Complexe de poids cohomologique avec action

pour un carr´e acyclique, sont exactes, en utilisant l’exactitude des suites induites par la filtration g´eom´etrique (homologique) et la dualit´e GpC^q(X)^∼=

Cq(X)

G_q−1Cq(X)

∨

.

PourX une vari´et´e alg´ebrique r´eelle projective lisse, il utilise ensuite le quasi-isomorphisme

G_p−1C∗(X) →F_p^can₋₁C∗(X) dans C qui induit, par dualit´e, un quasi-isomorphismeG_pC^∗(X)←

F_p^can₋₁^∨C^∗(X) dans C, (o`u F_p^can₋₁^∨C^q(X) = {ϕ ∈ C^q(X) | ϕ ≡ 0 surF_p^can₋₁C∗(X)}), avant de montrer que les inclusions Fcan^p C^q(X) ⊂ F_p^can₋₁^∨C^q(X) induisent un quasi-isomorphisme filtr´e.

Remarque 6.1.7. Notons que les relations de dualit´e

GpC^q(X)

Gp+1Cq(X) ⁼

G_pCq(X)

G_p−1C_q(X)

∨

entre la filtration g´eom´etrique duale et la filtration g´eom´etrique induisent donc des relations

WpHc^q(X) Wp+1Hc^q(X) ⁼ W_pH_q(X) W_p−1Hq(X) ∨ et W^pH_c^q(X) ={ϕ∈H_c^q(X)|ϕ≡0 surW_p−1H_q(X)}

entre les filtrations par le poids cohomologique et homologique.

De mˆeme, les suites spectrales de poids cohomologique et homologique sont duales l’une de l’autre :

E_r^p,q= (E_p,q^r )^∨

(pourr≥0 si on repr´esente les complexes de poids par les filtrations g´eom´etriques).

On peut d´efinir de la mˆeme fa¸con une filtration N sur le complexe des cochaˆınes semi-alg´ebriques C^∗(T) d’un ensemble AS T, duale de la filtration Nash-constructible N sur son complexe des chaˆınes semi-alg´ebriques :

D´efinition 6.1.8. Soit T un ensemble AS de X_AS. Pour tout p et tout q, on d´efinit

N^pC^q(T) ={ϕ∈C^q(T) |ϕ≡0 sur N_p−1Cq(X)}.

Cette filtration Nash-constructible duale ´etend la filtration g´eom´etrique dualeGC^∗:Schc(_R)→ C

`

a la cat´egorieX_AS des ensemblesAS.

6.2 Complexe de poids cohomologique avec action

Soit Gun groupe fini.

On construit un foncteur qui `a toute G-vari´et´e alg´ebrique r´eelle associe son complexe de poids cohomologique que l’on munit de l’action deGinduite par fonctorialit´e. De fa¸con analogue au cadre homologique, on utilise la version avec action 3.2.1 du th´eor`eme de Guill´en et Navarro Aznar pour montrer son unicit´e avec les propri´et´es d’acyclicit´e, d’additivit´e et d’extension du

foncteur qui associe `a toute G-vari´et´e alg´ebrique r´eelle projective non singuli`ere son complexe de cochaˆınes semi-alg´ebriques muni de la filtration canonique et de l’action de G induite par fonctorialit´e.

Dans la suite, on d´efinira et on appliquera `a ce complexe de poids cohomologique avec action un foncteur LG, afin obtenir un complexe de poids ´equivariant cohomologique qui induira une filtration dite par le poids ´equivariante sur une certaine cohomologie ´equivariante des vari´et´es alg´ebriques r´eelles.

6.2.1 Contexte

On reprend les notations Sch^G_c(R), Reg^G_comp(R) et V^G(R) pour d´esigner les cat´egories de vari´et´es alg´ebriques r´eelles avec action alg´ebrique de Gavec lesquelles on va travailler.

On note ´egalement

– C^G la cat´egorie des G-complexes de cochaˆınes born´es de Z2-espaces vectoriels munis d’une filtration d´ecroissante born´ee par des G-complexes de cochaˆınes avec inclusions ´equivariantes, et des morphismes de complexes filtr´es ´equivariants,

– D^G la cat´egorie des G-complexes de cochaˆınes born´es de Z2-espaces vectoriels, et des morphismes de complexes de cochaˆınes ´equivariants.

Comme dans le cadre homologique, l’action deGsur un complexe deD^G induit une action naturelle sur sa cohomologie, et la suite spectrale Er associ´ee `a tout complexe filtr´e (K^∗, F^∗) de C^G peut ˆetre munie naturellement de l’action induite deG.

A titre d’exemple, citons la filtration canonique cohomologique qui, lorsqu’on en munit un

G-complexe de cochaˆınes born´e, fournit un ´el´ement deC^G. De mˆeme, le complexe filtr´e simple associ´e `a un diagramme cubique dans C^G peut ˆetre muni de l’action de G induite et devenir ainsi un ´el´ement deC^G.

On termine enfin cette introduction en d´efinissant la notion de quasi-isomorphisme deC^G :

D´efinition 6.2.1. Un quasi-isomorphisme de C^G est un morphisme de C^G qui induit un iso-morphisme sur E1.

On note H◦C^G la cat´egorie C^G localis´ee par rapport aux quasi-isomorphismes de C^G.

6.2.2 Existence et unicit´e du complexe de poids cohomologique avec action

Soit X une G-vari´et´e alg´ebrique r´eelle de Sch^G_c(_R). On peut alors munir (de fa¸con fonc-torielle) le complexeC^∗(X) d’une action de G (et donc ´egalement la cohomologie singuli`ere `a supports compacts H_c^∗(X) de l’ensemble des points r´eels de X) induite par la fonctorialit´e de

C^∗ :Sch_c(_R)→D( =^∨◦(C∗ :Sch_c(_R)→ D)). On obtient ainsi un foncteur :

C^∗ :Sch^G_c(_R)→D^G.

En munissant C^∗(X) de la filtration canonique, on obtient un foncteur `a valeurs dans la cat´egorie filtr´eeC^G :

6.2. COMPLEXE DE POIDS COHOMOLOGIQUE AVEC ACTION 113

De la mˆeme fa¸con, la fonctorialit´e du complexe de poids cohomologique de T. Limoges nous fournit un complexe de poids cohomologique avec action de G:

Th´eor`eme 6.2.2. Le foncteur

F_canC^∗:V^G(_R)−→H◦C^G ; X7→F_canC^∗(X) admet une extension en un foncteur

GWC^∗:Sch^G_c(_R)−→H◦C^G

d´efini pour toutes les G-vari´et´es alg´ebriques r´eelles et tous les morphismes propres r´eguliers ´

equivariants, qui v´erifie les propri´et´es suivantes :

1. Acyclicit´e : Pour tout carr´e acyclique dans Sch^G_c(_R), le complexe filtr´e simple du ⁺₁ -diagramme dans C^G

GWC^∗(Ye) ← GWC^∗(Xe)

↑ ↑

GWC^∗(Y) ← GWC^∗(X) est acyclique.

2. Additivit´e : Pour une inclusion ferm´ee ´equivariante Y ⊂X, le complexe filtr´e simple du

⁺0-diagramme dans C^G

GWC^∗(Y)←^GWC^∗(X) est isomorphe `a ^GWC^∗(X\Y).

Un tel foncteur ^GWC^∗ est unique `a un isomorphisme de H◦C<sup>G</sup> unique pr`es.

D´emonstration. Existence : La fonctorialit´e du complexe de poids cohomologique de T. Li-moges fournit le complexe de poids cohomologique avec action^GWC^∗ :Sch^G_c(R)→H◦C^Gqui v´erifie alors les conditions d’extension, d’acyclicit´e et d’additivit´e demand´ees.

Unicit´e : On utilise le crit`ere d’extension avec action 3.2.1. En effet, pour des raisons analogues `a celles du cadre homologique,

– la cat´egorieC^G est bien une cat´egorie de descente cohomologique,

– le foncteur F_canC^∗ :VG(_R)→H◦C^G est φ-rectifi´e et v´erifie les conditions (F1) et (F2) du th´eor`eme.

D´efinition 6.2.3. Si X est une G-vari´et´e alg´ebrique r´eelle, le G-complexe de cochaˆınes filtr´e

GWC^∗(X) est appel´e complexe de poids cohomologique avec action de X.

Enfin, comme dans le cadre homologique, l’isomorphisme H^∗(^GWC^∗(X)) ^∼= H_c^∗(X) est ´

equivariant, et la filtration par le poids sur la cohomologie `a supports compacts de (l’ensemble des points r´eels de) laG-vari´et´e alg´ebrique r´eelleXest munie de l’action induite deG, `a l’instar de la suite spectrale de poids.

Pr´ecisons ´egalement que la filtration g´eom´etrique duale, munie de l’action de G induite par fonctorialit´e, r´ealise le complexe de poids cohomologique. En effet, le quasi-isomorphisme filtr´e F_canC^∗(X)→ GC^∗(X) pourX projective lisse est en particulier induit par des inclusions ´

equivariantes, et est donc lui-mˆeme ´equivariant.

Dans la suite, le complexe de poids cohomologique d’uneG-vari´et´e alg´ebrique r´eelleX sera simplement not´eWC^∗(X) lorsque le contexte sera explicite.