Les algorithmes de décodage SD et SE modifiés comme ceux des non-modifiés se composent de deux phases : une phase de prédécodage et une phase de recherche, tels que le montrent leurs organigrammes respectifs (fig. 4.7, 4.10). Pour étudier et comparer la complexité du SE et SD nous allons étudier la complexité de chacune des phases .
116 4.5. C SD SE
4.5.2.1 Complexité de la phase de prédécodage
Dans la phase de prédécodage, on effectue essentiellement deux opérations : la triangularisation de la matrice génératrice M du réseau de points et le calcul du point ZF.
La triangularisation de la matrice génératrice M peut être effectuée soit par la décomposition Cholesky, soit par la décomposition QR. Le nombre d’opérations arithmétiques respectifs des deux décompositions sont2
3· n3et 16· n3+n[61]. Sachant que la décomposition de Cholesky se
fait sur la matrice de Gram de la matrice M, cela rajoute n3opérations supplémentaires. Ainsi
l’utilisation de la décomposition QR s’avère plus intéressante.
La deuxième opération de la phase de prédécodage est le calcul du point ZF. Pour le SD, cela se fait directement en appliquant la formule ρ = y · M−1. Pour le SE, on effectue deux mul-
tiplications de matrices, ρ = (y.Q) · R−1. Au final, les deux calculs restent presque équivalents
en terme de nombre d’opérations.
En conclusion, nous pouvons dire que les phases de prédécodage du SD et SE aboutissent pratiquement à la même complexité.
SD Calcul de M−1 Calcul de ρ = yM−1 D´efinir Q′ D´ecomposition QR M = QR SE D´ecomposition QR M = QR Calcul de y′= yQ Calcul de R−1 Calcul de ρ = y′R−1 Phase de predecodage
4.5.2.2 Complexité de la phase de recherche
Nous nous proposons d’étudier et de comparer, par simulation, les complexités des phases de recherche des versions modifiées du SD et du SE en fonction du nombre d’antennes. La complexité sera mesurée par le temps de calcul en secondes.
Dans la figure 4.12, nous avons tracé le temps de recherche du SD et du SE en fonction du nombre d’antennes, à RSB=Eb
N =12 et 20 dB, en utilisant une constellation 16-QAM. Pour ces
deux RSB, nous remarquons que la phase de recherche du SE est plus rapide que celle du SD. A moyen RSB, l’écart entre les temps de recherche est plus important qu’à fort RSB, cet écart augmente proportionnellement avec le nombre d’antennes.
4.5.2.3 Complexité totale
Nous avons montré que les phases de prédécodage du SD et du SE sont presque équivalentes en terme de complexité. Par simulation, nous avons trouvé que le SE dispose d’une phase de recherche plus rapide que celle du SD. Nous concluons ainsi que la complexité totale de l’algorithme SE est inférieure à celle du SD.
Dans la figure 4.13, nous avons tracé le rapport du temps total de recherche (correspondant à la phase de prédécodage et la phase de recherche) du SD par SE en fonction du nombre d’antennes pour un RSB = Eb
N0 =12,20 dB, en utilisant une constellation 16-QAM. Pour les deux
RSB, le rapport est presque constant. Par contre, il est un peu plus élevé pour un faible nombre d’antennes. A moyen RSB, le rapport est autour de 1.5, alors que à fort RSB, il est autour de 1.2. On déduit donc que, plus le RSB augmente, plus il est intéressant d’utiliser le SE.
C 4. D´ ML E-T 117
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nombre d’antennes a l’emission
0 10 20 30 40 50 60 Temps de recherche (s) SD SE (a) SNR=12 dB 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nombre d’antennes a l’emission
0 1 2 3 4 Temps de recherche (s) SD SE (b) SNR= 20 dB
F. 4.12: Comparaison des temps de recherche du SD et du SE modifiés, pour une constellation 16-QAM
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre d’antennes a l’emission 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Rapport des temps de recherche total SD/SE
SNR=12 dB SNR=20 dB
F. 4.13: Rapport des temps de recherche SD/SE, pour une constellation 16-QAM
Conclusion
La représentation en réseau de points des codes ST dont font parties nos codes quaternioniques et parfaits construits au chapitre précédent, permet leur décodage par les décodeurs de réseaux de points donnant ainsi leurs performances optimales.
Au cours de ce chapitre, nous avons présenté les deux algorithmes de décodage ML des réseaux de points, le décodeur par sphères et le Schnorr-Euchner. Ces deux décodeurs ont été utilisés dans la littérature pour décoder les réseaux de points infinis.
Étant donné que nous utilisons les constellations q-QAM et q-HEX, nous avons été amenés à modifier le décodeur par sphères et le Schnorr-Euchner pour pouvoir décoder les constellations
118 4.5. C SD SE finies.
L’étude menée sur les deux décodeurs pour le choix du meilleur nous a permis de conclure que les deux décodeurs disposent du même principe de fonctionnement, à savoir, la recherche du point le plus proche dans une sphère centrée sur le point reçu. Néanmoins, ils diffèrent dans la stratégie de parcours. La comparaison des complexités totales des deux décodeurs modifiés révèle que la stratégie de recherche du Schnorr-Euchner est plus rapide que celle du décodeur par sphères. D’où la justification de notre choix du décodeur au chapitre 3.
Chapitre 5
Réduction des réseaux de points
algébriques pour les canaux à
évanouissements rapides
Introduction
Dans le chapitre précédent nous avons étudié et comparé les décodeurs de réseaux de points, le décodeur par sphères et le Schnorr-Euchner, que nous avons modifiés pour décoder des sous-parties finies de réseau. Sachant que le décodage des réseaux de points est d’autant plus complexe que la dimension du réseau augmente, l’utilisation d’une réduction, dans le but de réduire la complexité des décodeurs de réseaux de points, s’avère intéressante. Malheureu- sement, avec un schéma classique de codage/décodage de réseaux de points, l’application de la réduction se restreint aux réseaux infinis. Cependant, il est possible, en s’appuyant sur un schéma de codage/décodage spécifique, appelé mod-Λ présenté dans [62], d’appliquer la ré- duction en considérant des sous-parties finies de réseau.
La réduction de réseau de points est un outil mathématique puissant utilisée dans diverses applications. La complexité de la réduction est d’autant plus grande que le résultat est optimal. Dans la littérature, il existe plusieurs algorithmes de réduction, parmi lesquels, nous distin- guons la réduction LLL qui offre un résultat suffisamment ”acceptable” avec une complexité polynomiale.
Le famille des codes ST en blocs algébriques à laquelle appartiennent nos codes quaternio- niques et parfaits construits au chapitre III utilisent des réseaux de points algébriques. Nous nous sommes alors proposés de construire une nouvelle méthode de réduction adaptée aux réseaux de points algébriques, satisfaisant un bon compromis performance-complexité. Nous avons traité dans un premier temps le cas des transmissions sur des canaux à évanouissements rapides utilisant, dans le but d’introduire de la diversité de modulation, un précodage algé- brique. Nous espérons généraliser ce résultat dans un futur proche aux cas des systèmes MIMO. Dans la première partie de ce chapitre, nous définirons la notion de réduction de réseau de points et nous montrerons l’utilité de son application. Nous présenterons ensuite le schéma de codage/décodage en mod-Λ. La troisième partie sera consacrée à une brève présentation
120 5.1. L ´ ´ : ´ des méthodes de réduction existantes dans la littérature. Nous présenterons notre nouvelle méthode de réduction algébrique dans la quatrième partie. La cinquième partie sera dédiée aux résultats de la réduction algébrique appliquée à des réseaux de points algébriques complexes. Nous finirons ce chapitre par la comparaison de la réduction algébrique avec la réduction LLL.