3.7
Bilan des r´esultats th´eoriques et pratiques
Nous avons pr´esent´e des r´esultats pour le probl`eme non mixte et la formulation mixte apr`es le traitement de la variable en temps. Dans les deux cas, th´eor`emes 3.1 et 3.5, l’exis- tence et l’unicit´e sont conditionn´ees par la stricte positivit´e des donn´ees neutroniques du probl`eme : les sections efficaces [Σ]. Il en est de mˆeme pour le coefficient de diffusion, mais celui-ci est ´egal en premi`ere approximation `a (3Σt)−1. En pratique, les sections, ´etant des probabilit´es, sont toujours strictement positifs. N´eanmoins, le r´esultat 3.2 est incompatible avec la physique car il impliquerait qu’on ne peut maintenir le flux du cœur `a l’´equilibre. Cela vient du fait que le terme (Σgt0→g− Σgs0→g− χgνΣg
0
f) n’est pas toujours strictement positif. En effet, on peut avoir plus de fissions que d’absorptions et ainsi voir la densit´e de neutrons (le flux) augmenter.
De fait, aucun r´esultat parfait ne peut ˆetre ´etabli sur le flux sans supposer un ”bon contexte physique” de la simulation. Si on donne artificiellement des donn´ees aberrantes, il est ´evident que la solution n’aura plus de sens. N´eanmoins, de l’ensemble de ces th´eor`emes, on extrait la coh´erence math´ematique entre ces ´equations paraboliques et ce qu’elles mod´e- lisent. De plus, on en extraira des informations utiles lors de la pr´esentation des m´ethodes num´eriques utilis´ees.
En effet, le probl`eme (3.20) n’admet pas de solution analytique, sauf cas particuli`erement simples. Par cons´equent, on utilise des m´ethodes de r´esolution num´erique afin d’obtenir une bonne approximation de la solution exacte. L’objectif est d’obtenir la meilleure approxima- tion possible avec un ”coˆut” algorithmique le plus faible possible, i.e. comme nous le verrons par la suite, le temps de de calcul. Ceci nous am`enera `a parler d’optimisation du ratio temps / pr´ecision des m´ethodes num´eriques.
De nombreuses m´ethodes existent, notre contexte est le probl`eme elliptique (3.20), issu du traitement en temps du syst`eme (3.13) parabolique. Comme nous l’avons d´ej`a dit, nous allons nous int´eresser `a des m´ethodes variationnelles de type Galerkin : la m´ethode des ´
el´ements finis. Ces m´ethodes introduisent des espaces de dimensions finies de mani`ere `a chercher une projection de la solution sur ces espaces. La projection est effectu´ee selon les produits scalaires d´efinis par la formulation variationnelle.
Nous introduisons donc deux espaces Wh et Vh de dimensions finies. Nous consid´erons une approximation conforme : Wh ⊂ W et Vh ⊂ V . Nous verrons dans le chapitre 4 suivant quels sont ces espaces. Alors, le probl`eme discret consiste `a trouver (φh(tk+1), −−→pφ,h(tk+1)) ∈ Vh× Wh solution de : ( b (−−→pφ,h(tk+1), ψh) − t (tk+1, φh(tk+1), ψh) = g (tk, φh(tk), −−→pφ,h(tk), ψh) , a (tk+1, −−→pφ,h(tk+1), −→qh) + b (−→qh, φh(tk+1)) = f (tk, φh(tk), −−→pφ,h(tk), −→qh) , (3.23) ∀ (ψh, −→qh) ∈ Vh× Wh.
Soit l’espace ker Bh = {−→qh ∈ Wh/b(−q→h, ψh) = 0, ∀ψh ∈ Vh}, sous les hypoth`eses sui- vantes : ∃αh > 0, a(tk+1, −→qh, −→qh) ≥ αhk−→qhk2Wh, ∀− → qh ∈ ker Bh, ∃βh > 0, inf ψh∈Vh sup − → qh∈Wh b(−→qh, ψh) k−→qhkWhkψhkVh ≥ βh,
le th´eor`eme 3.5 s’applique et implique donc que le probl`eme(3.23) admet une solution et une seule.
De plus, et parce qu’il est important d’estimer l’erreur d’une approximation, on pose le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 3.6 On suppose que :
– a(tk+1, ·, ·) est semi-d´efinie positive, (ker B)-elliptique et uniform´ement (ker Bh)-elli- ptique (α0 = infhαh > 0) ;
– t(tk+1, ·, ·) est semi-d´efinie positive et sym´etrique ;
– b v´erifie la condition inf-sup discr`ete uniforme (β0 = infhβ > 0) ;
alors il existe une constante C (d´ependante de a, b et t) telle que si (φ(tk+1), −→pφ(tk+1)) est solution du syst`eme continu (3.20) et (φh(tk+1), −−→pφ,h(tk+1)) est solution du syst`eme dis- cret (3.23) : k−→pφ(tk+1)−−−→pφ,h(tk+1)kW + kφ(tk+1) − φh(tk+1)kV ≤ C inf − → qh∈Wh k−→pφ(tk+1) − −→qhkW + inf ψh∈Vh kφ(tk+1) − ψhkV . (3.24)
La r´esolution du probl`eme discret (3.23) correspond donc `a une projection de la solution exacte sur les espaces Wh et Vh et ce th´eor`eme garantit une solution optimale dans ces espaces discrets. N´eanmoins, l’application du th´eor`eme 3.6 n´ecessite de montrer la (ker B)- ellipticit´e de a(tk+1, ·, ·). La proposition suivante est une condition suffisante pour la v´erifier.
Proposition 3.1 Soit la condition sur les espaces discrets Wh et Vh :
− → qh ∈ Wh et Z Ω − → ∇.−→qhψh= 0 , ∀ψh ∈ Vh ⇒ − → ∇.−→qh = 0 . (3.25)
Dans le cadre du probl`eme (3.20), si les sous-espaces Wh ⊂ V et Vh ⊂ V v´erifient la condition (3.25), on a ker Bh ⊂ ker B et donc la (ker Bh)-ellipticit´e uniforme de la forme bilin´eaire a(tk+1, ·, ·).
Ce r´esultat est d´emontr´ee dans [Roberts et Thomas, 1991] et, comme ce qui pr´ec`ede, est issu de la pr´esentation [Gu´erin, 2007]. Ces ´el´ements ´etant ´etablis, nous allons voir quel est la m´ethode d’approximation par ´el´ements finis dans MINOS et par extension, les ca- ract´eristiques de ce solveur de cœur.
Chapitre 4
D´etails du solveur Minos, des
´el´ements finis utilis´es et de ses
diff´erentes applications
Dans ce chapitre, nous pr´esentons l’outil de r´ef´erence de notre ´etude. Le solveur de cœur MINOS sert pour la r´esolution de probl`eme `a source, et par extension les ´equations de la cin´etique. Nous d´etaillons la m´ethode par ´el´ements finis utilis´ee appliqu´ee aux ´equations. Tout d’abord, nous assemblons le syst`eme lin´eaire en liaison au maillage cart´esien du domaine. Puis, nous ´etudions l’´el´ement fini de Raviart- Thomas-N´ed´elec, son principe, ses fonctions de base et l’assemblage des matrices. Ceci fait, nous verrons les propri´et´es des matrices glo- bales du syst`eme assembl´e. Finalement, nous posons l’enchainement algorithmique de la r´esolution du probl`eme mixte avec pr´ecurseurs. Ce solveur est une part du projet APOLLO3/DESCARTES.
Dans le cadre de notre probl´ematique, la simulation en temps de la population de neutrons d’un cœur de r´eacteur, nous avons fait le choix d’exploiter un outil d´edi´e : le solveur MINOS ([Baudron et Lautard, 2007]). Puisque nos travaux reposent sur ce sol- veur et que nous prenons ces sp´ecificit´es comme contraintes de d´eveloppement, nous al- lons voir plus pr´ecis´ement comment MINOS fonctionne. Apr`es avoir vu les bases de ce code, nous d´etaillerons plus particuli`erement les ´el´ements finis mixte de Raviart-Thomas ([Raviart et Thomas, 1977, N´ed´elec, 1986]) qui forment un ´el´ement important pour son fonctionnement. Nous finirons par les algorithmes de MINOS et en particulier ceux pour la cin´etique.
Ce chapitre est en partie inspir´e du chapitre 2 des th`eses [Gu´erin, 2007, Schneider, 2000]. Les lecteurs pourront s’y r´ef´erer pour plus de d´etails, en particulier pour les calculs station- naires aux valeurs propres.
4.1
Un solveur mixte duale en g´eom´etrie cart´esienne
MINOS est un code de calcul pour la simulation de cœur de r´eacteur. Ces calculs constituent une ´etape finale dans un sch´ema de calcul neutronique. Nous avons abord´e les autres ´etapes dans la section 1.6. Comme annonc´e, ce solveur utilise une approximation aux ´el´ements finis pour la formulation (3.12) mixte duale. MINOS sert donc `a r´esoudre les ´
equations de la diffusion mais aussi les ´equations type SPN (cf. paragraphe 2.3.1).
Dans le cas de la diffusion, il peut servir pour r´esoudre le probl`eme stationnaire (2.12) de calcul aux valeurs propres ou la cin´etique. Pour cette derni`ere, comme nous l’avons pr´esent´e dans la section 3.5 au chapitre pr´ec´edent, nous commen¸cons par effectuer un traitement de la variable temps pour obtenir un probl`eme `a source similaire au stationnaire. En effet, le cœur du solveur MINOS sert `a r´esoudre un probl`eme `a source telle que nous allons le d´ecrire par la suite. Ainsi, pour l’utiliser, dans tous les cas, nous nous ramenons `a cette forme sp´ecifique uniformis´ee, cela sera l’objet de la section 4.3.
Nous ne repr´esenterons pas tous les d´etails d’une m´ethode aux ´el´ements finis, mais nous allons en rappeler le principe pour voir les sp´ecificit´es qui nous int´eressent. C’est donc une m´ethode type Galerkin donnant une solution approch´ee d’un probl`eme variationnel, projec- tion de la solution exacte sur un espace discret de dimension finie. Cet espace est engendr´e par des fonctions de base d´efinies sur un maillage. Ces fonctions sont obtenues par compo- sition de polynˆomes sur une g´eom´etrie de r´ef´erence. La solution approch´ee s’exprime donc dans cet espace discret comme combinaison lin´eaire des fonctions de base. Les coefficients de cette combinaison forment les degr´es de libert´e du probl`eme discret, associ´es `a des nœuds du maillage. Apr`es discr´etisation et projection, nous obtenons un syst`eme lin´eaire `a inverser pour d´eterminer ces valeurs associ´ees aux nœuds du maillage.
Pour simplifier l’expos´e, nous faisons le choix de pr´esenter les m´ethodes en 2 dimen- sions, mais la g´en´eralisation `a 1 et 3 dimensions ne pose pas de probl`eme. Nous nous li- miterons aussi pour les ´equations `a des conditions aux limites de type Dirichlet (flux nul) les autres conditions ne changeant rien `a la pr´esentation. Nous renvoyons `a la litt´erature ([Baudron et Lautard, 2007]) pour plus de d´etails dans ces cas l`a.