Dans le chapitre 4, nous avons évoqué la réduction de réseau de points comme un outil per- mettant d’accélérer le décodage par les décodeurs de réseaux de points, décodage par sphères et Schnorr-Euchner. Afin de confirmer ce résultat, nous avons mesuré le temps de recherche du Schnorr-Euchner avec et sans réduction.
Nous avons tracé dans la figure 5.7 le temps de recherche du décodage du réseau de points en dimension 8, par le Schnorr-Euchner avec et sans réduction, en fonction du RSB = Eb
N0 (dB).
Nous avons utilisé la réduction LLL et la réduction algébrique. Les résultats des simulations confirment le gain en temps de recherche apporté par l’application d’une réduction avant le décodage du réseau. Le gain est plus important pour les faibles et moyens RSB.
Le gain en temps de recherche apporté par la réduction algébrique par rapport à la réduction LLL, à faible et fort RSB confirme que le résultat de la réduction algébrique est meilleur que celui de la réduction LLL. 0 3 6 9 12 15 18 21 Eb/N0 (dB) 600 800 1000 1200 1400 1600
Temps de recherche en secondes
RA + SE LLL + SE SE
F. 5.7: Temps de recherche du décodage du réseau de point complexe en dimension 8 par le Schnorr-Euchner avec et sans réduction
Conclusion
La réduction de réseau de points consiste à trouver une base optimale du réseau composée de vecteurs ”les plus courts” et les ”plus orthogonaux” possibles. Dans la littérature, il existe trois méthodes de réduction de réseau de points. La plus classique et la plus utilisée est la réduction LLL qui se distingue par sa simplicité et sa complexité polynomiale.
Dans ce chapitre nous avons proposé une nouvelle méthode de réduction algébrique pour un système mono-antenne sur un canal à évanouissements rapides utilisant, dans le but d’in-
C 5. 137 troduire de la diversité de modulation, un précodage linéaire. L’utilisation du schéma de co- dage/décodage en modΛ rend l’application de la réduction possible en considérant des constel- lations finies.
La réduction algébrique suivie d’une simple détection ZF permet d’atteindre l’ordre de diversité maximal. En dimension élevée, la détection ZF s’avère insuffisante pour atteindre les performances ML. On pourrait penser que l’approximation du vecteur des amplitudes par une unité et ses conjuguées n’est plus suffisamment bonne.
Pour clore ce chapitre, nous pouvons dire que différentes améliorations restent à faire sur cette nouvelle méthode de réduction algébrique, parmi lesquelles nous citons :
– Exploiter la structure du réseau logarithmique afin de mieux le décoder
– Prouver que pour une dimension quelconque la diversité maximale est atteinte
– Appliquer la réduction à des constellations finies en utilisant le schéma de codage/décodage en modΛ
Conclusions et Perspectives
Conclusions
Dans ce mémoire, nous avons étudié le codage et décodage Espace-Temps (ST) des systèmes à antennes multiples dans le cas cohérent, considérant un canal quasi-statique non sélectif en fréquence.
Au niveau du codage ST, nous avons proposé deux nouvelles constructions de codes ST en blocs pour une longueur temporelle du code égale au nombre d’antennes à l’émission : les codes Quaternioniques et les codes Parfaits. Ces nouveaux codes se distinguent par un rendement plein, une diversité pleine et des déterminants minimaux ne s’évanouissant pas lorsque l’efficacité spectrale augmente. Nous rappelons que le gain de codage des codes ST est le déterminant minimal de la différence de deux mots de code maximisé. Les constructions effectuées sont algébriques, se basant essentiellement sur les algèbres cycliques de division de centre Q(i) et Q(j). Dans un premier temps, nous avons construit les codes Quaternioniques pour les dimensions 2, 3 et 4. Il s’est avéré que leurs performances, pour les dimensions 3 et 4, se dégradaient à cause de la répartition non uniforme de l’énergie dans le mot de code. Nous avons alors construit les codes Parfaits, palliant au problème énergétique. Ces codes ont une efficacité énergétique qui se traduit par une même énergie moyenne de transmission à chaque instant par chaque antenne émettrice, et des constellations transmisses ne présentant aucune perte de forme par rapport aux constellations émises. Les codes parfaits existent pour les dimensions 2, 3, 4 et 6. Pour la dimension 2, il existe une famille infinie de codes Parfaits. Nous avons appelé ”Golden code” le meilleur code de cette famille en terme de déterminant minimal. En s’inspirant de la construction des codes Parfaits, nous avons construit les codes parfaits rectangulaires. Ces codes se caractérisent par des longueurs temporelles supérieures au nombre d’antennes à l’émission et offrent des gains de codage plus élevés.
Par ailleurs, il a été démontré récemment que les codes ST construits sur les algèbres cy- cliques de division de centre Q(i) et Q(j), admettant des déterminants minimaux ne s’évanouis- sant pas lorsque l’efficacité spectrale augmente, atteignent le compromis gain de multiplexage- diversité. Évidemment, nous pouvons facilement conclure que nos codes Quaternioniques et Parfaits atteignent bien cette frontière multiplexage-diversité. Les codes Quaternioniques ont été les premiers codes à atteindre cette frontière.
Au niveau décodage, nous avons modifié les deux décodeurs de réseaux de points, déco- dage par sphères et Schnorr-Euchner, pour pouvoir décoder des constellations finies. Cela nous permettait, moyennant un passage à la représentation en réseaux de points des codes ST, de les
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appliquer à notre schéma de transmission. L’utilisation de ces décodeurs s’avère intéressante du fait qu’ils offrent les performances ML avec une complexité mesurée. L’étude et la comparaison des complexités des versions modifiées des deux décodeurs nous ont permis de statuer sur le décodeur à choisir, à savoir, le Schnorr-Euchner.
La réduction des réseaux de points permet l’accélération de leur décodage en leur offrant une meilleure base composée de vecteurs les ”plus courts” et les ”plus orthogonaux” possibles. En utilisant le schéma de codage/décodage en mod-Λ, l’application de la réduction devient possible en considérant des constellations finies. Nous avons proposé une nouvelle méthode de réduction algébrique pour un système mono-antenne sur un canal à évanouissements ra- pides utilisant un précodage linéaire. La réduction algébrique suivie d’une simple détection ZF permet d’atteindre l’ordre de diversité maximal. De plus, sa complexité est très raisonnable favorisant ainsi son implémentation pratique.
Perspectives
Plusieurs améliorations peuvent être apportées à la réduction algébrique afin d’optimiser ses performances et réduire sa complexité. D’un côté, les performances de la réduction sont étroite- ment liées à la finesse de l’approximation des évanouissements normalisés par une unité et ses conjugués, d’un autre côté, la qualité de l’approximation ne dépend que des caractéristiques du réseau logarithmique. Cela laisse à penser qu’en choisissant le réseau logarithmique selon des critères bien choisis, nous pouvons améliorer les performances de la réduction algébrique. Par ailleurs, en analysant en profondeur les exemples des réseaux logarithmiques proposés dans ce mémoire, nous remarquons l’existence d’une structure circulaire entre les lignes de la matrice génératrice. L’exploitation d’une éventuelle structure du réseau logarithmique pourrait aider à accélérer son décodage et ainsi accélérer la réduction elle même. Le point le plus important qui reste à traiter demeure la généralisation de la réduction algébrique pour le cas des systèmes à antennes multiples employant un codage ST algébrique en blocs.
Des codes rectangulaires cohérents ont déjà été utilisés dans les systèmes MIMO non cohé- rents [71]. Les bonnes propriétés des codes parfaits laissent envisager de bonnes performances pour leur version non cohérente.
Actuellement, il y a un regain d’intérêt dans la communauté ”Théorie de l’information” pour les couches autres que la couche physique (”cross-layers”) sur les systèmes sans fil. Le compromis ”multiplexage-diversité” est un moyen assez simple d’étudier les limites de tels systèmes. On peut citer des applications au canal à accès multiple [72], à l’ARQ [73] ou aux communications avec relai [74]. On sait que ce compromis peut être atteint sur le canal MIMO soit par des codes longs [75] soit par nos codes (codes quaternioniques et parfaits). Nous pensons que les méthodes utilisées dans nos constructions peuvent être étendue à ces cas.
Annexes
Annexe A
Rappels de théorie des corps de classe
Plusieurs notions issues de la théorie des corps de classe (Class field theory) sont essentielles pour établir les résultats des démonstrations des différentes annexes. Parmi ces notions nous citons : la valuation, les nombres p-adiques et le symbole de norme de Hasse (”Hasse Norm Symbol”) et ses propriétés.
A.1 La Valuation
Soit un corps K. Une valuation dans K à valeur dans un groupe abélien G (généralement égal à Zou R), est une application :
v: K → G ∪ {∞}
vérifiant les propriétés suivantes, pour tout a,b ∈ K : 1. v(0) = ∞
2. v(ab) = v(a) + v(b) (équivalent à dire que v est un homomorphisme de groupe)
3. v(a + b) ≥ min{v(a),v(b)}, il y a égalité si v(a) , v(b) (c’est une translation de l’inégalité triangulaire dans les espaces métriques)
On appelle anneau de valuation :
A ={a ∈ K∗| v(a) ≥ 0} ∪ {0}