Le projet APOLLO3/DESCARTES a pour ambition de cr´eer une plate-forme de d´eve- loppement commune `a un ensemble de solveurs et de proc´edures permettant une large vari´et´e de calculs de neutronique. Un de ces solveurs est MINOS, enti`erement revu et programm´e en C++. Une version pr´ec´edente existe en Fortran dans le code CRONOS2 ([Baudron et al., 1999b]).
La programmation de MINOS a ´et´e fortement orient´ee objet. Le mod`ele de conception de la figure 4.4 met en ´evidence deux types de classes :
– des classes de base g´en´eriques de conception interne ;
– des classes sp´ecifiques d´erivant des classes de base pour repr´esenter les objets que l’utilisateur construit et enchaˆıne afin de r´ealiser son calcul de fa¸con modulaire. Par exemple, sur la figure 4.4, on d´etaille la classe VectorTree du solveur. Le flux est stock´e dans la partie pair et le courant dans la partie impair. On pourra se r´ef´erencer `a la litt´erature [Gu´erin, 2007] pour plus de d´etails.
Fig. 4.4 – Mod`ele de conception du solveur MINOS et de la classe VectorTree.
Dans le contexte de la cin´etique, nous venons de voir comment le probl`eme ´etait trait´e par le solveur MINOS. N´eanmoins, cette approche est coˆuteuse en temps de calcul. Par la suite, nous allons ´etudier des m´ethodes d’approximation multi-´echelle dans le but d’optimiser le ratio temps / pr´ecision de la r´esolution des ´equations de la diffusion. En particulier, le mod`ele quasi-statique d´ecrit dans la litt´erature nous servira de base de travail.
Chapitre 5
L’approche quasi-statique,
principe, m´ethodes et
d´eveloppements
L’optique de nos travaux sur la cin´etique se focalise sur les m´ethodes multi-´echelles. Une approche utilis´ee pour notre probl`eme est nomm´ee quasi-statique. `A la base, cette approche consiste en une s´eparation des variables. Ainsi, le flux est factoris´e en une fonction d’ampli- tude ne d´ependant que du temps et un flux de forme ind´ependant du temps. Si cette m´ethode pr´esente des avantages pour donner des in- formations ponctuelles sur un probl`eme, elle s’av`ere trop restrictive pour des ´etudes plus pouss´ees. Dans ce chapitre, nous voyons com- ment de cette id´ee originale, diff´erentes options d’am´eliorations ont ´et´e propos´ees dans la litt´erature. Du quasi-statique am´elior´e au multi- point, chacune des m´ethodes a montr´e des limites et une application `
a des probl´ematiques sp´ecifiques. N´eanmoins, chacune peut ˆetre vue comme une approche multi-´echelle de la r´esolution des ´equations de la cin´etique. Nous proposons de pousser plus avant ce raisonnement et ´etudions diff´erentes options pour aller plus loin dans la repr´esentation multi-´echelle du flux. La derni`ere ´etape est le choix justifi´e d’une de ces voies qui nous am`ene pour nos travaux.
Pour pallier au coˆut important en temps de calcul que n´ecessitent les simulations cin´eti- ques, diff´erentes approximations ont ´et´e propos´ees. L’objectif est de simplifier les probl`emes `
a r´esoudre par approximation du syst`eme de la cin´etique. Les approximations sont des hypoth`eses sur l’´etat initial ou sur le comportement dans le temps du syst`eme. Bien sˆur, cela peut entraˆıner une perte en pr´ecision du mod`ele. Il faut donc trouver un juste compromis dans le ratio temps / pr´ecision, voire laisser aux utilisateurs le choix du niveau de compromis. L’id´ee quasi-statique, bas´ee sur une approximation en temps, est une approche utilis´ee dans les ´etudes de cin´etique. Nous allons voir son principe, ses propri´et´es et ses d´eveloppements, qui nous am`enent `a des consid´erations multi-´echelles en temps et espace.
5.1
L’id´ee du quasi-statique
L’histoire du quasi-statique commence en 1958 avec les publications de [Henry, 1958], mˆeme si le terme est apparue par la suite. La relation propos´ee par Henry ´etait la suivante :
φg(−→r , t) = a(t)fg(−→r , t) , 1 ≤ g ≤ G . (5.1)
Jusqu’alors, les ´etudes de cin´etique reposait sur la cin´etique ponctuelle, c’est-`a-dire que seul le coefficient multiplicateur a ´etait calcul´e dans le temps, on conservait le flux f (t = 0) `a sa valeur initiale (φg(−→r , t) = a(t)fg(−→r , t = 0)). Des exp´eriences ([Yasinsky et Henry, 1965]) ont montr´e que cette approximation ´etait plus que grossi`ere et, de l`a, on chercha `a ´etendre la simulation en se rapprochant de la relation initiale. Aujourd’hui, le mot ’quasi-statique’ recouvre une large famille de m´ethodes : cin´etique ponctuelle, adiabatique, quasi-statique, quasi-statique am´elior´e, quasi-statique g´en´eralis´e, ... Nous d´evelopperons certaines d’entre elles par la suite et nous renvoyons le lecteur `a l’article de [Dulla et al., 2008] pour plus de d´etails sur l’histoire et les sp´ecificit´es de ces m´ethodes.
Ainsi, la m´ethode propos´ee par [Henry, 1958], et repris par [Ott et Meneley, 1969], peut ˆ
etre vu comme une s´eparation des variations rapides du flux (par rapport au temps) des variations lentes. Autrement dit, le flux pourrait ˆetre d´ecompos´e sous la forme :
φg(−→r , t) = ag(−→r , t)fg(−→r , t) , (5.2)
o`u l’on d´esire que a repr´esente le comportement rapide, on le nomme fonction d’amplitude, et f est un flux de forme variant lentement. Dans un premier temps, cette approche fut donc introduite `a l’extrˆeme en posant une forme ind´ependante du temps et une amplitude ne d´ependant que du temps. C’est la m´ethode Quasi-Statique (QS).
Cette d´ecomposition introduite dans les ´equations sur le flux (formulation mixte (3.1) ou non (3.13)), on en d´eduit deux probl`emes, un sur l’amplitude et l’autre sur la forme. Le premier est une cin´etique point ([Planchard, 1995]). Le second est un probl`eme stationnaire reprenant la formulation du probl`eme sur le flux φ initial. Ainsi on pourrait exprimer le flux ”statique” de forme f en n.cm−2 et la fonction d’amplitude a en s−1. Cette s´eparation de variable est une hypoth`ese forte.
Rapidement, on la fit donc ´evoluer ([Henry, 1958, Ott et Meneley, 1969]) sous la forme Quasi-Statique Am´elior´e (IQS). L’id´ee est d’introduire une d´ependance lente (grossi`ere) en temps pour la forme, tout en conservant une amplitude point :
ag(−→r , t) = a(t) , fg(−→r , t) = fg(−→r , T ) . (5.3)
Cette d´ecomposition est initialis´ee `a
Section 5.1 : L’id´ee du quasi-statique 43
Usuellement, pour imposer l’hypoth`ese IQS sur la forme, on pose la condition de normali- sation : Z Ω ∂f ∂tφ ∗ 0 − → dr = 0 , (5.5)
o`u φ∗0 est le flux adjoint initial. Cette condition garantit de plus l’unicit´e de la factorisa- tion (5.2). D’autres normalisations sont possibles, autres que φ∗0. N´eanmoins, on montre qu’en utilisant le flux adjoint initial, on r´eduit l’erreur sur le calcul comme nous le verrons dans la section suivante.
Cette factorisation pos´ee, on diff´erencie deux pas de temps (figure 5.1) :
– un premier grossier ∆Ti = [Ti, Ti+1], o`u on d´etermine l’amplitude et la forme ; – un deuxi`eme fin ∆tk = [tk, tk+1], subdivision du premier, o`u on n’´evalue que l’ampli-
tude. maillages grossiers fins & temps &fins grossiers
0
t
t7
t6
t5
t3
t2
T1=t4
T2=t8
T0=t0 t1
Fig. 5.1 – Deux ´echelles, en temps et espace, emboit´ees pour la repr´esentation quasi-statique du flux de neutrons.
On r´esout alternativement :
– le probl`eme de cin´etique point donnant a en connaissant f ;
– le probl`eme cin´etique sur le pas de temps grossier donnant f en connaissant a. En effet, on suppose que l’´evolution de la forme sur un pas de temps grossier est connue (constante), hypoth`ese renforc´ee par la condition (5.5). On reconstruit ainsi φ `a chaque pas de temps (fins) suivant la d´ecomposition (5.2).
On consid`ere les ´equations sur le flux o`u φ est substitu´e par le produit af . Pour la premi`ere r´esolution donnant a, on condense ces ´equations en espace et en ´energie apr`es multiplication par le flux adjoint initial. On int`egre donc les ´equations sur le domaine Ω et sur les groupes d’´energie. La d´eriv´ee en temps de la forme disparait grˆace `a la condition de normalisation (5.5). Pour la forme, le traitement des ´equations est identique `a celles sur le flux, seule la discr´etisation en temps est diff´erente. La repr´esentation, comme le θ-sch´ema par exemple, et l’int´egration se font donc sur les pas de temps grossiers. Finalement, on aboutit `a un syst`eme dynamique sur les deux pas de temps que l’on sait r´esoudre.
Tous les plus grands codes de calcul (diffusion et transport) appliquent au moins une des m´ethodes quasi-statiques (en g´en´eral le quasi-statique am´elior´e). Nous allons voir dans la section suivante, l’application de l’approche IQS dans le contexte mixte dual de MINOS. Puis, nous reprendrons la factorisation (5.2) et ´etudierons comment d´evelopper l’id´ee multi- ´