Le dimensionnement par optimisation, peut être effectué selon quatre procédures différentes [5,6] :
1- Dimensionnement optimisé d’une structure en utilisant un modèle numérique associé à un algorithme déterministe : Ce genre d’approches est très lourd car il faut évaluer les dérivées partielles numériquement ; l’approche est très coûteuse en terme de temps de calcul et la convergence n’est pas toujours facile surtout si l’on veut prendre en compte beaucoup de paramètres. De plus, le temps de développement est long car il n’existe pas d’outils génériques qui formalisent cette approche. La méthode semble donc assez peu efficace, car :
a- elle demande beaucoup d’investissement en temps de développement ; d’autre part, il faut développer une procédure pour trouver un point initial et programmer le logiciel (ou établir un code de calcul) qui lie un algorithme du gradient à un modèle numérique ;
b- le temps d’obtention de la solution est long du fait du nombre de calculs numériques à effectuer et ce d’autant plus que l’on veut obtenir une solution globale et plus précise ;
c- la qualité de la solution n’est pas toujours satisfaisante car le modèle ne tient pas compte de tous les phénomènes physiques, donc toutes les contraintes n’interagissent pas ensemble ; par exemple on peut trouver une machine électrique optimale de point de vue rendement ou facteur de puissance, mais dont les échauffements sont excessifs et ne respectent pas les contraintes thermiques, si la modélisation thermique n’intervient pas.
2- Dimensionnement optimisé d’une structure en utilisant un modèle numérique associé à un algorithme stochastique : Cette approche est moins lourde que la précédente en terme de temps de développement et de calcul, car elle ne nécessite pas le calcul des dérivées partielles. Ainsi, on peut utiliser facilement un outil générique déjà existant pour la modélisation numérique et le lier à un algorithme d’optimisation disponible dans des bibliothèques de procédures déjà programmées, ce qui permet de réduire les temps de développement. Ceci étant, il reste à signaler les inconvénients suivants :
a- le temps de calcul reste toujours long à cause du nombre important d’analyses par le modèle numérique surtout si l’on considère beaucoup de paramètres ;
b- la précision de la solution est incertaine à cause de la nature de la méthode d’optimisation et il est difficile de prendre en compte la diversité physique des contraintes.
3- Dimensionnement optimisé d’une structure en utilisant un modèle analytique associé à un algorithme stochastique : Cette approche permet d’utiliser un modèle décrivant le système dans sa globalité ce qui permet de tenir compte de toutes les contraintes du cahier des charges simultanément. Le temps de développement est essentiellement limité par l’obtention d’un modèle analytique complet du système à dimensionner, tâche qui doit être répétée pour chaque nouvelle structure. De plus, l’utilisation des algorithmes stochastiques demande beaucoup d’analyses par le modèle dans la recherche d’une solution ; la convergence reste donc longue même si elle est plus courte qu’avec les modèles numériques, ce qui autorise à tenir compte de plus de paramètres. L’efficacité est donc améliorée à la fois en temps de calcul et au niveau de la cohérence de la solution avec les contraintes du cahier des charges.
4- Dimensionnement optimisé d’une structure en utilisant un modèle analytique associé à un algorithme déterministe : Dans cette approche, le temps de développement concerne surtout, outre l’obtention du modèle, le calcul de toutes les dérivées partielles. Lorsque le problème est grand (ce qui est nécessairement le cas si on veut modéliser tous les phénomènes physiques d’un système), le nombre de dérivées partielles devient extrêmement important. On peut surmonter ce problème, en renonçant à l’expression symbolique des dérivées partielles et les calculer numériquement, mais cela limite la rapidité d’obtention des solutions et surtout crée des problèmes numériques qui empêchent parfois la convergence ; au total la méthode serait plutôt lente et imprécise. Ou bien, on
automatise le calcul des dérivées partielles à l’aide d’un logiciel de calcul symbolique. On dispose alors des dérivées partielles exactes, ce qui permet d’utiliser toute la puissance des algorithmes déterministes de descente (c'est-à-dire la rapidité et la précision de convergence). De plus ces opérations mathématiques ne dépendent pas de la nature physique des équations et elles ont donc un caractère générique.
En résumé, les méthodes d'exploration traditionnelles, déterministes ou énumératives, ne sont pas efficaces pour tout type de problème. Lorsqu'on veut résoudre un problème difficile, dès que la dimension du problème est grande, ces méthodes peuvent avoir des temps de calcul déraisonnables et/ou convergent à un minimum local. On a alors recours aux méthodes stochastiques, ou aux méthodes hybrides pour remédier surtout au problème de piégeage dans un minimum local.
On conclut aussi, que c’est l’approche regroupant les modèles analytiques et les méthodes déterministes de descente combinées aux méthodes stochastiques (méthodes hybrides), qui se montre la plus efficace car [5],[6] :
1- le temps de développement est limité à l’obtention d’un modèle analytique de la structure, le reste des développements informatiques étant pris en charge automatiquement par des procédures qu’on peut trouver dans la bibliothèque de la majorité des compilateurs ou des logiciels de calcul mathématique en général ;
2- la qualité de la solution dépend essentiellement de celle de la modélisation qui doit être la plus large et la plus précise que possible pour tenir compte correctement de tous les phénomènes physiques.
En ce qui concerne, les limites de cette approche, elles sont celles des modèles analytiques et des algorithmes de descente, à savoir [5],[6] :
1- il est nécessaire de pouvoir décrire tout le système par un modèle analytique et ceci n’est pas toujours aisé ;
2- il faut disposer d’une variété assez diversifiée de points de départ, ce qui est réalisable en utilisant des algorithmes stochastiques par exemple ;
3- l’algorithme de descente peut être piégé dans un optimum relatif et il ne sait pas gérer les paramètres discrets (on peut par exemple converger vers une solution où le nombre de pôles d’une machine électrique vaut un nombre non entier). L’une des solutions qui permet de pallier ce problème, consiste à commencer l’optimisation avec des méthodes stochastiques qui gèrent les paramètres discrets et évitent les extremums relatifs puis de finir avec une méthode déterministe de descente en fixant les paramètres discrets ; on y perdrait en temps de calcul mais on y gagnerait en précision de la solution.
I.9- CONCLUSION
On a procédé dans ce chapitre à une description du processus de conception qu’on a décomposé en deux étapes, la définition d’une structure et son dimensionnement. On a passé en revue les principales méthodes (permettant le dimensionnement optimisé d’une structure donnée), qui sont constituées d’un outil d’analyse et d’un algorithme d’optimisation. On a aussi présenté d’une part, les deux types d’outil d’analyse (les modèles analytiques et les modèles numériques) et d’une autre part les différents algorithmes d’optimisation (méthodes déterministes, stochastiques et hybrides) utilisées pour établir un outil de la CAO optimisée des dispositifs électrotechniques de façon générale. On a également présenté une comparaison des différentes méthodologies de dimensionnement utilisant une procédure d’optimisation déterministe ou stochastique basée sur des modèles analytiques ou numériques.
Ce chapitre, plutôt abstrait, représente finalement l’état d’art de la CAO optimisée des dispositifs de façon générale. Les deux chapitres suivants de ce travail de thèse, feront l’objet de modélisations analytique et numérique, respectivement, d’une structure spéciale des machines électriques, à savoir le moteur linéaire à induction qu’on va prendre comme exemple d’application dans le reste de ce travail. L’objectif final c’est d’établir une CAO optimisée de cet actionneur en utilisant quelques méthodes d’optimisation appartenant aux différentes catégories précitées.