Contribution à l'identification par sous-espaces et la commande prédictive des systèmes multivariables.

(1)

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc

N° d’ordre 2701

THÈSE DE DOCTORAT D'ETAT

Présentée par

RAMZI Mustapha

Discipline :

PHYSIQUE

Spécialité :

AUTOMATIQUE

Titre :

C

ONTRIBUTION À L

'

IDENTIFICATION PAR SOUS

-

ESPACES ET LA COMMANDE PRÉDICTIVE DES SYSTÈMES MULTI VARIABLES

Soutenue le 15 mars 2014

Devant le jury

Président :

Mohamed HALOUA : PES, École Mohammadia d’Ingénieurs de Rabat

Examinateurs :

Hussein YOULAL : PES, Faculté des Sciences de Rabat Ameur HAOUARI : PES, Faculté des Sciences de Rabat

Jamila EL ALAMI : PES, École Supérieure de Technologie de Salé Pierre NONNON : Prof. Titulaire, Université de Montréal, Canada

Invitée:

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AVANT-PROPOS

Le travail de recherche présenté dans ce mémoire s'inscrit dans le cadre des travaux menés au sein de l'UFR Automatique et Technologies de l’Information à la Faculté des Sciences de Rabat dans le domaine de la commande avancée des systèmes et ses applications.

Je ne saurais commencer ce mémoire sans exprimer ma profonde gratitude à mon directeur de thèse, Monsieur Hussein YOULAL, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, pour son aide précieuse, sa constante disponibilité et sa bienveillance dont il a su faire preuve à mon égard pour le bon déroulement du travail de recherche présenté dans cette thèse. Merci également pour son soutien et ses remarques avisées. Il est un honneur pour moi, d'avoir eu l’occasion de travailler au côté d'une personne d’une qualité humaine exceptionnelle.

Je tiens à témoigner ma plus profonde reconnaissance et à exprimer mes remerciements les plus sincères à Monsieur Mohammed HALOUA, Professeur à l’École Mohammedia d’Ingénieurs de Rabat, qui a collaboré à l’édification, à la correction et à la mise en forme de ce manuscrit. Merci pour son aide précieuse et pour toutes nos discussions qui ont toujours été constructives et enrichissantes. Je le remercie vivement pour avoir accepté de présider le jury de ma thèse.

Je tiens à remercier vivement Monsieur Ameur HAOUARI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, pour l’honneur qu’il m’a fait en acceptant de juger ce travail et d’en être rapporteur et avoir dégagé le temps, malgré son emploi du temps chargé, pour examiner en profondeur ce travail. Je le remercie également pour ces conseils précieux qui ont indéniablement contribué à l’amélioration de la qualité de cette thèse.

J’exprime ma profonde gratitude à Madame Jamila ALAMI, Professeur à l'École Supérieure de Technologie de Salé et Responsable du Laboratoire L.A.S.T.I.M.I., pour l'honneur qu'elle m'a fait en acceptant d'être membre du jury et rapporteur de ce travail malgré son emploi du temps chargé. Je la remercie également pour le regard apporté aux résultats de cette thèse et pour la grande attention qu'elle a toujours portée à l'avancement de mon travail.

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rapporteur de ma thèse et avoir dégagé le temps, malgré ses responsabilités, pour examiner en profondeur mon travail. Je le remercie vivement pour sa présence à Rabat pour être parmi les membres du jury de soutenance et pour l'attention qu'il porte à la coopération universitaire Maroco-Canadienne.

J'exprime également ma profonde gratitude à Madame Laila

OUBENAISSA-GIARDINA_{, Professeur à la Faculté des Sciences d'Éducation de l'Université de Montréal,}

pour l'honneur qu'elle me fait d'avoir accepté de faire partie de mon jury de soutenance. Qu’elle trouve ici l'expression de ma gratitude et de mon profond respect, pour son engagement et l'intérêt qu'elle porte à la coopération universitaire Maroco-Canadienne.

Que Monsieur le Professeur Boutaieb DAHHOU de l'Université Paul Sabatier de Toulouse, trouve ici l'expression de ma gratitude et mes sincères remerciements pour m'avoir accueilli, pendant différentes périodes de stages, au sein de son équipe au LAAS. Son aide précieuse et sa disponibilité m'ont été très utiles.

Que Messieurs les Professeurs Gille ENÉA et Jean DUPLAIX de l'Université de Toulon trouvent ici l'expression de ma profonde gratitude pour m'avoir accueilli au sein de leur laboratoire. Je leur adresse mes sincères remerciements pour avoir mis à ma disposition toutes les données expérimentales nécessaires pour pouvoir accomplir la tache d'identification de la serre agricole expérimentale installée à l'université de Toulon, dans le cadre de l'action intégrée Franco-Marocaine.

Enfin, que tous mes collègues de travail à l'EST de Salé et que tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à l'accomplissement de cette thèse trouvent ici l'expression de ma gratitude et mes sincères remerciements.

(4)

D

EDICACES

À la mémoire de mon père

À ma mère

À ma femme et mes enfants Abir, Yahya et Wail

À toute ma famille

À mes amis et professeurs

….Je dédie ce modeste travail

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pratique. La synthèse des paramètres des régulateurs est basée sur des modèles d'état identifiés directement à partir des données réelles en utilisant la technique d'identification par sous-espaces (PO-MOESP). Le problème de la commande décentralisée est résolu par différentes approches de découplage. Celui de la commande centralisée est traité en utilisant la commande prédictive (MPC) standard et sa version basée sur les fonctions de Laguerre (MPC-L). Les performances des régulateurs élaborés sont mises en évidence par des simulations sur des modèles identifiés d'une serre agricole et d'un processus aérothermique, et par l'application temps réel sur ce dernier. Par ailleurs, l'intégration de notre contribution dans l'environnement pédagogique et industriel est abordée par l'élaboration d'un didacticiel pour le procédé aérothermique utilisé comme plate-forme d'expérimentation.

Mots-clefs : Identification par sous-espaces, commande MPC à base de modèle d'état, commande centralisée et décentralisée, découplage inversé, expérimentation assistée par ordinateur (ExAO).

Abstract :

The work presented in this thesis concerns the identification and centralized and decentralized control of multivariable systems and their applications. The controller parameters synthesis is based on state space models identified from experimental data by using the subspaces technique identification (PO-MOESP). The decentralized control problem is resolved by different decoupling approaches. The centralized control is treated using the standard model predictive control (MPC) and its version based on Laguerre functions (MPC-L). The regulators performances are elaborated by simulations on the identified model of the greenhouse and an aerothermic process. The experimental evaluations are carried out by the applications on the aerothermic process. Furthermore, the integration of our contribution to the educational and industrial environments is dealt with developing a tutorial for aerothermic process used as an experimentation platform.

Keywords : Subspace identification, State Space Model Predictive Control,

centralized and decentralized controllers, inverse decoupling, computer assisted experimentations.

(6)

Table des matières

Nomenclature iv

Table des Figures v

Liste des tableaux viii

Introduction Générale 1

Chapitre I Identification par sous-espaces des systèmes multivariables 5

I.1 Introduction . . . 5

I.2 Formulation du problème . . . 6

I.3 Définitions et notations . . . 8

I.4 Famille des algorithmes d’identification MOESP . . . 11

I.4.1 Algorithme d’identification MOESP ordinaire . . . 11

I.4.2 Algorithme d’identification PI-MOESP . . . 16

I.4.3 Algorithme d’identification PO-MOESP . . . 22

I.5 Exemple numérique . . . 29

I.6 Conclusion . . . 32

Chapitre II Commande prédictive à base de modèle d’état 33 II.1 Introduction . . . 33

II.2 Bref historique sur la commande prédictive . . . 33

II.3 Principe de base . . . 35

II.4 Commande prédictive multivariable avec et sans contraintes . . . 36

II.4.1 Commande prédictive multivariable sans contraintes . . . 36

II.4.2 Commande prédictive multivariable avec contraintes . . . 44

II.5 Commande prédictive basée sur les fonctions de Laguerre . . . 55

(7)

II.5.2 Fonctions de Laguerre . . . 56

II.5.3 Conception de la commande prédictive . . . 58

II.5.4 Résolution du problème d’optimisation sans contraintes . . . 61

II.5.5 Résolution du problème d’optimisation avec contraintes . . . 62

II.5.6 Paramètres de réglage de la commande prédictive . . . 65

II.6 Exemple numérique . . . 66

II.7 Conclusion . . . 69

Chapitre III Découplage et commande décentralisée des systèmes multiva-riables 70 III.1 Introduction . . . 70

III.2 Types et méthodes d’analyse des interactions . . . 71

III.2.1 Différents types d’interactions . . . 71

III.2.2 Méthodes d’analyse des interactions . . . 74

III.3 Découplage des systèmes multivariables . . . 84

III.3.1 Découplage idéal . . . 86

III.3.2 Découplage simplifié . . . 86

III.3.3 Découplage inversé . . . 88

III.3.4 Exemple numérique . . . 90

III.4 Conception des correcteurs des systèmes découplés . . . 92

III.5 Conclusion . . . 98

Chapitre IV Simulation et application sur des systèmes réels 99 IV.1 Introduction . . . 99

IV.2 Serre agricole . . . 99

IV.2.1 Description et fonctionnement . . . 99

IV.2.2 Identification et validation du modèle identifié de la serre . . . 102

IV.2.3 Commande prédictive avec et sans contraintes . . . 105

IV.3 Procédé aérothermique de laboratoire . . . 110

IV.3.1 Description et fonctionnement . . . 110

IV.3.2 Acquisition des entrées/sorties . . . 112

(8)

CONTRIBUTION À L’IDENTIFICATION PAR SOUS-ESPACES ET LA COMMANDE PRÉDICTIVE DES SYSTÈMES MULTIVARIABLES

IV.3.4 Analyse des interactions . . . 115

IV.3.5 Commande prédictive multivariable . . . 118

IV.3.6 Découplage et commande décentralisée du procédé aérothermique 120 IV.3.7 Résultats d’application . . . 124

IV.4 Conclusion . . . 130

Conclusion générale et perspectives 131 Annexe A Didacticiel ISAC 133 A.1 Introduction . . . 133

A.2 Structure du didacticiel ISAC . . . 134

A.2.1 Présentation du didacticiel ISAC . . . 134

A.2.2 Tâches programmées du didacticiel ISAC . . . 135

A.3 Description des principaux modules du didacticiel ISAC . . . 135

A.3.1 Module acquisition et supervision . . . 135

A.3.2 Module Identification . . . 136

A.3.3 Module Simulation . . . 137

A.3.4 Module Commande . . . 137

A.3.5 Module Exploitation . . . 138

A.4 Conclusion . . . 139

Annexe B Outils mathématiques 140 B.1 Factorisation QR et LQ . . . 140

B.2 Décomposition en valeurs singulières . . . 140

B.3 Opérateur vec . . . 141

B.4 Produit de Kronecker . . . 141

B.5 Fonction de transfert propre . . . 142

Index 143

Bibliographie 151

(9)

adj(M ) : adjoint de la matrice M

CN : Nombre de Conditionnement

det(M ) : déterminant de la matrice M

DM C : Commande Matricielle Dynamique DV S : Décomposition en Valeurs Singulières ExAO : Expérimentation Assistée par Ordinateur

ISAC : didacticiel d’Identification, de Simulation, d’Acquisition et de Com-mande

LT I : système Linéaire à Temps Invariant M EP : Méthode d’Erreur de Prédiction N I : Indice de Niederlinski

RGA : matrice des gains relatifs

SBP A : Séquence Binaire Pseudo-Aléatoire

T ICE : Techniques de l’Information et de la Communication pour l’Ensei-gnement

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Table des figures

I.1 Système déterministe-stochastique linéaire et invariant . . . 7

I.2 Étapes d’identification des méthodes des sous-espaces . . . 7

I.3 Signaux de perturbations . . . 30

I.4 Signaux d’entrées-sorties du système . . . 31

I.5 Estimation de l’ordre du système . . . 31

I.6 Sorties actuelles (bleu) et estimées (rouge) du système . . . 32

II.1 Représentation schématique du fonctionnement de la commande prédictive 35 II.2 Structure générale de la commande MPC sous forme d’état . . . 37

II.3 Structure de la commande MPC (vecteur d’état mesurable) . . . 42

II.4 Structure de la commande MPC (utilisation d’un observateur) . . . 43

II.5 Algorithme de l’ensemble actif . . . 50

II.6 Algorithme de programmation quadratique de Hildreth . . . 53

II.7 Commande MPC standard : évolution de la sortie (haut) et de l’entrée (bas) 68 II.8 Comparaison entre la commande MPC standard et celle à base des fonc-tions de Laguerre : sortie (haut), entrée (bas) . . . 68

II.9 Amélioration apportée par la commande MPC à base des fonctions de Laguerre : sortie (haut), entrée (bas) . . . 69

III.1 Système de commande multivariable centralisée 2x2 . . . 71

III.2 Système multivariable 2x2 : couplage partiel 1 . . . 72

III.3 Système multivariable 2x2 : couplage partiel 2 . . . 72

III.4 Système multivariable 2x2 : couplage complet . . . 73

III.5 Schéma typique d’un système 2x2 (1 − 1/2 − 2) . . . 73

III.6 Schéma typique d’un système 2x2 (1 − 2/2 − 1) . . . 74

III.7 Commande multivariable découplée d’un système 2x2 . . . 85

III.8 Commande avec découplage simplifié d’un système 2x2 . . . 87 v

(11)

III.9 Commande avec découplage inversé d’un système 2x2 . . . 89

III.10Le découplage inversé . . . 91

III.11réponse du système à une excitation echelon ; sorties : bleu ; excitation : vert 91 III.12Réponse indicielle d’un système du premier ordre . . . 93

III.13schéma classique de régulation PID . . . 94

III.14schéma de régulation PI-D . . . 95

III.15Commande multiboucle d’un système découplé . . . 97

III.16Réponse d’un régulateur PID avec découplage inversé . . . 98

IV.1 Serre agricole expérimentale de l’université de Toulon . . . 100

IV.2 Schéma de principe des grandeurs entrées-sorties . . . 100

IV.3 Variables de sorties . . . 102

IV.4 Variables de commande . . . 103

IV.5 Perturbations métrologiques . . . 103

IV.6 Sorties estimées (bleu) et mesurées (vert) de la serre . . . 104

IV.7 Sorties commandées par l’approche MPC sans contraintes . . . 107

IV.8 Variables de commande : MPC sans contraintes (vert), on-off (bleu)) . . . 107

IV.9 Sorties commandées par : l’approche MPC sans contraintes douces (vert), on-off (bleu) . . . 108

IV.10Variables de commande : MPC avec contraintes dures (vert), on-off (bleu)) 108 IV.11Sorties commandées par : l’approche MPC avec contraintes douces (vert), on-off (bleu) . . . 109

IV.12Variables de commande : MPC avec contraintes dures (vert), on-off (bleu) 110 IV.13Procédé aérothermique . . . 111

IV.14Schéma de principe des grandeurs entrées-sorties du procédé aérothermique111 IV.15Carte d’Acquisition MF 624 de HUMUSOFT . . . 112

IV.16signaux d’entrée (séquence binaire pseudo-aléatoire) . . . 113

IV.17réponses aux excitations des entrées . . . 114

IV.18sorties réelles (bleu) et estimées (vert) du procédé aérothermique . . . 115

IV.19interactions entre les variables principales du procédé aérothermique . . . 117

IV.20Schéma-bloc du procédé aérothermique bouclé avec la commande MPC . 118 IV.21sorties commandées par la commande MPC à base des fonctions de Laguerre119 IV.22commande MPC à base des fonctions de Laguerre . . . 120

(12)

IV.23Commande avec découplage inversé . . . 121

IV.24Sorties commandées par PID décentralisé . . . 122

IV.25Variables de commande assurées par PID décentralisé . . . 122

IV.26Sorties perturbées commandées par PID décentralisé . . . 123

IV.27Variables de commande perturbées assurées par PID décentralisé . . . 123

IV.28Sorties réelles commandées par la commande MPC . . . 124

IV.29Variables de commande réelles assurées par la commande MPC . . . 124

IV.30Sorties réelles perturbées commandées par la commande MPC . . . 125

IV.31Variables de commande réelles perturbées assurées par la commande MPC 125 IV.32Sorties réelles commandées par la commande PID . . . 126

IV.33Variables de commande réelles assurées par la commande PID . . . 126

IV.34Sorties réelles perturbées commandées par la commande PID . . . 127

IV.35Variables de commande réelles perturbées assurées par la commande PID 127 IV.36Schéma-bloc du procédé aérothermique bouclé avec les commandes PI et PID centralisées . . . 128

IV.37Sorties réelles commandées par : la commande MPC (bleu), PID/PI cen-tralisées (vert) et PID/PI décencen-tralisées (rouge) . . . 128

IV.38Variables de commande réelles : MPC (bleu), PID/PI centralisées (vert) et PID/PI décentralisées (rouge) . . . 129

IV.39Sorties réelles perturbées commandées par : la commande MPC (bleu), PID/PI centralisées (vert) et PID/PI décentralisées (rouge) . . . 129

IV.40Variables de commande réelles perturbées : MPC (bleu), PID/PI centrali-sées (vert) et PID/PI décentralicentrali-sées (rouge) . . . 129

A.1 Synoptique de supervision . . . 136

A.2 Synoptique d’identification . . . 137

A.3 Synoptique de simulation . . . 138

A.4 Synoptique de commande . . . 138

A.5 Synoptique exploitation . . . 139

(13)

III.1 paramètres de réglage des régulateurs PI et PID à base de IMC . . . 96

IV.1 Valeurs des contraintes durs sur les entrées et leurs variations . . . 107

IV.2 Valeurs des consignes et de contraintes douces sur les sorties . . . 109

(14)

I

NTRODUCTION

G

ÉNÉRALE

Généralement, la plupart des procédés industriels sont multivariables. Ils sont carac-térisés par plusieurs variables d’entrées et de sorties interconnectées entre elles. Ce sont donc des systèmes couplés, et selon leur dimension d’une part et les interactions entre les différentes entrées-sorties d’autre part, ce couplage peut poser des difficultés majeures de modélisation et par conséquent de commande.

Deux approches peuvent être envisagées pour modéliser un système dynamique mul-tivariable :

– La première approche est basée sur des lois physico-chimiques. Selon la complexité du système à modéliser, cette approche s’accompagne parfois de simplifications plus ou moins importantes. Dans le cas des systèmes non linéaires, malgré ces sim-plifications, les modèles linéarisés obtenus restent très complexes pour élaborer une loi de commande convenable.

– La seconde est une approche expérimentale basée sur des données entrées-sorties du système multivariable mesurées en temps réel. Elle permet d’optimiser un mo-dèle mathématique afin d’approcher le plus fimo-dèlement possible le comportement du système physique réel. Cette approche est connue par "l’identification".

Deux méthodes d’identification sont souvent utilisées pour déterminer le modèle d’un système multivariable à des fins de commande : la méthode paramétrique entrées-sorties [1] et la méthode d’identification par sous-espaces [2, 3]. Cette dernière méthode qui per-met de décrire facilement un système multivariable et offre plusieurs avantages a particu-lièrement attiré l’attention de plusieurs chercheurs ces derniers temps [4_∼8].

En plus des problèmes de modélisation, ceux des systèmes à commander résident dans la recherche des performances élevées que les systèmes de commande peuvent apporter. Pour commander les procédés multivariables, ces systèmes de commande sont généra-lement représentés par deux structures : La commande multivariable ou centralisée et la commande multiboucle ou décentralisée. La commande centralisée consiste à utiliser un seul régulateur ayant plusieurs entrées-sorties pour commander un procédé multivariable. Malgré son application en industrie, elle présente encore des difficultés sur le plan pra-tique. Ces difficultés sont proportionnelles aux dimensions et au degré des interactions présentes entre les différentes variables caractérisant le procédé multivariable. Ainsi, dif-férent type de contrôleurs allant du conventionnel au plus avancé sont développés dans la littérature [9_∼18].

Grâce à sa simplicité de mise en œuvre et ses performances, la commande prédictive fait partie des techniques de commande les plus utilisées dans la pratique. Les variantes de cette commande, basées sur la fonction de transfert, sont surtout appliquées aux systèmes monovariables [19]. Cependant, son extension au cas multivariable n’est pas simple à

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liser [20]. D’où l’intérêt de la commande prédictive sous formalisme d’état. Elle permet de manipuler les systèmes multivariables d’une façon beaucoup plus commode en termes de synthèse et de réglage. Ce type de commande est souvent utilisé dans le contexte de la commande centralisée.

La commande décentralisée, vu son implémentation et son entretien aisés d’une part et les performances qu’on peut atteindre en s’intéressant aux performances des boucles individuelles d’autre part, est la plus répondue dans l’industrie. Elle consiste à utiliser des régulateurs monovariables pour commander un procédé multivariable. Dans ce travail, on s’intéresse particulièrement à ce type de commande. Sa conception consiste en l’intro-duction de découpleurs entre les régulateurs monovariables et le procédé. Elle fait appel aux différentes notions de découplage permettant de subdiviser un système multivariable en sous-systèmes monovariables indépendants. La commande du système global revient donc à un ensemble de contrôleurs monovariables permettant de commander séparément chaque boucle de régulation en assurant les performances et les robustesses désirées. De tels contrôleurs peuvent être de type standard PID ou autre type de contrôleurs avancés monovariables de mise en oeuvre facile.

Contribution de la présente thèse

Notre contribution dans le présent travail de recherche porte sur l’identification dis-crète par sous-espaces MOESP (Multivariable Output-Error State-sPace) et la commande centralisée et décentralisée, qui représentent d’autres alternatives aux techniques conven-tionnelles d’identification et de commande. Les deux aspects de commande, centralisée et décentralisée, exploitent des modèles d’état identifiés directement à partir des don-nées physiques réelles. La commande centralisée est représentée par deux techniques de commande prédictive multivariable à base de modèle d’état : la commande prédictive conventionnelle (MPC) et sa version basée sur les fonctions de Laguerre (MPC-L) [21]. La commande décentralisée est basée sur la technique de découplage inversé. Si néces-saire, un découpleur statique est utilisé pour assurer la stabilité et la réalisation de ce type de découplage. Pour illustrer l’applicabilité et la robustesse de ces techniques de com-mande, nous avons effectué des simulations sur des modèles identifiés de deux systèmes pilotes : une serre agricole1 _{et un procédé aérothermique de laboratoire}2_{. La mise en}

œuvre pratique de la commande centralisée et décentralisée est réalisée sur ce dernier procédé [17, 22_∼24].

L’intégration de notre contribution de recherche scientifique, dans l’environnement pédagogique et industriel, est concrétisée par le développement d’un didacticiel

permet-1. Serre agricole expérimentale de l’Université de Toulon 2. Procédé aérothermique de l’E.S.T de Salé

(16)

tant d’effectuer des expérimentations assistées par ordinateur (ExAO) sur le procédé aé-rothermique.

Organisation du mémoire

Ce mémoire est composé de quatre chapitres et de deux annexes. Il est organisé de la façon suivante :

Le premier chapitre est dédié à l’identification discrète par sous-espaces. Dans ce chapitre, une description détaillée et rigoureuse des aspects théoriques des algorithmes de la famille d’identification MOESP (Multivariable Output-Error State-sPace) est pré-sentée. Selon des hypothèses fixées sur les propriétés des entrées et des perturbations des systèmes multivariables à identifier, trois différentes techniques d’identification MOESP sont discutées : MOESP ordinaire, PI-MOESP (Past Input-MOESP) et PO-MOESP (Past Output-MOESP). L’aspect algorithmique de chacune d’elles est détaillé et l’accent est mis sur leurs spécificités. Vu l’avantage que peut apporter la technique d’identification PO-MOESP, cette dernière est adoptée pour identifier les systèmes dynamiques bruités. Afin d’illustrer sa robustesse et son efficacité à pouvoir identifier de tels systèmes, des exemples numériques sont présentés et discutés. Les modèles d’état ainsi obtenus sont donc validés en comparant leurs sorties estimées avec les sorties réelles des systèmes identifiés.

Dans le deuxième chapitre, la commande centralisée est présentée en se basant sur des techniques de commande prédictive dans sa formulation d’état. Sur ce point, deux tech-niques de cette commande sont étudiées et présentées. Il s’agit de la commande prédictive standard (MPC) et sa version basée sur les fonctions de Laguerre (MPC-L). Une étude comparative de ces deux techniques de commande est présentée en soulignant les avan-tages de chacune d’elles. La présence et l’absence des contraintes sont prises en considé-ration. Dans l’absence des contraintes, la solution au problème de commande prédictive, dans sa formulation d’état, correspond à une commande par retour d’état classique ob-tenue explicitement hors-ligne. Tandis que dans leur présence, la commande prédictive correspondante est obtenue par la résolution en ligne d’un problème de minimisation en faisant appel à l’algorithme de programmation quadratique de Hildreth. Ces contraintes, de type inégalité, portent généralement sur l’amplitude des signaux d’entrées-sorties et sur les incréments des signaux de commande. Elles sont exprimées d’une manière indépen-dante pour chacune des entrées et sorties du système. Pour comparer ces deux techniques de commande, des simulations sont effectuées sur un exemple-type et les résultats obtenus sont discutés et commentés.

Dans le troisième chapitre, les méthodes de la commande décentralisée est traité en résolvant un problème spécifique aux systèmes multivariables. Il s’agit du problème

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teractions entre les différentes variables caractérisant ces systèmes. Après avoir quantifié ces interactions, trois différentes méthodes de découplage pour annuler leurs effets sont présentées : le découplage idéal, le découplage simplifié et le découplage inversé. Les concepts de base de ces techniques de découplage ainsi que leurs avantages et leurs in-convénients sont détaillés et leurs performances sont discutées au vu des résultats de si-mulations obtenus. Vu les avantages observés pour le découplage inversé, l’accent a été particulièrement mis sur ce type de découplage pour améliorer les performances de la commande décentralisée. Une fois le système global est découplé, ses différentes entrées-sorties sont devenues indépendantes et chacun des sous-systèmes obtenus est commandé par son propre contrôleur. Afin de tester la capacité du découplage inversé à affaiblir voire à annuler l’effet des interactions, des simulations sont effectuées et les résultats obtenus sont discutés et commentés.

Pour mettre en évidence les aspects conceptuels liés à la mise en œuvre des tech-niques d’identification par sous-espaces et de commande centralisée et décentralisée, le quatrième chapitre est consacré à la fois à des simulations et des applications pratiques. Les simulations sont effectuées sur des modèles identifiés de la serre agricole et du pro-cédé aérothermqiue. Quant aux applications pratique sont réalisées sur ce dernier propro-cédé. Outre l’identification, les applications en temps réel de la commande centralisée et décentralisée portent sur la commande prédictive basée sur les fonctions de Laguerre (MPC-L) et sur la commande PID conventionnel et décentralisée. Une comparaison de ces variétés de commande les une par rapport aux autres, basée sur les résultats réels obtenus, est présentée en soulignant leur efficacité et leur robustesse.

Pour intégrer notre contribution de recherche scientifique dans l’environnement péda-gogique et professionnel, nous détaillons dans l’annexeA le développement d’un didacti-ciel d’Identification, de Simulation, d’Acquisition et de Commande (ISAC). Il s’agit d’un didacticiel permettant la conduite supervisée du procédé aérothermique. La mise en œuvre de ce didacticiel a permis la réalisation d’une plateforme d’expérimentation assistée par ordinateur sur ce procédé.

Nous terminons par une conclusion générale sur les principaux résultats de recherche consignés dans cette thèse en soulignant notre contribution aux différentes étapes.

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Chapitre I

Identification par sous-espaces des

systèmes multivariables

I.1 Introduction

L’identification des systèmes dynamiques linéaires a fait, ces deux dernières décen-nies, l’objet d’un développement remarquable sous l’impulsion des méthodes des sous-espaces 4SID (subspace state system identification) [2_{∼4, 6, 25∼27]. Le principal} ap-port de ces méthodes par rapap-port aux algorithmes d’identification usuelle, telles que la Méthode d’Erreur de Prédiction (MEP) [1, 28], est de permettre l’estimation directe de représentations minimales d’état sans faire appel aux algorithmes d’optimisation non li-néaire.

Quoique la représentation entrée-sortie possède l’avantage de pouvoir utiliser direc-tement des fonctions de transferts qui sont issus des techniques d’identification usuelles, elle devient très lourde à manipuler dans un contexte de commande multivariable [20]. De ce fait, la représentation d’état est le formalisme privilégié qui s’adapte à la manipulation des systèmes dynamiques ayant plusieurs variables d’entrées et de sorties. C’est une re-présentation qui est donc souvent préférée aux modèles entrées-sorties. Cela est dû d’une part à la compacité avec laquelle elle encode les paramètres des systèmes multivariables et d’autre part à la manière équivalente avec laquelle elle gère les systèmes mono et mul-tivariables. La technique d’identification par sous-espaces permet d’estimer directement un modèle d’état, à partir des données expérimentales, en évitant sa construction à partir des équations entrées-sorties par fonction de transfert.

Plusieurs algorithmes d’identification par sous-espaces, tels que N4SID (Numerical algorithm for Subspace State Space System IDentification) [3], CVA (Canonical Variate Analysis) [29] et MOESP [2,5, 30,31], ont été développés pour estimer les matrices d’un système dans le contexte à la fois déterministe et stochastique. Chacun de ces algorithmes

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considère des hypothèses particulières sur les propriétés des entrées et des perturbations agissant sur ce système.

Les algorithmes des méthodes d’identification par sous-espaces permettent d’estimer, directement à partir des données entrées-sorties acquises, un modèle d’état en utilisant des outils et des méthodes algébriques. Ces méthodes sont basées sur la décomposition en va-leurs singulières (DVS) , la factorisation QR et des opérations géométriques simples telles que les méthodes de projection orthogonale et oblique [2,3,25]. De plus, la représentation d’état se prête plus naturellement à l’analyse en termes de stabilité, d’observabilité et de commandabilité du système à identifier.

Ce chapitre présente et approfondit des méthodes propres à l’identification déterministe-stochastique par sous-espaces. Après formulation du problème, les hypothèses fondamen-tales permettant les développements ultérieurs des techniques d’identification par sous-espaces sont rappelées. Les éléments fondamentaux à la base de ces techniques d’identi-fication tels que la séquence d’état, les matrices de Hankel et les méthodes de projection orthogonale sont mises en place dans la troisième section.

Dans la quatrième section, les techniques regroupées sous l’acronyme MOESP (Multi-variable Output-Error State-sPace), faisant objet et support de ce chapitre, sont particuliè-rement détaillées. Le choix de ces techniques d’identification est fait en corrélation avec l’un des objectifs principaux de cette thèse : commande prédictive à base des modèles d’état et sa mise en œuvre pratique.

I.2 Formulation du problème

On considère le système Linéaire à Temps Invariant (LTI) discret, représenté par le modèle d’état suivant :

(

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + w(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k) + v(k) (I.1)

où

• x(k) ∈ Rn_{est le vecteur d’état du système,}

• u(k) ∈ Rm _{est le vecteur des entrées déterministes et connues (commandes,...),}

• w(k) ∈ Rn _{est le vecteur des signaux aléatoires qui viennent perturber directement}

l’équation d’état du système, • y(k) ∈ Rl _{est le vecteur des mesures,}

• v(k) ∈ Rl_{est le vecteur des signaux aléatoires qui perturbent les mesures}_y(k).

w(k) ∈ Rn_et_{v(k) ∈ R}l_{sont supposés être des bruits blancs stationnaires de moyenne}

(20)

On suppose en plus que les entrées sont déterministes et non corrélées avec les bruits de sortie et d’état.A, B, C, D sont les matrices du système de dimensions appropriées.

Une représentation du système combiné tel qu’elle est décrite par l’équation (I.1) peut être schématisée par la figure (I.1) suivante1 _:

FIGURE I.1: Système déterministe-stochastique linéaire et invariant

Le problème des techniques d’identification par sous-espaces peut se formuler de la façon suivante : étant donné des mesures des entrées u(k) et des sorties y(k), générées par un système du type (I.1) tel que k ∈ [0, Nm− 1], déterminer :

– l’ordre n du système – les matrices A, B, C et D.

Cet objectif peut être réalisé par l’intermédiaire de la matrice d’observabilité étendue dont la structure est donnée par la figure (I.2).

FIGUREI.2: Étapes d’identification des méthodes des sous-espaces 1. ∆ est un opérateur délai

(21)

Elle recherche à estimer un espace ligne ou colonne particulièrement ajusté aux don-nées d’entrées-sorties à l’aide d’outils mathématiques robustes. L’obtention de l’estimé de la matrice d’observabilité étendue, bΓi, nécessite des écritures matricielles particulières

et de projection orthogonale dont les définitions sont précisées dans la section suivante.

I.3 Définitions et notations

Matrices de Hankel relatives aux signaux

Disposant de Nm mesures des sorties, on construit la matrice de Hankel des sorties

Y0,j,N tel queN = Nm− j + 1 Y0,j,N =      

y(0) _{y(1) · · ·} _{y(N − 1)} y(1) y(2) y(N )

..

. . .. ...

y(j − 1) y(j) · · · y(N + j − 2)       (I.2)

où l’indice0 de la matriceY0,j,N signifie que le premier élément de la première colonne

de cette matrice est y(0). les indices j et N représentent respectivement le nombre de

blocs en ligne et en colonne de la matriceY0,j,N.j et N sont deux nombres à choisir par

l’utilisateur.

La matriceY0,j,N sera appelée par la suite : matrice de Hankel des sorties passées.

La matrice de Hankel des sorties futures est donnée par l’équation suivante :

Yi,j,N =      

y(i) _{y(i + 1) · · ·} _{y(i + N − 1)} y(i + 1) y(i + 2) y(i + N )

..

. . .. ...

y(i + j − 1) y(i + j) · · · y(i + j + N − 2)       (I.3)

De la même façon que pour les matrices de Hankel des sorties passées et futures, les matrices de Hankel des entrées passées et futures sont représentées respectivement par les équations suivantes : U0,j,N =      

u(0) _{u(1) · · ·} _{u(N − 1)} u(1) u(2) u(N )

..

. . .. ...

u(j − 1) u(j) · · · u(N + j − 2)       (I.4)

(22)

CONTRIBUTION À L’IDENTIFICATION PAR SOUS-ESPACES ET LA COMMANDE PRÉDICTIVE DES SYSTÈMES MULTIVARIABLES Ui,j,N =      

u(i) _{u(i + 1) · · ·} _{u(i + N − 1)} u(i + 1) u(i + 2) u(i + N )

..

. . .. ...

u(i + j − 1) u(i + j) · · · u(i + j + N − 2)       (I.5)

Matrices des séquences d’état

La matrice des séquences d’état Xkest définie par l’empilement des états sur un

ho-rizon d’amplitude N. Elle débute à l’instant zéro pour les séquences d’état passé et à l’instanti pour les séquences d’état futur comme le montrent les équations suivantes :

X0,N =

h

x(0) x(1) · · · x(N − 1) i (I.6)

Xi,N =

h

x(i) x(i + 1) · · · x(i + N − 1) i (I.7)

Matrices d’observabilité, de contrôlabilité et de Toeplitz

La matrice d’observabilité étendue d’un modèle d’état, représenté par le système d’équations (I.1), est définie par la relation suivante :

Γi =       C CA .. . CAi−1       (I.8)

La matrice de contrôlabilité étendue d’ordrei est définie par :

C_i ₌h _{B AB · · · A}i−1_B i _(I.9)

Ces matrices sont de rang plein si, respectivement, le système est observable et contrô-lable. C’est une condition nécessaire et suffisante pour que la réalisation définie par le système d’équations (I.1) soit minimale2.

2. Une représentation d’état est dite minimale s’il n’existe aucune réalisation de degré inférieur acces-sible

(23)

Les matrices de Toeplitz ont des valeurs constantes sur les diagonales. Pour le système (I.1), elles sont définies par l’équation suivante :

Hj =       D 0 _{· · ·} 0 CB D 0 .. . . .. ... CAj−2_{B CA}j−3_{B · · · D}       (I.10)

Projection orthogonale

La projection orthogonale de l’espace engendré par les lignes de la matrice A sur l’espace ligne engendré par les lignes de la matriceB sera notée par :

AΠB = A.BT.(B.BT)+.B (I.11)

où(B.BT₎+ _{représente la pseudo-inverse de Moore Penrose de}_(B.BT_{) défini par :}

(B.BT)+ = ((B.BT)T(B.BT))−1(B.BT)T (I.12)

”Π” est l’opérateur qui projette orthogonalement l’espace engendré par les lignes de la matriceA sur l’espace engendré par les lignes de la matrice B.

La projection orthogonale de l’espace engendré par les lignes de la matriceA sur le noyau engendré par les lignes de la matriceB sera notée par :

AΠB⊥ = A(I − BT.(B.BT)+.B) (I.13)

L’opérateurΠB⊥ dénote le complément orthogonal de la projection orthogonale Π_B

tel queΠB⊥ = I − Π_B.

Type du signal d’entrée

Afin de garantir une bonne identification , le signal d’entrée d’un système dynamique doit avoir la forme d’une séquence binaire pseudo-aléatoire (SBPA) . Le choix de ce type de signaux réside dans leur richesse d’information qu’ils peuvent transmettre au système de manière à exciter toute la plage des fréquences où il sera identifié. Cette condition équivaut à ce que l’entrée possède la propriété de persistance d’excitation définie comme suit [32] : u(t), t = 0, 1, 2, ..., N est persistante d’ordre j si et seulement s’il existe un entierN tel que la matrice U0,j,N.U0,j,NT est d’ordre complet.

(24)

CONTRIBUTIONÀ L’IDENTIFICATION PAR SOUS-ESPACES ET LA COMMANDE PRÉDICTIVE DES SYSTÈMES MULTIVARIABLES

I.4 Famille des algorithmes d’identification MOESP

Les algorithmes d’identification MOESP (Mimo Output Error State sPace) ont pour objectif d’estimer la partie déterministe du modèle du système à identifier dans un contexte stochastique. En effet, ils permettent d’estimer les matrices A, B, C et D du modèle sa-chant que le système en question peut être perturbé par des bruits d’état w et de mesure v comme le montre la figure (I.1) précédente.

La démarche suivie par la famille des algorithmes d’identification MOESP est résu-mée dans les deux étapes suivantes :

– estimer la matrice d’observabilité étendue bΓi

– estimer les matrices d’état du système, (A, B, C, D), à partir de l’estimée de la matrice d’observabilité bΓi et des données entrées-sorties.

Pour estimer un espace ligne ou colonne particulier, ces algorithmes sont basés d’une part sur des outils mathématiques robustes, tels que la factorisation (QR) et la décom-position en valeur singulière (DV S), et d’autre part sur des constatations géométriques, telles que des méthodes de projection orthogonale.

Les algorithmes d’identification MOESP se décomposent en deux étapes [2] :

– la compression des matrices de Hankel d’entrées et de sorties qui, après quelques manipulations mathématiques, conduit à l’extraction des matrices particulières qu’on appelle matrices de travail.

– l’application d’une décomposition en valeurs singulières, à certaines matrices de travail trouvées précédemment, permet ainsi l’estimation de la matrice d’observa-bilité étendue.

Trois différents algorithmes d’identification MOESP peuvent être distingués selon des hypothèses fixées sur les propriétés des entrées et des perturbations :

– MOESP ordinaire (Ordinary MOESP) : suppose que les bruits d’état w et de sortie v sont nuls ;

– PI-MOESP (Past Input MOESP) : suppose que les bruits d’état w sont nuls et que le bruit de sortie v est un bruit coloré de variance finie ;

– PO-MOESP (Past Output MOESP) : suppose que les bruits d’état et de sortie sont deux bruits blancs gaussiens de moyenne nulle et de variance finie.

I.4.1 Algorithme d’identification MOESP ordinaire

L’algorithme d’identification MOESP ordinaire comporte les étapes de base néces-saires utilisées dans les autres algorithmes d’identification MOESP. Il traite

(25)

tion des systèmes libres (w = v = 0) représentés par les équations d’état suivantes : (

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k) (I.14)

où nous rappelons que _{x(k) ∈ R}n , _{u(k) ∈ R}m , _{y(k) ∈ R}l sont respectivement, les vecteurs d’états, d’entrées et de sorties. u(k) et y(k) sont directement accessibles à la mesure.A, B, C, D sont les matrices du système de dimensions appropriées.

Le problème d’identification par la technique MOESP ordinaire consiste à trouver l’ordren et les matrices du système sans perturbations indiquées.

Estimation de A et C

Disposant deNm mesures d’entrée-sortie, la sortie récurrente du système (I.14) peut

s’écrire de la façon suivante :

y(0) = Cx(0) + Du(0)

y(1) = CAx(0) + CBu(0) + Du(1)

y(2) = CA2x(0) + CABu(0) + CBu(1) + Du(2) ..

.

y(k) = CAkx(0) + CAk−1_{u(0) + · · · + CBu(k − 1) + Du(k)} (I.15) Compte tenu des équations (I.2), (I.4), (I.6), (I.8) et (I.10), et prenant N = Nm −

i + 1, l’équation (I.15) peut se mettre sous la forme compacte suivante, appelée équation matricielle d’entrée-sortie :

Y0,j,N = bΓiX0,N+ HiU0,j,N (I.16)

Dans l’équation (I.16) seules les matricesU0,j,NetY0,j,Nsont connues. L’objectif de la

méthode d’identification MOESP ordinaire est de trouver, à partir de cette équation, une matrice dont l’espace colonne est le même que celui de la matrice d’observabilité étendue Γi. Cette dernière, conformément à l’équation (I.8), permettra par la suite d’estimer les

matrices A et C.

Pour atteindre cet objectif, il est donc nécessaire d’éliminer le terme en Hi. Comme

la matrice U0,j,N est connue, on peut trouver une projection orthogonale Π⊥U0,j,N telle que

U0,j,NΠ⊥U0,j,N = 0. Cette projection est donnée par la relation suivante :

Π⊥

U0,j,N = I − U

T

(26)

La multiplication à droite de l’équation (I.16) parΠ⊥

U0,j,N donne Y0,j,NΠ⊥U0,j,N = bΓiX0,NΠ ⊥ U0,j,N + HiU0,j,NΠ ⊥ U0,j,N | {z } 0 = bΓiX0,NΠ⊥U0,j,N (I.18)

Le calcul deY0,j,NΠ⊥U0,j,N peut être réalisé, d’une manière numérique fiable, en effectuant

la factorisationQR au bloc matriciel [U0,j,N, Y0,j,N]T [31] :

" U0,j,N Y0,j,N # = " L11 0 L21 L22 # " Q1 Q2 # (I.19) oùU0,j,N ∈ Rmj×N,Y0,j,N ∈ Rlj×N,Q1 ∈ Rmi×N,Q2 ∈ Rlj×N,L11 ∈ Rmj×mj, L21 ∈ Rlj×mj etL22∈ Rlj×lj.

L’orthogonalité de la matriceQ de l’équation (I.19) implique les relations suivantes :

QiQTj =

(

0 pour i 6= j

I pour i = j (I.20)

La décomposition de l’équation (I.19) permet d’obtenir les matrices entrées et sorties passées suivantes :

U0,j,N = L11QT1 (I.21)

Y0,j,N = L21QT1 + L22QT2 (I.22)

Après multiplication à droite de l’équation (I.22) parQT

2 on obtient :

Y0,j,NQT2 = L21QT1QT2 + L22QT2QT2 (I.23)

CommeQ2QT2 = I et QT1QT2 = 0, l’équation (I.23) prend la nouvelle forme suivante :

Y0,j,NQT2 = L22 (I.24)

L’expression deY0,j,NQT2 peut être trouvée d’une autre manière en multipliant

l’équa-tion (I.16) à droite parQT

2 et en remplaçantU0,j,N par sa valeur donnée dans de l’équation

(I.21).

(27)

d’où, on a :

Y0,j,NQT2 = bΓiX0,NQT2 + HiU0,j,NQT2 (I.25)

= bΓiX0,NQT2 + HiL11Q1QT2

= bΓiX0,NQT2

L’égalité des équations (I.24) et (I.25) conduit à la forme compacte deY0,j,NΠ⊥U0,j,N

suivante :

L22 = bΓiX0,NQT2 (I.26)

Pour résoudre le problème de compression de données, deux auteurs [33, 34] ont pro-posé d’appliquer à L22 un outil mathématique particulier : la décomposition en valeurs

singulières (DVS). L22 = h Us Ub i" _Σ_s ₀ 0 Σb #_h VT s VbT i = UsΣsVsT + UbΣbVbT (I.27)

Il est à noter qu’en général, en raison des erreurs de calcul et du bruit, les valeurs singulières ne seront jamais exactement nulles. En conséquence, l’ordre du système doit être choisi en regroupant les valeurs singulières en un ensemble de valeurs singulières "grandes", associées aux modes du système, et un ensemble de valeurs singulières "pe-tites" découlant de bruit et des erreurs de calcul comme le montre l’équation (I.27). Dans le cas où le bruit est absent,Σb = 0, cette équation prend la nouvelle forme suivante :

L22 = UsΣsVsT (I.28)

Ainsi, l’espace colonne recherché de bΓi est égale aux premières n colonnes de Us,

notéUn[25].

Compte tenu de l’équation (I.8), l’estimée deC, notée ˆC, est égale aux l premières lignes deUn, oùl est le nombre de sorties. Quant à l’estimation de la matrice A, elle se

fait de la façon suivante : Posant U1 égale aux (i − 1).l lignes supérieures de Un et, U2

égale aux _{(i − 1).l lignes inférieures de U}n, alors l’estimée de la matriceA, notée ˆA, est

(28)

En utilisant les notations deM AT LABr_{, les estimées ˆ}_{A et ˆ}_{C sont données}

respecti-vement par les équations suivantes :

ˆ C = Un(1 : l, :) (I.29) ˆ A = U1♮.U2 (I.30) où U1 =       C CA .. . CAi−2      , U2 =       CA CA2 .. . CAi−1       (I.31) Estimation de B, D et x(0)

On reprend l’équation (I.15), qu’on peut réécrire sous la forme compacte suivante :

y(k) = CAkx(0) +

k−1

X

τ =0

(CAk−1−τBu(τ )) + Du(k) (I.32)

Avec l’exploitation de la propriétéP8 de l’Annexe B.4, on peut écrire :

k−1 X τ =0 (CAk−1−τBu(τ )) = "_k−1 X τ =0 (u(τ )T _{⊗ (CA}k−1−τ)) # vec(B) (I.33) Du(k) = u(k)T _{⊗ I}l vec(D) (I.34)

On remplace les expressions des équations (I.33) et (I.34) dans l’équation (I.32), on ob-tient : y(k) = CAkx(0) + "_k−1 X τ =0 (u(τ )T _{⊗ (CA}k−1−τ)) # vec(B)

+u(k)T _{⊗ I}lvec(D) (I.35)

Ainsi, l’équation (I.35) peut s’écrire sous la forme condensée suivante :

Y0,N,1 = h b ΓN Y U i    x0 B D    (I.36)

(29)

avec : Y0,N,1 =       y(0) y(1) .. . y(N − 1)      , b ΓN =       C CA .. . CAN −1₎       (I.37) Y =       0 u(0)T _{⊗ C} .. . PN −2 τ =0(u(τ )T ⊗ (CAN −2−τ))      , U =       u(0)T _{⊗ I} l u(1)T _{⊗ I} l .. . u(N − 1)T _{⊗ I} l       (I.38)

B = vec(B), D = vec(D) (I.39)

Les coefficients de _{x(0), B et D peuvent être trouvés en résolvant l’équation (I.36).} La solution est donc donnée par l’équation suivante :

   x(0) B D    = h b ΓN Y U i+ Y0,N,1 (I.40)

En conclusion, l’algorithme MOESP ordinaire peut être résumé de la façon suivante : 1. À partir des données entrées-sorties mesurées, construire les matrices de Hankel

Y0,j,N et U0,j,N définies respectivement par (I.2) et (I.4) avec N = Nm− i + 1.

2. Appliquer la factorisationQR à l’équation (I.19).

3. Appliquer la décomposition en valeur singulière (DVS) àL22(I.27).

4. Déduire l’ordre du système comme étant le nombre des valeurs singulières non nulles contenu dans Σs.

5. Calculer ˆA et ˆC à partir des équations (I.29) et (I.30). 6. Calculer ˆB, ˆD et ˆx(0) à partir de l’équation (I.40)

I.4.2 Algorithme d’identification PI-MOESP

Dans la section précédente, la technique d’identification MOESP ordinaire est utilisée pour identifier les systèmes déterministes. La présente section traite l’identification par sous-espaces des systèmes avec des perturbations additives sur la sortie. De tels systèmes

(30)

sont représentés par le système d’équations suivantes : (

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k) + v(k) (I.41)

où nous rappelons que _{x(k) ∈ R}n , _{u(k) ∈ R}m , _{y(k) ∈ R}l sont respectivement, les vecteurs d’états, d’entrées et de sorties. u(k) et y(k) sont directement accessibles à la mesure. _{v(k) ∈ R}n est une perturbation additive de moyenne nulle supposée être non corrélée à l’entrée.

L’identification de ce type de système par la technique MOESP ordinaire conduit à des estimées biaisées. Pour remédier à ce problème, on utilise la technique PI-MOESP. Elle permet d’annuler les effets de ces perturbations par l’intégration d’une matrice ins-trumentale [31].

Comme dans le cas de la technique MOESP ordinaire, La démarche suivie par la famille des algorithmes d’identification PI-MOESP est résumée dans les deux étapes sui-vantes :

– estimer la matrice d’observabilité étendue bΓidu système perturbé

– estimer les matrices d’état du système,(A, B, C, D), à partir de l’estimée bΓiet des

données entrées-sorties. Estimation de A et C

L’équation matricielle entrée-sortie décrivant le modèle (I.41) est donnée par la rela-tion suivante :

Yi,j,N = bΓjXi,N + HjUi,j,N+ Vi,j,N (I.42)

oùVi,j,N est la matrice de Hankel perturbation construite de manière similaire à l’équation

(I.3) etN = Nm− i − j + 1. Vi,j,N =       v(i) _{v(i + 1) · · ·} _{v(N + i − 1)} v(i + 1) v(i + 2) v(N + i) .. . . .. ... v(i + j − 1) v(i + j) · · · v(N + i + j − 2)       (I.43)

(31)

De la même façon que dans le cas précédent, la multiplication de l’équation (I.42) par Π⊥

Ui,j,N permet d’isoler le terme HjUi,j,N comme le montre l’équation suivante :

Yi,j,NΠ⊥Ui,j,N = bΓjXi,NΠ

⊥ Ui,j,N + HjUi,j,NΠ ⊥ Ui,j,N | {z } 0 +Vi,j,NΠ⊥Ui,j,N

= bΓjXi,NΠ⊥Ui,j,N + Vi,j,NΠ

⊥

Ui,j,N (I.44)

À partir de l’équation (I.44), puisque le bruit de sortie et la séquence d’entrée sont décorrélés, alors, pour un nombre de données suffisamment grand, on a Vi,j,NΠUT

i,j,N =

Vi,j,N.

Reste donc à éliminer le terme Vi,j,N. Pour le faire, on doit trouver une matrice qui ne

soit pas corrélée avec Vi,j,Nsans qu’elle influence sur le rang de la matrice d’observabilité

étendue bΓj. On doit donc chercher une matrice instrumentale, noté Z, telle que [31] :

lim N →∞ 1 NVi,j,NZ T _{= 0} _(I.45) rang( lim N →∞ 1 NXi,NZ T_{) = n} _(I.46)

Puisque les entrées passées ne sont pas corrélées aux perturbations et sont corrélées avec les états du système, alors le choix de Z = U0,j,N vérifie respectivement les

hypo-thèses (I.45) et (I.46) [31].

Deux groupes de matrices de Hankel seront donc définies. Le premier groupe, basé sur les données passées, sera utilisé pour l’élimination du terme Vi,j,N. Le second groupe, basé

sur les données futures, sera utilisé pour l’estimation des matrices du système (I.41). Les matrices de Hankel correspondantes aux entrées, sorties et perturbations passées seront construites conformément à l’équation (I.2). Quant aux matrices de Hankel futures, elles seront construites conformément à l’équation (I.3).

Pour N assez grand , la multiplication à droite de l’équation (I.44) par ΠU0,j,N conduit

à l’équation suivante :

Yi,j,NΠ⊥Ui,j,NΠU0,j,N = bΓjXi,NΠ

⊥

Ui,j,NΠU0,j,N

+ Vi,j,NΠU0,j,N

| {z }

0

= bΓjXi,NΠ⊥Ui,j,NΠU0,j,N (I.47)

La procédure d’estimation de la matrice d’observabilité étendue sera donc identique à celle suivie pour l’algorithme MOESP ordinaire. Le calcul du premier membre de la

(32)

matrice (I.47) peut être réalisé par la factorisationQR suivante :    Ui,j,N U0,j,N Yi,j,N    =    L11 0 0 L21 L22 0 L31 L32 L33       Q1 Q2 Q3    (I.48) oùL11∈ Rmj×mj,L21 ∈ Rmj×mj,L31 ∈ Rlj×mj,L22∈ Rmj×mj,L32∈ Rlj×mj, L33 ∈ Rlj×lj,Q1 ∈ Rmj×N,Q2 ∈ Rmj×N,Q3 ∈ Rlj×N

À partir de l’équation (I.48), on peut écrire :

Ui,j,N = L11.Q1 (I.49)

U0,j,N = L21.Q1+ L22.Q2 (I.50)

Yi,j,N = L31.Q1+ L32.Q2 + L33.Q3 (I.51)

On multiplie à droite les deux membres de l’équation (I.51) par QT

2, on obtient : Yi,j,NQT2 = L31. Q_{| {z }}1.QT2 0 +L32. Q_{| {z }}2.QT2 I +L33. Q_{| {z }}3.QT2 0 = L32 (I.52)

L’expression de Yi,j,NQT2 peut être trouvée d’une autre manière en exploitant les

équa-tions (I.42), (I.49) et (I.50). En effet, après multiplication à droite les deux membres de l’équation (I.42) par QT

2, on obtient :

Yi,j,NQT2 = bΓjXi,NQ2T + HjUi,j,NQT2 + Vi,j,NQT2

= bΓjXi,NQT2 + HjL11Q_{| {z }}1QT2 0

+Vi,j,NQT2

= bΓjXi,NQT2 + Vi,j,NQT2 (I.53)

Le calcul de Vi,j,NQT2 se fait à partir des équations (I.49) et (I.50) de la façon suivante :

Pour des valeurs de N tendant vers l’infini, puisque v(k) et (Ui,j,N,U0,j,N) sont

décor-rélés, alors :

– La multiplication de l’équation (I.49) par VT

i,j,N conduit à la relation suivante :

Ui,j,NVi,j,NT = L11Q1Vi,j,NT = 0 (I.54)

(33)

d’où, après multiplication de l’equation (I.54) par l’inverse de L11, on obtient le

résultat suivant :

Q1Vi,j,NT = 0 (I.55)

– La multiplication de l’équation (I.50) par VT

i,j,N conduit aux expressions suivantes :

U0,j,NVi,j,NT = (L21Q1+ L22Q2)Vi,j,NT (I.56)

= L22Q2Vi,j,NT

= 0

d’où, après multiplication de l’equation (I.56) par l’inverse de L22, on obtient le

résultat suivant :

Q2Vi,j,NT = 0 (I.57)

On remplace Q2Vi,j,NT par sa valeur dans l’équation (I.53), on obtient :

Yi,j,NQT2 = bΓjXi,NQT2 (I.58)

L’égalité des équations (I.52) et (I.58) conduit à la relation suivante :

L32 = bΓjXi,NQT2 (I.59)

La décomposition en valeurs singulières (DVS) deL32est donnée par l’équation

sui-vante : L32 = h Us Ub i" _Σ_s ₀ 0 Σb # " VT s VT b # = UsΣsVsT + UbΣbVbT (I.60)

Le nombre de valeurs singulières, contenu dansΣs, représente l’ordre,n, du système.

L’espace colonne recherché de bΓi est égal à celui de L32 qui est égal aux n premières

colonnes deUs, notéUn. Compte tenu de l’équation (I.8), la procédure d’estimation des

matrices (A, B, C, D) du système (I.41) est identique à celle suivie pour l’algorithme MOESP ordinaire.

(34)

Estimation de B, D et x(0)

Une écriture itérative de la sortie de l’équation (I.41) conduit à la forme suivante : y(k) = CAkx(0) +

k−1

X

τ =0

(CAk−1−τBu(τ )) + Du(k) + v(k) (I.61)

En utilisant la propriété P8de l’Annexe B.4, on peut écrire : k−1 X τ =0 (CAk−1−τBu(τ )) = "_k−1 X τ =0 (u(τ )T _{⊗ (CA}k−1−τ)) # vec(B) (I.62) Du(k) = u(k)T _{⊗ I}l vec(D) (I.63)

Après avoir remplacé les expressions des équations (I.62) et (I.63) dans l’équation (I.61), on obtient : y(k) = CAkx(0) + "_k−1 X τ =0 (u(τ )T _{⊗ (CA}k−1−τ)) # vec(B) +u(k)T _{⊗ I}l vec(D) + v(k) (I.64)

Ainsi, l’équation (I.64) peut s’écrire sous sa forme condensée suivante :

Y0,N,1 = h b ΓN Y U i    x0 B D    + V0,N (I.65) avec : Y0,N,1 =       y(0) y(1) ... y(N − 1)      , b ΓN =       C CA ... CAN −1₎       (I.66) Y =       0 u(0)T _{⊗ C} ... PN −2 τ =0(u(τ )T ⊗ (CAN −2−τ))      , U =       u(0)T _{⊗ I} l u(1)T _{⊗ I} l ... u(N − 1)T _{⊗ I} l       (I.67)

(35)

B = vec(B), D = vec(D), Vi,N =       v(0) u(1) ... v(N − 2)       (I.68)

Les coefficients de x(0), B et D peuvent être trouvés en résolvant l’équation (I.65). Par conséquent, la solution est donnée par l’équation suivante :

   x(0) B D    = h b ΓN Y U i+ Y0,N,1 (I.69)

En conclusion, l’algorithme PI-MOESP est composé des étapes suivantes :

1. À partir des données entrées-sorties mesurées, construire les matrices de Hankel

Ui,j,N, Yi,j,N et U0,j,N définies respectivement par (I.5), (I.3) et (I.4)

avec N = Nm− i − j + 1.

2. Appliquer la factorisationQR à l’équation (I.48).

3. Appliquer la décomposition en valeur singulière (DVS) àL32(I.59).

4. Déduire l’ordre du système comme étant le nombre de valeurs singulières non nulles contenues dans Σ.

5. Calculer ˆA et ˆC à partir des équations (I.29) et (I.30). 6. Calculer ˆB, ˆD et ˆx(0) à partir de l’équation (I.69)

I.4.3 Algorithme d’identification PO-MOESP

Dans la section précédente, la technique d’identification PI-MOESP est utilisée pour identifier les systèmes perturbés en sortie. Quant à la présente section, elle traite le pro-blème d’identification par sous-espaces des systèmes perturbés en entrée et en sortie. De tels systèmes peuvent être représentés par le modèle d’état suivant :

(

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + w(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k) + v(k) (I.70) où nous rappelons que x(k) ∈ Rn _{, u(k) ∈ R}m _{, y(k) ∈ R}l _{sont respectivement, les}

vecteurs d’états, d’entrées et de sorties. u(k) et y(k) sont directement accessibles à la mesure. w(k) ∈ Rn _{et v(k) ∈ R}l _{sont respectivement des perturbations sur l’état et sur}

la sortie du système supposé de moyenne nulle et de variance finie. w(k) et v(k) sont supposés indépendants de u(k).

(36)

La famille des algorithmes d’identification MOESP utilisée pour traiter de tel système est le PO-MOESP. De la même manière que pour le cas de la technique PI-MOESP, La démarche suivie par la famille des algorithmes d’identification PO-MOESP est résumée dans les deux étapes suivantes :

– estimer la matrice d’observabilité étendue bΓidu système perturbé

– estimer les matrices d’état du système,(A, B, C, D), à partir de l’estimée bΓiet des

données entrées-sorties. Estimation de A et C

L’équation matricielle entrée-sortie décrivant le modèle (I.70) est donnée par la rela-tion suivante :

Yi,j,N = bΓjXi,N + HjUi,j,N + GjWi,j,N + Vi,j,N (I.71)

oùWi,j,N etVi,j,N sont les matrices de Hankel perturbations, construites de manière

simi-laire à l’équation (I.3).Gj est une matrice de Toeplitz construite à partir deC et A comme

suit : Gj =         0 0 _{· · · 0} C 0 0 CA C 0 .. . . .. ... CAj−2 _CAj−3 _{· · · 0}         (I.72)

Comme dans le cas de la famille des algorithmes d’identification PI-MOESP, à l’ex-ception du terme contenant la matrice d’observabilité étendue, les termes à droite de l’équation (I.71) doivent être supprimés. Ainsi, la multiplication de cette équation à droite par Π⊥

Ui,j,N permet d’éliminer le terme en HjUi,j,N. Reste donc à éliminer les termes de

perturbations comme le montre l’équation suivante :

⊥ Ui,j,N + GjWi,j,NΠ ⊥ Ui,j,N + Vi,j,NΠ ⊥ Ui,j,N (I.73)

Le fait que les bruits ne sont pas corrélés avec les entrées, alors, pour N tend vers l’infini, on a :

Wi,j,NΠ⊥Ui,j,N = Wi,j,N

Vi,j,NΠ⊥Ui,j,N = Vi,j,N

(37)

Par conséquent, l’équation (I.73) prend la nouvelle forme suivante :

⊥

Ui,j,N + GjWi,j,N + Vi,j,N (I.74)

L’élimination des termes des bruits nécessite l’intégration d’une matrice instrumentale qui ne soit corrélée ni avecWi,j,N ni avecVi,j,N et qui ne doit pas influencer sur le rang de

la matrice d’observabilité étendue bΓj. Vues les hypothèses sur les bruits w(k) et v(k), un

choix de la matrice instrumentale, Z, sera basé sur les matrices des entrées et des sorties passées. Ainsi, ZN = [U0,j,N, Y0,j,N]T.

La multiplication à droite de l’équation (I.74) parΠZN conduit à l’équation suivante :

Yi,j,NΠ⊥Ui,j,NΠZN = bΓjXi,NΠ

⊥ Ui,j,NΠZN + GjWi,j,NΠZN | {z } terme2 + Vi,j,NΠZN | {z } terme1 (I.75)

On développe leterme1et leterme2pour faire apparaître les matricesU0,j,N etY0,j,N,

comme suit :

terme1 : Vi,j,NΠZN = Vi,j,NU

T 0,j,N | {z } ℧1 (Z_NTZN)−1ZN + Vi,j,NY0,j,NT | {z } ℧2 (Z_NTZN)−1ZN

terme2 : Wi,j,NΠZN = Wi,j,NU

T 0,j,N | {z } ℧3 (Z_NTZN)−1ZN + Wi,j,NY0,j,NT | {z } ℧4 (Z_NTZN)−1ZN

PourN assez grand, les termes℧1et℧3tendent vers zéros (cf. (I.56)). Puisque les termes

℧2 et℧4 sont nuls [2, 35], alors l’équation (I.75) prend la nouvelle forme suivante :

Yi,j,NΠ⊥Ui,j,NΠZN = bΓjXi,NΠ

⊥

Ui,j,NΠZN (I.76)

Le calcul deYi,j,NΠ⊥Ui,j,NΠZN peut être réalisé à partir de la factorisationQR suivante :

     Ui,j,N U0,j,N Y0,j,N Yi,j,N     =      L11 0 0 0 L21 L22 0 0 L31 L32 L33 0 L41 L42 L43 L44           Q1 Q2 Q3 Q4      (I.77) où L11 ∈ Rmj×mj, L22 ∈ Rmj×mj, L33 ∈ Rlj×lj, L44 ∈ Rlj×lj, Q1 ∈ Rmj×N, Q2 ∈ Rmj×N_,_Q 3 ∈ Rlj×N,Q4 ∈ Rlj×N

(38)

À partir de l’équation (I.77), on obtient les matrices des entrées et des sorties passées comme suit :

Ui,j,N = L11Q1 (I.78)

U0,j,N = L21Q1+ L22Q2 (I.79)

Y0,j,N = L31Q1+ L32Q2+ L33Q3 (I.80)

Yi,j,N = L41Q1+ L42Q2+ L43Q3+ L44Q4 (I.81)

La multiplication à droite de l’équation (I.81) successivement parQT

2 et parQT3 conduit

aux équations suivantes :

Yi,j,NQT2 = L42 (I.82)

Yi,j,NQT3 = L43 (I.83)

Ces deux équations peuvent être réécrites sous la forme condensée telle que :

Yi,j,N " Q2 Q3 #T = h L42 L43 i (I.84) Une autre formulation de l’équation (I.84) s’obtient en multipliant l’équation (I.71) parh Q2; Q3 iT ; d’où l’on a : Yi,j,N " Q2 Q3 #T = bΓjXi,N " Q2 Q3 #T + HjUi,j,N " Q2 Q3 #T | {z } termeI +GjWi,j,N " Q2 Q3 #T | {z } termeIII + Vi,j,N " Q2 Q3 #T | {z } termeII (I.85)

À partir de l’équation (I.85), il est facile de remarquer que le termeI est nul. En effet,

Lorsqu’on remplace Ui,j,N par sa valeur, donnée par l’équation (I.79), dans termeI on

obtient le résultat suivant :

Ui,j,N " Q2 Q3 #T = L11Q1 " Q2 Q3 #T = 0 (I.86)

Quant au calcul du temreII, il se fait de la façon suivante : Pour des valeurs de N Thèse d’Etat (2014), Faculté des Sciences de Rabat 25

(39)

tendent vers l’infini, puisque u(k) et v(k) ne sont pas corrélés, alors d’une part, on a l’équation suivante : Ui,j,NVi,j,NT = 0 = L11Q1Vi,j,NT (I.87) d’où Q1Vi,j,NT = 0. et d’autre part, on a : U0,j,NVi,j,NT = 0 = (L21Q1 + L22Q2)Vi,j,NT = L21Q1Vi,j,NT | {z } =0 +L22Q2Vi,j,NT = L22Q2Vi,j,NT (I.88)

Le premier composant dutermeII est donc nul,Vi,j,NQT2 = 0.

Le deuxième composant,Vi,j,NQT3, dutermeII se calcule de la façon suivante :

Pour des valeurs deN tendent vers l’infini, on vu que ℧T

2 = 0. En remplaçant Y0,j,N

par sa valeur, donnée par l’équation (I.80), dans l’expressionY0,j,NVi,j,NT , on obtient :

Y0,j,NVi,j,NT = 0 = (L31Q1+ L32Q2+ L33Q3)Vi,j,NT = L31Q1Vi,j,NT | {z } 0 +L32Q2Vi,j,NT | {z } 0 +L33Q3Vi,j,NT = L33Q3Vi,j,NT (I.89) d’où Q3Vi,j,NT = 0.

Le calcul de la valeur dutermeIII se fait de la même façon que celle dutermeII. Par

conséquent, on a :

(40)

Finalement, l’équation (I.85) prend la nouvelle la forme suivante :

Yi,j,N " Q2 Q3 #T = bΓjXi,N " Q2 Q3 #T (I.90)

L’égalité des équations (I.90) et (I.84) conduit au résultat suivant :

[L42 L43] = bΓjXi,N " Q2 Q3 #T (I.91)

Posant[L42 L43] = L423 et [QT2 QT3] = QT23, l’équation (I.91) prend une forme

qui ressemble celle des équations (I.59) et (I.26) :

L423 = bΓjXi,NQT23 (I.92)

La décomposition en valeurs singulières (DVS) de L423 est donnée par l’équation

(I.93) suivante : L423 = h Us Ub i" _Σ_s ₀ 0 Σb # " VT s VT b # = UsΣsVsT + UbΣbVbT (I.93)

Dans cette équation, UbΣbVbT correspond au sous-espace bruit pour lequel Σbcontient

les plus faibles valeurs singulières complémentaires. UsΣsVsT correspond au sous-espace

signal pour lequel Σs contient les n plus grandes valeurs singulières représentant l’ordre

du système. C’est ce dernier sous-espace qui va être conservé pour estimer l’ordre et les matrices du système.

L423 = UsΣsVsT (I.94)

Ainsi, les estimées ˆA et ˆC sont, comme précédemment, obtenues à partir des équations (I.29) et (I.30).

(41)

Estimation de B, D et x(0)

Un simple calcul itératif de la sortie du système, équation (I.70), conduit à l’équation suivante : y(k) = CAkx(0) + k−1 X τ =0 CAk−1−τBu(τ ) + Du(k) + k−1 X τ =0 CAk−1−τw(τ ) + v(k) (I.95)

Avec l’utilisation de la propriétéP8 de l’Annexe B.4, on peut écrire :

k−1 X τ =0 CAk−1−τBu(τ ) = "_k−1 X τ =0 (u(τ )T _{⊗ (CA}k−1−τ)) # vec(B) (I.96) Du(k) = u(k)T _{⊗ I}lvec(D) (I.97)

Lorsqu’on remplace les expressions des équations (I.96) et (I.97) dans l’équation (I.95), on obtient : y(k) = CAkx(0) + "_k−1 X τ =0 (u(τ )T _{⊗ (CA}k−1−τ)) #

vec(B) +u(k)T _{⊗ I}lvec(D)

+

k−1

X

τ =0

CAk−1−τw(τ ) + v(k) (I.98)

L’équation (I.98) peut-être réécrite sous la forme simple et condensée suivante :

Y0,N,1 = h b ΓN Y U i_  x0 B D    + E (I.99) avec : Y0,N,1 =       y(0) y(1) .. . y(N − 1)      , b ΓN =       C CA .. . CAN −1₎      