Comparaison temporelle

Ψ(t), (2.43) avec (2.30) : F_yf(t) c_yf ⁻ Fyr(t) c_yr ^{= βv(t) −} L V_x0^Ψ(t),˙ (2.44) et avec (2.42) : Mt  L_rc_yr− L_fc_yf 2Lc_yrc_yf  Γt(t) = βv(t) − ^L V_x0^Ψ(t).˙ (2.45)

Et nalement, avec la deuxième hypothèse du mouvement circulaire uniforme (2.41) : β_v(t) =  M_t Lrcyr− L_fc_yf 2Lcyrcyf  + ^L V_x0²  Γ_t(t) (2.46) 2.1.3 Comparaison temporelle Le scénario

Les équations de la dynamique de chaque modèle décrit précédemment sont utilisées pour modéliser un changement de voie du véhicule an de comparer les modèles simpliés au modèle de validation non linéaire servant de référence. Cette simulation va ainsi permettre d'analyser la pertinence des modèles simpliés.

Le changement de voie est eectué à une vitesse Vx0 = 90 km/h. Le chemin suivi par le véhicule débute par une ligne droite de 5 m, puis un changement de voie sur 200 m. L'amplitude de l'angle volant en entrée est calculée de manière qu'au bout de ces 200 m, le véhicule s'est déplacé latéralement de 3,5 m. L'allure de la trajectoire désirée est tracée à la Figure 2.3. De plus, le véhicule est déjà à la vitesse cible au début de la simulation (XG= 0 m).

An de garantir une trajectoire lisse et naturelle pour un conducteur lambda, telle que présentée en Figure 2.3, l'angle volant choisi est une période d'un sinus. La période Tθv de ce sinus est calculée avec (2.47) tel que le changement de voie dure 200 m. L'amplitude du signal est ensuite adaptée an d'atteindre les 3,5 m latéraux au bout des 200 m.

T_θv = ^Dx Vx0

, (2.47)

avec Dx = 200m la distance parcourue lors du changement de voie.

2.1. Les modèles dynamiques du véhicule 0 50 100 150 200 250 x_G (m) 0 1 2 3 4 y^G (m) Trajectoire

Figure 2.3  Trajectoire du changement de voie Les résultats de la simulation

Les variables de la dynamique latérale du modèle linéaire sont comparées à celles des modèles simpliés de la section précédente. Les variables des modèles simpliés, tracées en Figure 2.5 et 2.6, correspondent aux équations encadrées de la section 2.1.2. En entrée de chaque modèle est utilisé l'angle volant présenté Figure 2.4 et la vitesse longitudinale xée à Vx0= 90 km/h.

0 2 4 6 8 10 t (s) -3 -2 -1 0 1 2 3 v (°) Angle volant

Figure 2.4  Évolution de l'angle volant

Les simulations temporelles montrent qu'à une vitesse constante de 90 km/h, dans le cas d'un changement de voie, le modèle linéaire (courbes violettes) est dèle au modèle non linéaire (courbes rouges). L'erreur en position latérale est de maximum 0.7mm (Figure 2.5 (a)) et celle en vitesse de lacet de 10−4 ◦/s(Figure 2.6 (b)).

0 2 4 6 8 10 t (s) 0 1 2 3 4 5 6 Y^G (m) Position latérale

Modèle non linéaire Modèle linéaire

Modèle linéaire circulaire uniforme Modèle cinématique 0 2 4 6 8 10 t (s) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Accélération latérale

Modèle non linéaire Modèle linéaire

Modèle linéaire circulaire uniforme

(a) (b)

2.1. Les modèles dynamiques du véhicule

En ajoutant les hypothèses de mouvement circulaire uniforme aux hypothèses des petits angles et des zones de fonctionnement des pneumatiques, le modèle linéaire circulaire uniforme reste tout de même très représentatif de la dynamique latérale du véhicule. En eet, pour cette modélisation simpliée et dans ce cas d'étude, l'erreur en position est de maximum 9 cm (Fi-gure 2.5 (a)) et celle en vitesse de lacet de 0,05◦/s(Figure 2.6 (b)). Cependant, le modèle présente une avance de 0,1 s en accélération latérale (Figure 2.5 (b)).

0 2 4 6 8 10 t (s) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Vitesse de lacet

Modèle non linéaire Modèle linéaire

Modèle linéaire circulaire uniforme Modèle cinématique 0 2 4 6 8 10 t (s) -0.5 0 0.5

Erreur vitesse de lacet

Modèle linéaire

Modèle linéaire circulaire uniforme Modèle cinématique

(a) (b)

Figure 2.6  Vitesse de lacet (a) et erreur de vitesse de lacet par rapport au modèle de validation (b)

Quant au modèle cinématique, ce dernier ne permet pas une bonne représentation du modèle dans ce cas. L'erreur nale en position est de quasiment 2 m et l'erreur maximale en vitesse de est de 0,4◦/s, ce qui correspond à des erreurs relatives de plus de 40 %. Ce résultat est prévisible du fait que la simulation se fait avec une vitesse de 90 km/h alors que ce modèle n'est valide qu'à faible vitesse.

Analyse des hypothèses

An de comprendre pourquoi les modèles simpliés restent plus ou moins dèles au modèle non linéaire, les hypothèses de simplication sont analysées avec les variables du modèle de validation. Pour rappel, les hypothèses utilisées pour chaque modèle sont listées ci-après.

• Modèle cinématique

 Hypothèse 1 : ˙Ψ(t) = ^Vx(t)

L ^tan(βv(t))

 Hypothèse 2 : Vx(t)sin(Ψ(t))  Vy(t)cos(Ψ(t))  Hypothèse 3 : ˙y_G(t) = V_x(t)sin(Ψ(t))

• Modèle linéaire

 Hypothèse 4 : Vx0 |l_fΨ(t)|^˙ et Vx0 |l_rΨ(t)|^˙  Hypothèse 5 : Ψ(t) faible

 Hypothèse 6 : les pneumatiques sont dans leurs zones linéaires de fonctionnement • Modèle linéaire en régime circulaire uniforme

 Hypothèses 4, 5 et 6  Hypothèse 7 : ¨Ψ(t) = 0  Hypothèse 8 : ˙Ψ(t) = ^Γt(t)

Vx0

2.1. Les modèles dynamiques du véhicule

Pour le modèle cinématique, il faut vérier l'hypothèse 2 ainsi que les hypothèses 1 et 3 représentées par (2.25). Les deux membres de la première équation de (2.25) sont tracés sur la Figure 2.7 (a) et ceux de la deuxième équation sur la Figure 2.7 (b).

0 2 4 6 8 10 t (s) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 °/s Hypothèse 1 0 2 4 6 8 10 t (s) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 m/s Hypothèse 3 (a) (b)

Figure 2.7  Première hypothèse du modèle cinématique sur la vitesse de lacet (a) et troisième hypothèse sur la dérivée de la position latérale (b)

Alors que la première hypothèse sur l'estimation de la vitesse de lacet en fonction de l'angle de braquage n'est pas du tout représentative de la réalité avec une erreur de 0, 3◦/s, 95% en relatif, lorsque l'angle volant est maximal, l'hypothèse 3 sur la dérivée de la position est vériée avec une erreur relative de maximum 5%.

Pour vérier l'hypothèse 2, c'est-à-dire que Vy(t)cos(Ψ(t))est négligeable devant Vx(t)sin(Ψ(t)), ces variables sont tracées sur la Figure 2.8. Au maximum, max(Vy(t)cos(Ψ(t))) = 0, 01m/s. C'est en moyenne 50 fois inférieur à Vx(t)sin(Ψ(t))ce qui rend l'hypothèse valide.

0 2 4 6 8 10 t (s) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rad/s Hypothèse 2

Figure 2.8  Deuxième hypothèse du modèle cinématique

Finalement, c'est la non-vérication de la première hypothèse qui conduit aux erreurs d'es-timation de la position latérale et de la vitesse de lacet observées précédemment pour le modèle cinématique.

Plusieurs hypothèses ont été posées pour écrire le modèle linéaire. La première (hypothèse 4) est que Vx(t) = Vx0 >> |l_fΨ(t)|^˙ et Vx0 >> |lr_Ψ(t)|˙ . Numériquement, Vx0 = 25 m/s, l_fmax( ˙Ψ(t)) = 0, 022 m/s et lrmax( ˙Ψ(t)) = 0, 022 m/s. Avec un rapport supérieur à 1000 entre les expressions, les inégalités sont vériées.

2.1. Les modèles dynamiques du véhicule

La deuxième hypothèse (hypothèse 5) est celle d'un petit angle de lacet pour simplier les relations trigonométriques de l'équation de la trajectoire (2.11). L'angle de lacet issu du modèle de validation est tracé sur la Figure 2.9. Lors de la simulation, Ψ(t) reste inférieur à 2◦ ce qui permet de valider l'hypothèse.

0 2 4 6 8 10 t (s) -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Hypothèse 5

Figure 2.9  Évolution de l'angle de lacet pour l'hypothèse des petits angles

La dernière hypothèse du modèle linéaire (hypothèse 6) concerne la zone de fonctionnement des pneumatiques. C'est la supposition d'une relation linéaire entre l'eort latéral appliqué au pneumatique et l'angle de dérive de ce dernier qui mène à la relation (2.30). Pour vérier cette supposition, les caractéristiques des pneumatiques avant et arrière ainsi que leurs zones de fonctionnement lors de la simulation du modèle de validation sont tracés sur la Figure 2.10. Pour un changement de voie à 90 km/h, les eorts des pneumatiques sont bien dans leur zone linéaire, car les angles de dérive des pneumatiques restent inférieurs à 0, 5◦, l'hypothèse est validée.

-10 -5 0 5 10 t (s) -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 Hypothèse 6

Caractéristique pneu avant Caractéristique pneu arrière

Zone de fonctionnement lors de la simulation pneu avant Zone de fonctionnement lors de la simulation pneu arrière

-0.5 0 0.5 t (s) -1000 -500 0 500 1000 Hypothèse 6

Caractéristique pneu avant Caractéristique pneu arrière

Zone de fonctionnement lors de la simulation pneu avant Zone de fonctionnement lors de la simulation pneu arrière

(a) (b)

Figure 2.10  Variation de l'eort latéral du pneumatique en fonction de l'angle de dérive et zone de fonctionnement des pneumatiques (a), zoom (b)

Toutes les hypothèses du modèle linéaire sont validées, c'est pourquoi ce modèle reste dèle au modèle de validation.

Pour le modèle linéaire circulaire uniforme, les hypothèses (2.40) (hypothèse 7) et (2.41) (hypothèse 8) sont rajoutées aux hypothèses 4, 5 et 6 validées du modèle linéaire. L'hypothèse 7 d'accélération de lacet nulle est représentée par la Figure 2.11 (a) et l'hypothèse 8 d'un lien constant entre la vitesse de lacet et l'accélération latérale par la Figure 2.11 (b).

2.1. Les modèles dynamiques du véhicule 0 2 4 6 8 10 t (s) -1 -0.5 0 0.5 1 Hypothèse 7 0 2 4 6 8 10 t (s) -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 rad/s Hypothèse 8 (a) (b)

Figure 2.11  Accélération de lacet (a) et hypothèse sur la relation entre la vitesse de lacet et l'accélération latérale (b)

Sur la Figure 2.11 (a), l'accélération de lacet est nulle uniquement lorsque l'angle volant est nul ou à son maximum/minimum. L'accélération de lacet varie entre −0, 6◦/s² et 0, 6◦/s² ce qui ne permet pas de valider l'hypothèse. Cependant, sur la Figure 2.11 (b), la vitesse de lacet et son estimation par l'accélération latérale sont très proches avec une erreur inférieure à 6 10−4 rad/s et un retard de maximum 0,04 s. L'hypothèse est validée.

Concernant le modèle linéaire en régime circulaire uniforme, comme pour le modèle cinéma-tique, une seule hypothèse n'est pas vériée : l'hypothèse 7 ici. Cependant, pour le cas de ce changement de voie, la non-validation de l'hypothèse 1 sur la vitesse de lacet pour le modèle cinématique a beaucoup plus d'impact que l'hypothèse 7 sur l'accélération de lacet du modèle linéaire en régime circulaire uniforme.

2.1.4 Comparaison fréquentielle des modèles de la dynamique latérale du