Comparaison selon la surface

No final do século XIX, algumas rupturas epistemológicas começaram a ocorrer no núcleo mais duro da Ciência Moderna. Ou seja: nas Ciências Formais, a matemática e a lógica; e, na Ciência Natural mais fundamental, a física.

Na matemática, a busca pelo rigor dos conceitos das diversas teorias matemáticas e pela determinação de seus procedimentos dedutivos e fundacionais, “com a definição progressiva da evidência como instrumento de fundamentação e aceitação dos resultados matemáticos” (REALE e ANTISERI, 2007, v. 3, p. 357) levou à descoberta de antinomias que ameaçaram todo o edifício do saber matemático. Essa busca pelos fundamentos desenvolveu-se em duas linhas principais, iniciadas por Gottlob Frege (1848-1895) e por Georg Cantor (1845-1918). O primeiro quis reconduzir a aritmética à lógica, numa “logicização da matemática”, afirmando não serem necessárias, para sua fundamentação nem a experiência nem a intuição. Essa linha foi desenvolvida por Bertrand Russell (1872-1970) no início do século seguinte. Cantor, por outro lado, quis reconduzir a aritmética à teoria dos conjuntos.

Nesse mesmo período, nascem as geometrias não-euclidianas, a partir das quais os axiomas deixam de ser verdades evidentes que garantem todas as deduções subsequentes e passam a ser simples “começos”, simples postulados: “pontos de partida convencionalmente escolhidos e admitidos para efetuar a construção dedutiva” (REALE e ANTISERI, 2007, v. 3, p. 360). Mas, se os axiomas são meros postulados, pontos de partida escolhidos por convenção, quem garantirá os teoremas deles deduzidos? E quem garantirá que a dedução dos teoremas não conduzirá a contradições que farão o sistema explodir? Esses foram os problemas deixados pela matemática para o século XX.

Durante mais de dois milênios, o sistema de Euclides fora o modelo máximo do saber dedutivo. Porém, com o aparecimento das geometrias não-euclidianas, esse paradigma das ciências formais foi abalado. Em sua obra clássica Elementos, Euclides estabeleceu cinco

postulados81 ou verdades indubitáveis do saber geométrico, alguns axiomas82 ou verdades que valem tanto para a geometria como para o conhecimento universal e vinte e três definições de conceitos. Foi com base nesse arcabouço de partida que Euclides estabeleceu, por demonstração ou dedução, as proposições ou teoremas da geometria ― dessa geometria clássica que reinou absoluta do século III a. C. até o século XIX. Como observam Reale e Antiseri (ibid., p. 361), não parecia que uma mente sadia poderia colocar em dúvida os axiomas e postulados auto-evidentes; portanto, os teoremas ou proposições deles deduzidos corretamente também não poderiam ser colocados em dúvida. “Euclides, como já fizera Aristóteles e fariam Pascal e Newton, expressou o ideal de uma organização axiomática de uma disciplina, ideal redutível, a grosso modo, à escolha de pequeno número de proposições ‘evidentes’ daquele âmbito do saber” (REALE e ANTISERI, 2007, v. 3, p. 362), das quais todas as outras proposições verdadeiras desse campo do saber são deduzidas.

Desde a antiguidade, muitos pensadores questionaram a auto-evidência do quinto postulado de Euclides, conhecido como “postulado das paralelas”: Se uma linha reta cortar duas outras

retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos. Uma das deduções desse postulado é a de que dados em

um plano uma reta e um ponto fora dela, só há no plano uma reta que passa por esse ponto e é paralela à primeira reta, de modo que nunca encontrará a primeira reta. Esse postulado mostrou ser falso em vários outros modelos. Por exemplo, quando as duas retas estiverem num plano e esse plano for um círculo; quando as duas retas estiverem em planos diferentes; quando as duas retas estiverem numa esfera. No entanto, esse questionamento do quinto postulado só deu origem a uma geometria não-euclidiana no século XIX, com Karl Friedrich Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (182-1860) e Nicolai Iavanovic Lobacewskij (1793-1856), e foi chamado de geometria hiperbólica, pois foi obtida pela substituição do quinto postulado pela sua negação. Outras geometrias não-euclidianas foram criadas em seguida, também com

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1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une; 2. um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente; 3. pode-se traçar um círculo de qualquer centro e raio; 4 todos os ângulos retos são iguais; 5. se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.

82 _{Axiomas: princípios verdadeiros, auto-evidentes e fundamentadores de qualquer afirmação posterior de} determinada ciência. Exemplos dados por Reale e Antiseri dos axiomas de Euclides (cf. REALE e ANTISERI, 2007, v. 3, p. 361): Coisas que são iguais a uma mesma coisa são iguais entre si; se coisas iguais são adicionadas a coisas iguais, as totalidades são iguais; se de coisas iguais são subtraídas coisas iguais, os restos são iguais; o todo é maior do que as partes etc.

a substituição do quinto postulado, mas por postulados diversos daquele proposto pela geometria hiperbólica. Um exemplo dessa geometria que substitui o quinto postulado é a que toma por modelo não um plano, mas uma esfera, na qual nenhuma reta é paralela e toda e qualquer reta acaba encontrando outra reta. Nesse tipo de geometria não-euclidiana os teoremas ou proposições são, portanto, diferentes dos euclidianos.

Para o pensamento e a ciência ocidentais, uma das primeiras consequências do aparecimento das geometrias não-euclidianas na passagem para o século XX foi a retirada da geometria euclidiana do lugar de paradigma de verdade absoluta. Com isso, a geometria perdeu a confiança ingênua na capacidade de a intuição fundamentar os axiomas e os postulados. Assim, ela passou a questionar a idéia de axiomas verdadeiros, auto-evidentes e inquestionáveis, e então eles passaram a ser considerados, em muitas áreas, simples pontos de

partida ou começos de uma demonstração. Como passaram a ser considerados convenções (e,

portanto, nem verdadeiros nem falsos) seria possível que algumas deduções realizadas mesmo que corretamente a partir deles levassem a contradições e à incoerência dos sistemas ― o que não poderia ocorrer a partir de axiomas considerados verdadeiros.

Este se configurou como o primeiro de três grandes problemas: o problema da coerência. Os outros dois foram: o problema da completude e o problema da interdependência. O problema da completude divide-se em dois: o da completude sintática e o da completude semântica. No caso do primeiro, a questão que se coloca é: como podemos ter certeza de que os axiomas83 escolhidos para determinado cálculo podem demonstrar ou refutar aquele cálculo? No caso do segundo, a questão é: “se interpretarmos um grupo de axiomas de modo que eles formalizem certa teoria84, de que modo podemos nos assegurar de que não existem proposições verdadeiras da teoria que não são demonstráveis a partir dos axiomas colocados?” (ibid., p. 368). No caso do problema da interdependência, a questão que se coloca é: como saber se um axioma não é dedutível dos outros axiomas do sistema?

O problema mais urgente mostrou-se ser o da coerência, pois um sistema formal incoerente deixa de existir. Os lógicos e matemáticos do século XX, como David Hilbert e Kurt Gödel, debruçaram-se sobre esses problemas, na tentativa de resolvê-los. Voltaremos a esse tema adiante.

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Para o conceito de axioma, ver nota 73 e 81; e, também, páginas 91, 112, 143, 149, 166. 84 _{Por exemplo, a mecânica newtoniana.}