La m´ethode d´ecrite aux sections 1.3.1 nous permet de calculer facilement la r´eponse spectrale d’une couche mince optique ou d’un assemblage de plusieurs couches. Afin d’atteindre des performances taill´ees sur mesure, il ne reste qu’`a op- timiser les caract´eristiques des couches minces. La matrice de passage impliquant le param`etre de phase δ montre clairement que deux param`etres peuvent ˆetre chang´es pour chaque couche pour arriver `a ce r´esultat : l’´epaisseur de la couche et son indice de r´efraction. Les deux ont pour effet de faire changer l’´epaisseur optique et donc les conditions d’interf´erence constructive ou destructive `a chaque interface. Il s’agit donc d’un probl`eme d’optimisation `a 2k variables, k ´etant le nombre de couches. On peut d´efinir des cibles qui correspondent `a des valeurs des caract´eristiques d’un filtre `a une ou des longueurs d’onde donn´ees (par exemple, on peut d´efinir une cible de R = 0.8 `a λ = 450 nm). Afin de parvenir `a la meilleure solution possible, on
calcule une fonction de m´erite ´evaluant l’´ecart aux cibles. Cette fonction s’exprime : ζ = 1 N N j=1 f (λj)− ˆf (λj) Δf (λj) 2 (1.48) ζ(α) = 1 N N j=1 fλj(α)− ˆfλj Δfλj (1.49)
o`u f est la valeur r´eelle de la propri´et´e d’int´erˆet (R, T , dφ, . . . ) engendr´ee par l’empilement de couches `a la longueur d’onde λj, ˆf est la valeur cible `a cette
mˆeme longueur d’onde, et Δf est la tol´erance par rapport `a cette cible. Il s’agit ensuite simplement d’un probl`eme de minimisation de moindres carr´es o`u il suffit de diff´erencier la fonction ζ selon chaque param`etre αk et r´esoudre le syst`eme
d’´equations ainsi obtenues (Fortin, 1995). ∂ζ(α) α1 = ∂ζ(α) α2 = ... = ∂ζ(α) αk = 0 (1.50)
Ce syst`eme est r´esolu num´eriquement par les logiciels existant sur le march´e pour ce faire (OptiLayer, TFCalc, Essential MacLeod, etc.). Plusieurs groupes de recherche cr´eent ´egalement leur algorithme maison. Chacune de ces solutions com- porte des avantages ou particularit´es pouvant convenir `a la r´esolution de certains types de probl`emes.
Ce sont les logiciels OpenFilters et OptiLayer qui ont ´et´e utilis´es dans les tra- vaux du chapitre 2 (Tikhonravov et al., 1996; Larouche & Martinu, 2008). Le su- jet de ce chapitre est la modification du logiciel OpenFilters pour l’inclusion des contraintes m´ecaniques.
1.5.1
M´ethode d’affinage (refinement)
Dans la plupart des cas de fabrication de couches minces, c’est plutˆot l’´epaisseur que l’indice de r´efraction qui est vis´ee par l’optimisation. En effet, rares sont les techniques de d´epˆot qui permettent de modifier `a dessein cet indice. Il faut pour cela pouvoir faire des m´elanges ou modifier la densit´e des couches. C’est une fa¸con de faire exploit´ee par les designs `a gradient d’indice o`u l’indice de r´efraction des mat´eriaux varie de fa¸con continue plutˆot qu’abrupte soit en effectuant des m´elanges graduels de composition ou en variant graduellement la densit´e. On effectue g´en´e- ralement une caract´erisation de l’indice de r´efraction du mat´eriau avant le d´epˆot puis on suppose que les conditions de d´epˆot ne changent pas l’indice pour la dur´ee de celui-ci. Dans le cas o`u l’indice change l´eg`erement, l’optimisation peut ensuite ˆ
etre effectu´ee in situ en cours de d´epˆot en consid´erant l’´epaisseur optique totale.
Pour l’affinage, l’optimisation des variables par rapport aux cibles se fait en minimisant la fonction ζ. Il s’agit d’un simple probl`eme des moindres carr´es pon- d´er´es qu’on peut r´esoudre num´eriquement (m´ethode de Newton-Gauss, m´ethode de Levenberg-Marquardt, etc). Pour les propri´et´es optiques des empilements de couches minces, le calcul de la fonction de m´erite et de sa d´eriv´ee revient `a calculer les matrices M et leurs d´eriv´ees dM par rapport aux param`etres αk puisque les
propri´et´es R et T (fλj(α)) en d´ecoulent.
dM dαk = j+1 i=q Mi dMj dαk 1 i=j−1 Mi (1.51)
o`u q est le nombre de couches de l’empilement. Il est possible que l’op´eration d’op- timisation se conclue par une solution qui ne permette pas d’atteindre parfaitement toutes les cibles. Cela peut ˆetre dˆu `a la pr´esence d’un minimum local dans la fonc- tion d’optimisation, par un nombre insuffisant de couches utilis´ees dans le design de d´epart ou encore au domaine limit´e de valeurs que peuvent prendre les variables
optimis´ees (on ne peut en effet pr´etendre utiliser des ´epaisseurs ou indices non- physiques).
1.5.2
M´ethode des germes (needle)
La m´ethode des germes (needle), qu’on appelle ´egalement m´ethode des aiguilles, a ´et´e propos´ee par A. Tikhonravov et est utilis´ee depuis les ann´ees ’90. Cette m´e- thode permet d’am´eliorer un design dont les couches ont d´ej`a atteint l’´epaisseur optimale par la m´ethode d’affinage en ´evaluant l’endroit o`u l’ajout d’une nouvelle couche d’´epaisseur infinit´esimale (un germe) permettrait de faire les gains les plus importants pour la minimisation de la fonction de m´erite (Tikhonravov, 1982; Ti- khonravov et al., 1996). Cette m´ethode calcule la d´eriv´ee de la fonction de m´erite par rapport `a son ´epaisseur en fonction de l’endroit o`u un germe est plac´e.
Le d´eveloppement suivant est tir´e de Larouche & Martinu (2008). Consid´erons un empilement de k couches. L’effet de la j`eme couche est repr´esent´e par la matrice de transfert Mj. L’ajout d’un germe d’´epaisseur dg s´epare donc cette couche en
deux sous couches dont les matrices de transfert sont Mj1 et Mj2. La matrice de
transfert de la couche j peut donc s’exprimer Mj = Mj2MgMj1 o`u Mgest la matrice
de transfert du germe. La d´eriv´ee de la matrice Mj par rapport `a l’´epaisseur d’un
germe est donc :
dMj ddg dg=0 = Mj2 dMg ddg dg=0 Mj1 (1.52)
La fonction ζ est calcul´ee pour chaque point x de la couche pour un germe de mat´eriau contenu dans une liste pr´ed´efinie. Le germe est rajout´e `a l’endroit o`u la fonction de m´erite est la plus faible et le mat´eriau de celui-ci est ´egalement choisi pour minimiser la fonction.
Une autre m´ethode, celle des paliers (step), est ´egalement utilis´ee dans le logi- ciel OpenFilters, mais elle n’a pas ´et´e utilis´ee dans les travaux sur les contraintes m´ecaniques qui font l’objet du reste de ce chapitre car elle n´ecessite la variation de l’indice de r´efraction des mat´eriaux (par m´elange ou variation de densit´e). Elle n’est donc pas d´ecrite ici.