Comparaison entre théorie et résultats expérimentaux

V.1.3.1 Connexion entre théorie et expérience

Cette section est dévouée à comparer les résultats expérimentaux et théoriques. Dans un premier temps, les paramètres théoriques comme 𝐼𝑗= (𝑅𝑗⁄ )𝛾 2 et Γ doivent être

connectés à ceux utilisés expérimentalement. En particulier, durant la dérivation des expressions (V.36) et (V.37), nous avons considéré que les deux sous-niveaux de l’état fondamental dans le schéma simple−Λ avaient une population initiale égale à 1 2⁄ . Dans le cas d’un atome alcalin réel, on doit multiplier (V.36) et (V.37) par un coefficient 𝛼 défini comme :

𝛼 = (𝐹𝑔1+ 𝐹𝑔2+ 1)−1 (V.38)

avec 𝐹𝑔1,𝑔2 le moment angulaire total des niveaux hyperfins dans l’état fondamental.

Pour le 133𝐶𝑠, nous avons 𝛼 = 1 8⁄ .

Dans notre expérience, la résonance CPT est détectée en mesurant la puissance lumineuse transmise à travers la cellule. Avec l’aide des équations de Maxwell, l’intensité lumineuse transmise peut être écrite comme :

𝐽𝐿(Δ𝑅) = 𝐽0exp [ − ∫ 𝜂(𝐽(𝑧))𝑑𝑧 𝐿

0

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V.1 Expression analytique des paramètres de la résonance CPT dans une cellule Cs sans gaz

tampon

avec 𝐽0 l’intensité du faisceau laser incident, 𝐽𝐿 l’intensité à la sortie de la cellule et 𝐿

la longueur de cellule. La fonction 𝜂(𝑧) est l’indice d’absorption par unité de longueur. Comme mentionné dans l’introduction, le milieu est considéré comme optiquement mince. Dans ce cas-là, l’indice d’absorption est assez petit. De plus, ce dernier ne dépend pas significativement de la coordonnée en z. Ici, cette dépendance est négligée. On peut donc écrire :

𝐽𝐿(Δ𝑅) ≈ 𝐽0(1 − ηL) = 𝐽0(1 − σnL) (V.40)

avec 𝜎 la section efficace d’absorption et 𝑛 la densité atomique dans la cellule. Les équations optiques de Bloch mènent à :

𝜎 =2𝜋𝑐ℏ𝛾

𝜆

〈𝑊̃ 〉𝜐(𝐽0)

𝐽0

(V.41)

avec 𝑐 la vitesse de la lumière et ℏ = ℎ (2𝜋)⁄ avec ℎ la constante de Planck et 𝑊̃ Λ

extrait de (V.26).

L’amplitude de la résonance CPT 𝐴̃𝑇 observée dans le signal transmis 𝐽𝐿(Δ𝑅) est

déterminée par l’expression :

𝐴̃𝑇 = 𝐽0𝑛𝐿(𝜎𝑚𝑎𝑥− 𝜎0) (V.42)

Ici, 𝜎0 est la section efficace au centre de la résonance (Δ𝑅 = 0), 𝜎𝑚𝑎𝑥 correspond au

niveau maximum de l’absorption de la lumière et définit un large fond en forme de piédestal de la résonance noire.

En mélangeant les solutions approximées (V.37), les expressions (V.41) et (V.42) avec (V.32) et (V.38), on trouve : 𝐴̃𝑇 = 2𝜋𝛼𝑐ℏ𝛾𝑛𝐿 𝜆𝑥0(1 − 𝛽) (1 − √1 − 𝛽 2 ) √𝜋Γ𝐼̃ (V.43)

L’intensité expérimentale 𝐽 est définie à partir de l’intensité 𝐼 utilisée dans la théorie telle que : 𝐼 ≡ (𝑅 𝛾) 2 = 𝐽 8𝐽𝑠 Ψ (V.44)

où 𝐽𝑠 est l’intensité de saturation déterminée ici comme ceci [223] :

𝐽𝑠=

2𝜋2_ℏ𝑐𝛾

3𝜆3 (V.45)

Pour la raie 𝐷1du 𝐶𝑠, on obtient 𝐽𝑠= 0,79 𝑚𝑊 𝑐𝑚⁄ 2. Le paramètre Ψ contient les

informations sur la force relative d’une transition dipolaire |𝐹_𝑔, 𝑚𝑔⟩ → |𝐹𝑒, 𝑚𝑒⟩ avec 𝑚𝑔,𝑒 les

nombres magnétiques quantiques de l’état fondamental (𝑔) et excité (𝑒) (voir la figure V-5) : Ψ = (2𝐽_𝑒+ 1)(2𝐹𝑔+ 1)(2𝐹𝑒+ 1) ( 𝐹𝑒 1 𝐹𝑔 −𝑚𝑒 1 𝑚𝑔) 2 {_𝐹𝐽𝑒 𝐹𝑒 𝐼𝑛 𝑔 𝐽𝑔 1 } 2 (V.46)

où 𝐼𝑛 est le spin nucléaire. 𝐽𝑔, 𝐽𝑒 sont les moments angulaires totaux des électrons

pour les niveaux fondamental et excité, respectivement. Puisque la configuration d’excitation 𝜎+𝜎+ est étudiée, nous avons pris 𝑞 = 1 dans (V.46), avec 𝑞 la composante de polarisation

de la lumière dans la base circulaire (en général 𝑞 = ±1, 0). Les notations standards (…) et {…} pour les symboles 3𝑗𝑚 − et 6𝑗 − sont utilisés [224].

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V.1 Expression analytique des paramètres de la résonance CPT dans une cellule Cs sans gaz

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La figure V-5 montre la structure partielle des niveaux d’énergie de la raie 𝐷1 du 𝐶𝑠

(𝐹𝑒= 4).

Figure V-5 : Représentation partielle des niveaux d’énergie de la raie 𝐷1 du 𝐶𝑠 (pas à l’échelle) Le champ magnétique est activé. Les nombres correspondent aux nombres quantiques m. Les flèches solides dénotent les transitions induites par la lumière 𝜎+_{. Les autres flèches montrent les}

trois possibilités de décohérence spontanée avec les rapports de ramification correspondants 𝛽. 𝑅1,2 sont les fréquences de Rabi pour les deux bras du système simple-𝛬 ouvert.

On a Ψ = 5 24⁄ pour les deux transitions induites dans le schéma simple−Λ de la figure V-5. De plus, comme déjà considéré au-dessus, 𝐼1= 𝐼2 ≡ 𝐼. L’intensité totale du

champ lumineux est 𝐼𝑡 = 2𝐼 (𝐽𝑡 = 2𝐽). L’expression (V.46) coïncide avec le rapport de

ramification effectif pour une simple transition du schéma simple−Λ. Les rapports d’embranchement pour les deux transitions de ce schéma sont égaux 𝛽1= 𝛽2= 5 24⁄ . Les

expressions (V.43) à (V.45) mènent à une loi de dépendance en racine carrée de l’amplitude de la résonance CPT d’intensité 𝐽 telle que :

𝐴̃ = T 3𝛼𝜆2𝑛𝐿 4𝑥0 (√ 2 1 − 𝛽− 1) × √ ΨΓ̃𝐽𝑠 2𝜋(1 − 𝛽)𝐽𝑡 (V.47)

Figure V-6 : Dispositif expérimental pour la spectroscopie CPT en microcellule. DFB: Distributed Feedback laser, EOM: Modulateur electro-optique Mach-Zehnder. AOM: Modulateur

Acousto-Optique. RF: Synthèse Radiofréquence. Phd : Photodiode. LO : Oscillateur Local.

V.1.3.2 Description du montage expérimental

Nous avons mis en place un montage expérimental pour faire de la spectroscopie CPT dans une cellule de Cs micro-fabriquée.

Le dispositif expérimental pour faire de la spectroscopie CPT est proche de celui décrit dans le chapitre III de ce manuscrit. Cependant, les atomes interagissent ici avec un

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V.1 Expression analytique des paramètres de la résonance CPT dans une cellule Cs sans gaz

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champ lumineux de polarisation circulaire. La lumière est transmise dans une cellule micro- fabriquée dont la technologie est décrite dans [115]. Le diamètre de la microcellule est de 2 mm et sa longueur est de 1,4 mm [225]. La cellule est remplie de vapeur de césium sans gaz tampon. La température de la cellule est stabilisée à 75°C. A partir des profils d’absorption linéaire, la densité atomique est estimée à environ 1,2 1012 _at.cm3_{. A cette température,}

l’absorption optique est mesurée à environ 40%, correspondant à une densité optique non négligeable. Le faisceau laser arrivant sur la cellule à un diamètre de 1,21 mm, mesuré en utilisant un beam profiler. Un champ magnétique de 10,4 G est appliqué dans le but de bien séparer les transitions Zeeman et isoler la transition 0-0. Durant l’expérience, la fréquence laser est connectée au niveau excité 𝐹𝑒= 4. La fréquence du synthétiseur de fréquence

microonde est balayée sur quelque MHz pour détecter la résonance CPT dans le fond du spectre d’absorption du Cs. Une fois enregistrée, la résonance CPT est approximée par une fonction lorentzienne pour en extraire les caractéristiques principales (largeur à mi-hauteur et amplitude). De telles mesures ont été faites pour une large gamme d’intensité laser allant jusqu’à 60 mW/cm2_.

Figure V-7 : Signal CPT typique pour une microcellule de Cs sans gaz tampon. Courbes obtenue pour différentes température de la microcellule (40 °C, 50 °C, 60°C). Extrait de [10]

V.1.3.3 Résultats expérimentaux et comparaison avec la théorie

La figure V-7 présente un spectre CPT typique enregistré pour cette expérience. La figure V-8 trace l’évolution de l’amplitude CPT en fonction de l’intensité laser, dans le cas d’un schéma de polarisation circulaire.

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V.1 Expression analytique des paramètres de la résonance CPT dans une cellule Cs sans gaz

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Figure V-8 : Amplitude de la résonance CPT en fonction de l’intensité laser totale 𝐽𝑡 du champ laser. Comparaison entre les courbes théoriques et expérimentales (carrés noirs). La courbe solide

orange est obtenue pour les calculs numériques basés sur les équations (V.26) et (V.10). La constante de relaxation du temps de vol est prise comme 𝛤 = 0,006𝛾. La ligne en pointillé noire

montre le résultat de l’expression analytique reportée dans (V.47).

Les résultats expérimentaux sont comparés avec les résultats théoriques extraits des résultats analytiques et des simulations numériques. Les calculs numériques sont en accord correct avec les données expérimentales. L’accord entre les formules analytiques et les données expérimentales est moins satisfaisant. Plusieurs raisons peuvent expliquer ce désaccord. La première suggestion est que l’épaisseur optique du milieu n’est pas négligeable dans notre test expérimental. Le milieu ne peut être complétement considéré comme un milieu optiquement mince comme supposé dans la section théorique. La seconde suggestion et certainement la plus pertinente est que les calculs a priori de la valeur appropriée pour la constante de relaxation du temps de vol Γ sont difficiles. En effet, notre théorie repose sur les approches théoriques standard des constantes de relaxation, souvent utilisées pour obtenir des résultats analytiques [206], [207]. Cependant, strictement parlant, la validité de ces approches est plus grande pour des faisceaux lumineux avec un diamètre suffisamment grand et montrant un profil d’intensité rectangulaire. Dans ce dernier cas, la constante Γ peut être estimée sur la base d’expressions bien connues (voir [223]). Des résultats acceptables peuvent être aussi obtenus dans le cas d’un paramètre de saturation de temps de vol petit [220]. Aussi, il est bien connu que dans le cas général, l’approche des constantes de relaxation peut démontrer une divergence significative avec les observations expérimentales ou avec des calculs numériques précis prenant en compte l’effet du temps de transit pour une distribution d’intensité laser transverse réelle [215], [226]. Ce problème peut être réellement pertinent dans le cas où un faisceau gaussien de faible diamètre est utilisé, ce qui est le cas dans notre expérience. Notre situation est même encore plus compliquée en raison de l’utilisation d’une cellule miniature, ne nous permettant pas d’utiliser un faisceau laser de fort diamètre. Dans ces conditions, la supposition prise en compte dans la partie théorique stipulant que l’élargissement lumineux est la contribution dominante peut être faussée, dû à l’interaction avec un faisceau de largeur finie. Cette réalité explique pourquoi la divergence relative entre la courbe pointillée et les carrés noirs de la figure V-8 est plus importante à faible intensité laser qu’à haute intensité. Néanmoins, on considère que l’accord entre la théorie et les données expérimentales est correct. Ainsi l’expression analytique (V.47) peut être utilisée pour estimer l’amplitude de la résonance CPT en

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