ComPARAiSon AvEC D’AuTRES PAyS EuRoPéEnS

Elasticidade, Plasticidade e Reologia

Capítulo

10

10-1 Introdução

Recordaremos neste capítulo, alguns conceitos e princípios básicos sobre tensões e deformações, elasticidade, plasticidade e reologia, utilizados em Mecânica dos Solos, não obstante, como é sabido, o real comportamento dos solos crie restrições às suas aplicações.

Referir-nos-emos a meios cont(nuos, deformáveis, homogêneos e isótropos.

De maneira mais ampla e unificada, os estudos dos esforços que se manifestam no interior dos sólidos, líquidos e gases e as correspondentes deformações ou fluxos destes materiais, pertencem

à

chamada Mecânica dos meios conttnuos * .

10-2 Tensões

Conceitos fundamentais - Os esforços que solicitam um maciço - provenientes

do seu peso próprio, da carga de uma estrutura ou da ação de um veículo - produzem tensões na totalidade dos seus pontos (ou de suas partículas).

Para um ponto O de uma determinada seção plana S de um corpo (Fig. 1 0- 1), distinguem-se a tensão r que atua na seção (tensão tangencial ou de cisalhamento) e a

que lhe é normal a (tensão normal, que pode ser de tração ou compressão).

Para o ponto O numa seção no plano xOy, a Fig. 1 0-2 mostra-nos as componen­ tes . da tensão de cisalhamento; o primeiro índice denota a direção da normal ao plano em que atua a tensão e, o segundo, corresponde ao eixo em que é dirigida a tensão.

"""E'CSÕES E DE FORMAÇÕES 1 13

z

Fig. 10-1

z

1' ,-- / s y (

\

y o

,,/

_ _ _ _ _ ., Fig. 10-2

Estado triplo de tensão. Como se sabe, o estado de tensão em torno de um ponto O (Fig. 1 0-3) de um maciço terroso fica perfeitamente caracterizado quando se conhecem as tensões que atuam em três planos que formam um triedro triretângulo de vértice em O.

De fato, considerando-se um quarto plano, a uma distância h do ponto O, tomada sobre a normal n ao

Fig. 10-3

v

plano, quando fizermos h --* O, o tetraedro torna-se

infinitesimal e os quatro planos passarão por O.

Se chamarmos de Pnx , Pny e Pnz as componentes da resultante Pn que atua sobre a face inclinada, e escre­ vermos as condições de equihbrio das forças para cada direção x, y e z obtemos:

{ Pnz = Uz c

os

(n, x)

+

Tyz

cos (n, y) + Tzz

c

os (n, z)

(I)

Pnu

=

Tzv

cos (n,

x)

+ (1'11 cos (n, y) + T1.11

c

os (n, z)

Pn•

= T:n

c

os

(n, x)

+

Tvz

cos (n, y) + u.

c

os (n, z)

:c. sob a forma matricial:

[Pnz] [Uz Tyz Tn] [c

os (n,

x)]

Pnll

=

Tzy (fy T zy

COS

(n,

y)

Pn•

Tzz Tyz (f,

cos

(n, z)

Fundamentos matemdticos: os tensores - Na Física e suas aplicações encontramos �dezas chamadas escalares - como a densidade e a temperatura de um corpo - , do­ :l::.as somente de um valor numérico e, portanto, caracterizadas apenas por um número

:=

=

1); grandezas vetoriais - como uma velocidade e uma força - , que dependem dos

!".:!.OS de referência e, assim, necessitam de três componentes (31 = 3) para especificá-las

1 1 4 MECANICA DOS SOLOS

defini-las. Tais grandezas, expressas sob a forma de matrizes e que carecem de uma inter­ pretação geométrica simples, traduzem relações físicas sob uma forma intrínseca, por­ tanto. independentemente dos eixos de referência. Matematicamente é um ente que satisfaz certa lei de transformação. (Veja-se, por exemplo, nossa "Matemática para �

Engenharia".)

No estudo das tensões é de interesse conhecer que todo tensor definido por um<t matriz simétrica

pode ser decomposto em dois outros:

1,. f I �

lu

(22

tm

'" J

t23 la a - t,.

com t ... Simbolicamente:

[T]

=

_{[T .. ] + [Ta,]}

onde [Tesl é denominado tensor esférico (as componentes da diagonal são iguais a tm e

todas as outras são nulas) e [Tas] é o tensor antiesférico (tensor simétrico, sendo nula a soma das componentes da diagonal principal).

Pode-se também escrever:

[T] = tm o;; + [T

••

]

com tiii o "delta de Kronecker".

Tensor das tensões -Por meio das relações (I) verifica-se que o estado de tensãc em um ponto fica caracterizado pelas nove componentes ax , . . . Txy • . . . ou, err. outras palavras, pela grandeza

-"ENSÕES E DEFORMAÇÕES 1 1 5 �

Sabe-se que esse tensor é simétrico, pois entre as tensões tangenciais, escrevendo-se

.:.s equações de "equihbrio de momentos", obtém-se as relações (Fig. 1 0-4) :

: que reduz a seis o número de componentes necessárias para definir o estado de tensão

=:n um ponto.

z

Fig. 10.4 Fig. 10-5

Tensões principais

-

São de particular interesse em Mecânica dos Solos as chamadas

:ensões principais. (Definida como a tensão normal sobre um plano onde não há tensão

.k cisalhamento.) são:

Se o plano ABC é principal (Fig. 1 0-5) e an é a tensão principal, suas componentes

{

p,.., = u,. cos

(n,

x)

Pn11 = Un COS

(n,

y) . Pn• = u,. cos

(n, z)

Substituindo em (1), vem:

f

(u., - un) cos

(n, x)

+ Ty., cos

(n,

y) + _1',., cos

(n, z)

=

O

Tx11 cos (n,

x)

₊ (uy - u,.) cos

(n,

y) + Ta11 cos (n,

z)

=

O

T.,. cos

(n,

x) _{+ T11, cos (n, y)} + (u, -

CT,.)

cos

(n, z)

=

O.

Tendo em vista a conhecida relação entre co-senos diretores:

cos2 (n, x) + co

s

2

(n,

_y) + cos2

(n, z)

= 1

�rifica-se que cos (n, x), cos (n , y) e cos (n, z) não podem ser todos iguais a zero. Assim, :onclui-se pela regra de Cramer, que :

Ux - Un Txu

Txu U11 - CTn

1 16 M ECÂNICA DOS SOLOS

Desenvolvendo o detenninante obtém-se a relação abaixo, chamada equação ca­ racten'stica:

com:

li = t1z; + _(1''11 + _(1,

Ia =

tTz; Trt� tT11 Tp T:ey Tu T zz Tv: tT:

Porque /1 , /2 e /3 independem dos co-senos diretores e, portanto, independem dos eixos coordenados, eles são chamados invariantes das tens6es.

As três ra(zes da equação característica <P (an) = O são as tensões principais a1 , a2 e a3 •

Quando referido a eixos dirigidos segundo a1 , a2 e a3 o tem1or representativo das

tensões torna-se simplesmente:

uma vez que os r são nulos.

Em termos de tensões principais, as expressões dos invariantes reduzem-se a:

Jl = (1'1 + q2 + (1'3

lz =

U1t1'2 + U1Ua + tT'f!I3 13

=

t1'1tT:fTz

Sobre três planos perpendiculares quaisquer, como /1 = ax + ay

+

az , conclui-se que /1 é constante e igual à soma das três tensões principais.

Quando a2 = a3 = O (estado simples de tensão, Fig. 1 0-6) o tensor reduz-se a:

[

(1'1 _o

o o

o o

�]

-eNSOES E DEFORMAÇ0ES

Fig. l� o

1

o

indicando-se o tensor unitário pelo delta de Kronecker:

ô . .

{ ₌

1 para i = j

'J ₌ O _{para i ;t.}

j

1 1 7

�]

Tensões octaédricas. De grande importância, também, são as chamadas "tensões octaédricas"

(

a0ct. • r0ct), ou sejam as tensões que ocorrem nas faces do octaedro regular que tem por diagonais as direções principais do estado triplo de tensão considerado (Fig. 1 0-7).

1 1 8 MECÂNICA DOS SOLOS

Como se demonstra, o valor da tensão octat!drica normal é dado por: 1

O'"oct. =

3

(u, + 0'"2 + 0'"3)

e o da tensão octaédrica tangencial:

ou, ainda, por:

'T oct. =

V

(u, - 0'"2)2 + (0'"2 - 0'"3)2 + (u,

-

0'"3)2

1 O'"oct. =

3 /1

Ei•o hidroatCÍtico _{_}

_Fz

_{1 2 _}

_3/

l5�t

_.--

'T oct

.

. - 3 1 • 2 ___. em função dos invariantes.

<i0ct Exemplo - Para um ponto específico de um maci-

�

ço, o estado de tensões é definido por

lr3 Fig. 1 0-8 6 1 0 3

;]

kg/cm2 14

Determinar o valor das tensões octaédricas.

donde : Tem-se que: J, 1 2 + 1 0 + 14 = 36 /2 1 2 x l 0 + 1 2 x 14 + 1 0 x 14 - 62 - 92 - 32 = 302 36 a0ct =

-

=

12 kg/cm2 3 r _oct

V"f V

362 - 3 X 302 3 9,3 1 kg/cm2

No espaço de Haigh-Westergaard (Fig. 1 0-8) a reta passando pela origem e fazendo ângulos iguais

(a

= are cos os eixos coordenados, representa um estado hi­

drostático (eixo hidrostático) de tensão: a1

=

a2

=

a3 = w. A tensão octaédrica norma:

situa-se sobre o eixo hidrostático, e a tangencial lhe é perpendicular.

Com a introdução dos conceitos de invariante linear /1 e de tensão octaédrica normal:

= rr.,

+ u11 + u. =

_!_

J, O'"�t

-a.ISOES E DEFORMAÇ0ES 1 1 9 : :ensor das tensões se decompõe em:

.. �.J

�:q>ressões, respectivamente , dos tensores esférico e antiesférico.

Quando

.:aso do ensaio de compressão triaxial, este tensor escreve-se, tendo em vista a clássica decomposição vista, com

[:·

o O" r o ' O".,. o o

=

o

J

O", o 0"1

+ 2u,

3 o

j + (u, -

1 o 2 _{o o} - 3 1 (T

,

) o ₃ o o o - -1 3

onde, o primeiro é um tensor esférico definindo uma tensão hidrostática de intensidade 11 + 2ar

3 (a1 - ar)·

e o segundo um tensor antiesférico caracterizado pelo desvio de tensões

Para um estado hidrostático puro de tensão (a1 = a2 = a3 = w , isto é, pressão

uniforme em todas as direções) , como vimos o tensor se reduz a:

WÓii

=

O"oet. Óii

A

pois nesse caso w = aoct.

Estado plano de tensão - Muitos proble-

mas que envolvem maciços terrosos permitem

_Flg.

_{10_9} considerar apenas a3 e a1 , reduzindo-os, assim,

a problemas planos. Nessas condições, estabeceremos as equações de equilíbrio que se seguem.

A Fig. 1 0-9 representa um ponto O dentro de uma massa sujeita a esforços, com

OA o traço do plano principal maior e OB o do piano principal menor. Vejamos como determinar as tensões a e T sobre qualquer plano normal à figura e defmido por sua inclinação a em relação ao plano principal maior.

1 20 _{MECÂNICA DOS SOLOS}

Considerando OAB como um elemento infinitesimal, e tendo em vista as indicaçõei dadas na Fig. 10-10, escrevamos as equações de equihbrio dessas forças.

e,

-�

ID(ós

/ 1

\ _/

Fig. 10-10

Tem-se, assim, respectivamente, n as direções

normal

e tangencial à AB:

T · ds = CT1 · ds · sen a cos a - CTa · ds · sen a cos a

ou, simplificando:

e,

1

+

cos

2a

1 - cos

Dans le document Forward-looking report of the electricity supply-demand balance in France. 2011 (Page 19-0)