Con lusion

Du gros modèle onpasse à un modèlehiérar hisé ave des entrées, dessorties. Cettete hnique

simpliedon l'étudedu modèle.

Quelques points intéressants :

•

Ilexistedes omposantesfortement onnexesayantuneseulevariable.Parmi es omposantes, ilyenaquisontdesentrées(

x₁

,

y₂₁

;

y₂₃

;

y₂₄

;

y₂₅

;

y₂₈

;

y₂₉

;

y₃₀

)etpourrontêtrerempla ées par leurs équilibres dansles autres équations.

Enprenant par exemple lavariable

y₂₁

,sonéquationest donnéepar :

dy₂₁

dt ^{= κP gi}− (γP gi+ µ)y₂₁

sonéquilibreest donné par:

y^∗₂₁= ^{κP gi}

γP gi+ µ

D'aprèslethéorèmedeladé omposition(voirannexeA.2),

y₂₁

serarempla épar

y₂₁^∗

dansles autres équations.

La omposante

x₃

estune sortie.

• G3

setrouve en haut dugraphehiérar hisé etpourraêtre étudié séparément.

•

Les omposantes

G₂₁₄

,

G₃

et

G₇

sont ha une omposées de variables métaboliques et géné-tiques.Onpourradon fairel'hypothèsebiologiquequiditquelesvariablesmétaboliquessont

plusrapidesquelesvariablesgénétiquesetainsionpourraappliquerlethéorèmedeTikhonov

(voir annexeA.1).Ainsi :



G₂₁₄

vapasserde 11 variablesà 6variables; 

G₃

passede 4variables à2 variables;

•

Sinousdisposons dedonnées surles variables,l'identi ation desparamètres sera plusfa ile et sefera par blo . En prenant le blo

G3

par exemple, 'est un système sans entrée ave 4 variables. Nous pourrons identier les paramètres de e blo .

G₃

est une entrée pour le blo

G₂₁₄

etdon sileblo

G₃

aunéquilibreglobalement stable, e dernierva dépendredes para-mètresdu blo

G₃

déja identiés. D'après lethéorème de la dé omposition (voir annexe A.2

),onmettra

G₃

à l'équilibredansleblo

G₂₁₄

,nousauronsmoinsdeparamètres à identier. Cettepro édurese feradanstousles blo seton pourraainsiidentier lesparamètres.

•

Enn, ilpeutêtre intéressant de vériersiles modules (

G₃

,

G₂₁₄

,

G₅

,

G₆

et

G₇

) ont un sens biologique.

Uni ité et stabilité globale de l'équilibre

de modèles métaboliques

Les systèmes métaboliques onstituent une lasse importantede systèmes dynamiques

interve-nantdansledomaine delabiologie[33℄.Il s'agitdesystèmesdetype himiques, maisdanslesquels les réa tions sont atalysées par desenzymes. Ces enzymes sont desprotéines synthétiséespar des

gènes, etles systèmes métaboliques et génétiques sont ainsi ouplés par des bou les de régulation

(lesmétabolitespeuventrégulerlasynthèsed'uneenzyme).Pourétudier essystèmes ouplés,dont

l'un (le système métabolique) a une dynamique très rapide par rapport à l'autre, il est très

im-portant depouvoir étudierlesproprités de stabilitéglobale du systèmemétabolique. Si elui- iest

globalement stable, alors on pourra le mettre à son équilibre, et appliquer des théorèmes de type

Tikhonovsurlessystèmes àplusieursé hellesde temps[33℄,pourinje terlavaleurde etéquilibre danslesystèmegénétique.Pourlesbiologistes,ilsembleévidentquelessystèmesmétaboliques

réa-listes ontunseuléquilibrestable.Pourtant,ilest onnuque ertainssystèmesdetypemétabolique

peuvent avoir plusieurs équilibres [10℄. Dans e hapitre, nousapportons quelques ontributions à e problème. Nousmontrons quepour unréseau enzymatique réversible pur (toutesles réa tions

sont des réa tions enzymatiques réversibles), alors, suivant les entrées, il y a soit pas d'équilibre,

soit unseuléquilibreglobalement asymptotiquement stable.Lesoutils quenousallonsutilisersont

lassiquesetappartiennent à lathéorie dessystèmes monotones, et à elledessystèmes

omparti-mentaux. Notre apport onsiste en l'étudedes systèmes métaboliques réversibles, ave des entrées

etdessorties.Dansladernièrese tion,nousfaisonslelienave lessystèmesgénétiques,etmontrons

quel'équilibre dépendde façon dé roissantedes on entrations en enzymes.

4.1 Dénition des systèmes monotones

Lessystèmes monotones onstituent l'unedesplusimportantes lassesde systèmesdynamiques

utilisées pour la modélisation mathématique de systèmes biologiques. Des études poussées de es

systèmesont étéfaitesparSmith[63℄etHirs h[34℄.Cesontdessystèmestrèsfréquentsenbiologie. Dans ette se tion, nousdonnonsunedénition de essystèmes.Nousallons nousintéresser à leur

stabilitédans le adredesréseaux métaboliques. Donnonsd'abord quelquesdénitions.

•

Ordre partiel



αK ⊂ K

pour tout

α ∈ R+



K + K ⊂ K



K ∩ (−K) = {0}

Ondénit un ordre partiel



dans

K

tel que si

x₁  x2 alors x₁− x2∈ K

.

•

Dénition deot

Soitle systèmesuivant :

˙x = f (x)

(4.1)

On dénit le ot

Φ(t)

omme étant l'ensemble des solutions du système ( 4.1) paramétrées par letemps t. La notation

Φ(t, x₁)

orrespond à la solution issue de la ondition initiale

x₁

etparamètrée par

t ≥ 0

.

Considèrons maintenant lesystèmeautonome

˙x = f (x)

(4.2)

où

f

est ontinuement dérivable dans

K = Rn

+

(dans e qui suit, on prendra

K = Rn

+

).On notera

x < y

si

x_i< y_i ∀i

Dénition 5. Condition de Kamke

f

est de type Kdans

K

pour tout

i

, si

fi(a)  fi(b)

pour toutpoint

a

et

b

dans

K

tels que

a  b

et

ai= bi

.

Théorème 4.1.1. Soit

f

satisfaisant à la ondition de Kamke et

x₀, x₁ ∈ K

. Si

x₀  x1

et que

Φ(t, xi), i = 0, 1

soient dénis,alors

Φ(t, x₀)  Φ(t, x1)

. La preuve de e théorème se trouve dans [63℄.

La onditionde Kamke implique alors une onservationde l'ordre partiel au ours du temps.

La onditiondeKamkeestplusfa ileàidentierenregardantlesignedelamatri eJa obienne.

Proposition 4.1.2. Si

f

est diérentiable, alors la onditionde Kamkeimplique que

∂fi

∂xj(t, x) ≥ 0 ∀i 6= j

(4.3)

Inversement, si

∂fi

∂x_j^{(t, x)}

est ontinue dans

K

et satisfaità la ondition(4.3),et sile domaine

K

est p- onvexe 'est à dire que pour tout

x et y ∈ K

et satisfaisant à

x  y

, le segment qui joint les deux pointsreste dans

K

, alors la ondition deKamke est satisfaite. Voir [63℄ pour la preuve. Le système( 4.2) est don appelé système oopératif.

Sile systèmeest oopératif, alors leot (solution paramètrée par letemps) estmonotone 'est

àdire quele ot onserve l'ordrepartiel dans

Rn

x₂

x(t, x2)

x₁

x(t, x1)

x₂

x(t, x2)

x₁

x(t, x1)

Fig. 4.1  Ces deux gures illustrent graphiquement la monotonie. Ainsi à gau he le système est

monotone ar l'ordre partiel est onservé tandis qu'à droite lesystème est nonmonotone du faitde

la non onservation del'ordre partiel

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