mˆeme si la pi`ece est globalement peu d´eform´ee.
II.1
Introduction
Deux probl`emes majeurs auxquels est confront´e l’ing´enieur m´ecanicien souhaitant effectuer une simulation sont d’une part le choix de la loi de comportement et d’autre part l’obtention des valeurs des param`etres de la loi de comportement qu’il a choisie. Pour cela, il est n´ecessaire d’identifier ces param`etres par une m´ethode directe ou inverse `a partir d’essais exp´erimentaux. L’objectif de ce chapitre est de pr´esenter les m´ethodes que nous avons mises en œuvre pour iden- tifier les diff´erentes lois de comportement hyper´elastiques et pseudo-´elastiques (effet Mullins).
II.1.1 Probl´ematique
La probl´ematique de l’identification consiste `a faire co¨ıncider une solution −→Y issue d’unb mod`ele (analytique, semi-analytique ou num´erique) et une mesure exp´erimentale−→Y . Il s’agira, par exemple, de la r´eponse d’une ´eprouvette `a un effort de traction (voir sectionA. 3.1.1). Les mesures sont constitu´ees de n points de mesure Yi correspondant `a n valeurs calcul´ees bYi. Nous
d´efinissons alors une norme φ pour quantifier l’´ecart entre ces deux ensemble de valeurs :
φ = n X i=1 kYi− bYik2 d´ ef = k−→Y −−→Y kb 2 (II.1) Ainsi, annuler φ revient `a faire co¨ıncider les mesures avec les valeurs th´eoriques. Cependant, les mesures exp´erimentales sont souvent entach´ees d’une erreur de mesure, tandis que les valeurs th´eoriques sont sujettes `a des hypoth`eses simplificatrices quelquefois importantes. Pour identifier les param`etres du mat´eriau, il suffit alors de minimiser φ.
II.1.2 Compromis
La fonction φ d´efinie par l’´equation (II.1) peut ˆetre modifi´ee en multipliant les termes de la sommation par des coefficients. Ces coefficients sont appel´es poids ou coefficients de pond´eration et permettent de d´efinir l’importance relative des diff´erents termes intervenant dans la d´efinition de l’´ecart φ.
Dans le cas o`u le mod`ele est capable de reproduire, aux erreurs exp´erimentales pr`es, le ou les essais, il convient de s’assurer que la solution est unique, c’est-`a-dire qu’un seul jeu de param`etres est possible. Dans ce cas, les param`etres sont clairement identifi´es et quel que soit le poids accord´e aux diff´erents points de mesure la solution sera inchang´ee. Si les solutions sont multiples, il convient de lever l’ind´etermination.
Dans la plupart des cas, un ´ecart important persiste sur une partie des points de mesure. On peut alors faire co¨ıncider Yi et bYi en certains points, mais pas en tout point simultan´ement.
Le probl`eme d’optimisation est alors associ´e `a un compromis sur les ´ecarts respectifs. Selon les poids attribu´es aux diff´erents points de mesure l’identification peut fournir des solutions diff´erentes. De mˆeme, des points de mesure peuvent ˆetre ´elimin´es de l’identifications entraˆınant des restrictions sur le domaine de validit´e des mod`eles identifi´es. Ainsi, dans la section A. 4, les mod`eles ont pu ˆetre identifi´es au mieux avec un poids identique attribu´e aux diff´erents types d’essais ou en privil´egiant un type d’essai en particulier.
II.1.3 M´ethodes retenues
Parmi toutes les m´ethodes possibles de minimisation, et plus g´en´eralement d’optimisation, seules quelques unes ont retenu notre attention. Nous pr´esentons dans un premier temps les algo- rithmes d’optimisation classiques adapt´es aux fonctions math´ematiques continues et d´erivables, puis nous aborderons le cas des algorithmes g´en´etiques (AG) permettant de traiter une gamme plus large de probl`emes (fonctions discr`etes, espaces de solution discrets ou discontinus,...). Enfin, nous d´ecrirons une m´ethodologie de programmation assimilable `a de la programmation orient´ee objet (POO) et permettant l’implantation rapide de loi de comportement dans notre application d’identification.