Chapitre III Découplage et commande décentralisée des systèmes multiva-
III.4 Conception des correcteurs des systèmes découplés
Malgré l’existence des méthodes sophistiquées pour la conception des systèmes de contrôle multivariable, la commande décentralisée reste la technique la plus utilisée dans les applications industrielles depuis plusieurs années [89,90]. Ce choix est dû essentielle- ment aux avantages qu’elle offre par rapport à la commande centralisée. Parmi ces avan- tages, on peut citer :
1. la simplicité de mise en œuvre pratique et d’entretien,
2. le maintien de la stabilité dans le cas où l’une des boucles se trouve coupée (dé- faillance d’un capteur ou d’un actionneur),
3. la non-propagation de la perturbation, agissant sur une sortie, dans le système, 4. la possibilité d’application des techniques de commande utilisées en monovariable
et les performances qu’on peut atteindre en s’intéressant aux performances de chaque boucle indépendamment de l’autre,
En plus du choix de la configuration appropriée du système de commande vu précé- demment, la conception des contrôleurs décentralisés nécessite également le réglage des paramètres de ces contrôleurs. Ce réglage se fait d’une façon indépendante d’une boucle de régulation à l’autre.
Dans la plupart des cas, le contrôleur Gci(s) est représenté par le régulateur PID (Pro-
portionnel Intégrale Dérivée). Du point de vu industriel, il a été établi que 98% des boucles de régulation sont assurées par des contrôleurs PI monovariables [91] et que plus de 95% des commandes sont assurées par le régulateur PID [92]. Vue cette bonne réputation, on constate qu’une nouvelle ère de régulation PID est en train d’émerger [7, 92, 93]. Ainsi, dans ce chapitre, notre étude va se focaliser sur ce type de régulateur pour assurer la
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commande décentralisée des systèmes multivariables.
Synthèse du régulateur PID
Dans cette section, nous abordons brièvement les techniques utilisées pour la concep- tion des régulateurs PID. Pour leur synthèse, plusieurs approches empiriques sont déve- loppées dans la littérature [93]. Ces approches reposent sur la représentation des systèmes par des modèles du premier ordre avec retard. La fonction de transfert exprimée dans le domaine de Laplace de tels modèles s’écrit :
H(s) = K 1 + T se
−θs (III.79)
Elle est caractérisée par trois paramètres : le gain statique K, la constante de temps T et le retard θ. Ces trois paramètres peuvent être déterminés graphiquement comme le montre la figure (III.12). La réponse indicielle du modèle (III.79) est donnée par l’équa- tion (III.80).
y(t) = K(1 − e−(t−L)/T) (III.80)
FIGUREIII.12: Réponse indicielle d’un système du premier ordre
Le régulateur PID peut être structuré de différentes façons. Les formes les plus com- munément utilisées sont les formes série et parallèle. Leurs paramètres peuvent être déter- minés soit à partir d’essais pratiques [94, 95] ou à travers des algorithmes d’identification avancée [1, 2].
La fonction de transfert de base des régulateurs PID est donnée par l’équation sui- vante : C(s) = KP + KI s + KDs 1 + Tfs (III.81) où
– KP : est l’action proportionnelle à l’erreur de réglage,
– KI : est l’action par intégration. Elle permet d’annuler l’erreur statique (pour une
référence constante) et dégrade généralement la réponse transitoire,
– KD : est l’action dérivée. Elle permet d’améliorer la réponse transitoire grâce à
l’effet d’anticipation.
– Tf : est un pôle de filtrage introduit notamment pour rendre la fonction de transfert
propre. Il permet aussi d’éviter l’amplification du bruit de mesure.
Après découplage du système global, un régulateur PID sera conçu pour chaque boucle de régulation comme le montre le schéma de la figure suivante :
FIGUREIII.13: schéma classique de régulation PID
Régulateur proportionnel (P)
Le régulateur proportionnel est donné par la loi de réglage suivante :
u(t) = KPe(t) (III.82)
Dans le domaine de Laplace, la fonction de transfert du régulateur proportionnel est exprimée par l’expression suivante :
U (s) = KPE(s) (III.83)
Dans ce type de régulateur, l’actionu(t) est dosée à proportion du résultat à atteindre et donc de l’erreure(t). De ce fait, si KP est grand, la correction est énergique et rapide.
Mais, le risque de dépassement et d’oscillations dans la boucle s’accroît, ce qui peut facilement poser un problème de stabilité. Cependant, si KP est petit, la correction est
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Régulateur proportionnel et intégral (PI)
Comme son nom l’indique, le régulateur à action proportionnelle et intégrale est donné par la loi de réglage suivante :
u(t) = KPe(t) + KI
Z t 0
e(τ )dτ (III.84)
Dans le domaine de Laplace, la fonction de transfert du régulateur est exprimée par l’équation suivante :
U (s)
E(s) = Kp+ KI
s (III.85)
où Kp est le gain du régulateur, KI est l’inverse la constante de temps d’intégration.
La présence de l’intégrateur assurera une meilleure précision statique. Régulateur PI-D
À la différence du régulateur PI, le régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée PID est caractérisé par son action dérivée qui est proportionnelle à la pente de l’erreur e(t). Le terme de dérivation apporte une action stabilisatrice permettant d’amé- liorer la rapidité. Le terme d’intégration permet d’effacer l’influence des perturbations constantes.
Lors d’un changement brusque du signal de référence, la réponse du système contrôlé par un régulateur PID sera aussi brusque. En pratique, une telle réponse peut éventuelle- ment endommager les actionneurs. Pour éviter ce genre de problème, il est souvent utile de placer l’action dérivée dans la rétroaction. Ainsi, l’action dérivée portera sur la sortie y(t) comme le montre la figure (III.14) et le régulateur PID est noté cette fois-ci PI-D.
FIGUREIII.14: schéma de régulation PI-D
Règles d’ajustement des paramètres du régulateur (PID)
Les paramètres de réglage d’un régulateur PID peuvent être ajustés soit à partir d’es- sais pratiques [94] ou à travers des règles empiriques [95]. O’Dwyer, dans son livre [96], a comptabilisé245 règles d’ajustement ; parmi lesquels 104 sont pour les régulateurs PI et 141 sont pour les régulateurs PID. Ces règles concernent souvent les systèmes du premier et du second ordre avec ou sans minimum de phase.
Dans cette section, l’objectif attendu de l’application de ce type de régulateur, aux systèmes multivariables découplés, est de voir l’impact de découplage sur les sorties de ces systèmes en boucle fermée. Pour une étude complète sur les méthodes de réglage des contrôleurs PID, il sera intéressent de consulter, entre autres, les livres [92,96,97]. Notons qu’en plus des régulateurs PID et ses variantes, d’autres correcteurs monovariables (LQ, LQG, placement des pôles, etc ...) peuvent être aussi utilisés.
En raison de ses nombreux avantages, notamment sa simplicité, sa robustesse et sa forme analytique qui est plus facile à mettre en œuvre en temps réel, la méthode de com- mande par modèle interne IMC ("Internal Model Control") sera adoptée pour le réglage des paramètres PI et PID [98]. Si on considère la fonction de transfert du modèle donné par l’équation (III.79), les paramètres des régulateurs PI et PID trouvés à base de la tech- nique IMC sont données dans le tableau suivant (III.1) :
Kc Ki Kd
PI 2τ + θ
2λ τ + θ2 - PID 2τ + θ
2K(λ + θ) τ + θ2 2τ + θτ θ
TABLEIII.1: paramètres de réglage des régulateurs PI et PID à base de IMC
où λ ≥ 1.7θ pour les régulateurs PI et λ ≥ 0.25θ pour les régulateurs PID.
Exemple numérique
On reprend l’exemple (III.3.4) dont la fonction de transfert du système globale est donnée par : H = " 4 10s + 1 e−s 15s + 1 e3 −s 3 15s + 1 e−s 10s + 1 e4 −s # (III.86)
Les éléments de la fonction de transfert H (Hij = hijeθijs(i, j = 1, 2)) sont différents
de zéros, stables, et ne contiennent pas de zéro instable. Ainsi, les découpleursH12/H11
etH21/H22sont propres et stables.
−H12 H = −H21 H = −0.75 10s + 1 15s + 1 (III.87)
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La matrice de gain à l’état stationnaire est donnée par :
H(0) = " 4 3 3 4 # (III.88)
Pour cette exemple de deux entrées et deux sorties, deux configurations de commande sont possibles : la configuration1 − 1/2 − 2 et la configuration 1 − 2/2 − 1. En utilisant le concept de rapportζ, la première configuration est la seule recommandée. Elle a comme indiceN I = 0.4375 et le rapport ζ = 0.5625.
La configuration optimale est donc donnée par la matrice de gain de l’équation (III.88) pour laquelle, la matrice de gain relatif est donnée par l’équation suivante :
Λ = " 2.2857 −1.2857 −1.2857 2.2857 # (III.89)
La configuration de découplage convenable pour ce cas est donnée par la figure (III.10). Chaque boucle du système découplé sera contrôlée par son propre régulateur PID comme le montre la figure (III.15).
FIGUREIII.15: Commande multiboucle d’un système découplé
Les fonctions de transfert vues par les régulateurs PID1et PID2sont les mêmes et sont
données par :
H11(s) = H22(s) = 1 + 10s e4 −s
Leurs paramètres de réglage sont données par :
Kc1 = Kc2 = 2.1, Ki1= Ki2= 10.5 et Kd1= Kd2= 0.4762
La figure (III.16) montre l’évolution des deux sorties du système découplé qui sont contrôlées par les régulateurs PID1et PID2. Des changements de référence sont effectués
l’instant210 pour la première boucle et à l’instant 410 pour la deuxième boucle.
0 100 200 300 400 500 600 0 2 4 6 8 Ré po nse de la pre mi ère bo ucl e 0 100 200 300 400 500 600 0 2 4 6 8 Itérations Ré po nse de la de uxi ème bo ucl e
FIGUREIII.16: Réponse d’un régulateur PID avec découplage inversé
Comme l’illustre ces deux courbes, le découplage inversé permet d’annuler l’effet d’interaction entre les deux boucles de régulations. En effet, les deux régulateurs se com- portent indépendamment l’un de l’autre. Les deux boucles étaient insensibles aux chan- gements effectués sur chacune d’elle. Ce qui montre l’efficacité et la robustesse de la technique de découplage à pouvoir annuler l’effet d’interaction entre les différentes va- riables du système globale.
III.5 Conclusion
Dans ce chapitre, on a présenté trois différentes méthodes de découplage des systèmes multivariables : le découplage idéal, le découplage simplifié et le découplage inversé. Vus ses avantages, l’accent a été particulièrement mis sur le dernier type de découplage.
Un exemple de simulation a montré l’intérêt et l’efficacité du découplage inversé à pouvoir annuler l’effet d’interaction entre les boucles de régulation. Après avoir décou- plé le système global en sous-systèmes monovariables, la commande PID est appliquée à chaque boucle de régulation. Les paramètres du régulateur PID sont déterminés par l’application de la technique IMC. Ensuite, un changement de consigne est effectué indé- pendamment, en deux instants différents, sur chacune des variables contrôlées du système pour voir leur impact sur l’autre variable contrôlée. Les résultats de simulations ont mon- tré que la méthode de découplage inversé a réduit considérablement les interactions entre les boucles de régulations.