Comparaison entre différentes conditions aux limites

Différentes conditions aux limites impliquent différentes microstructures (par exemple la condition de symétrie implique une structure répétitive suivant la direction normale), et peuvent donc donner lieu à des modules d'élasticité effectifs différents. Afin d!étudier l!influence de la condition aux limites utilisée sur les arêtes latérales, des conditions de liberté, de symétrie et de périodicité ont été appliquées pour la modélisation 2D et la modélisation 3D. Les modélisations 2D ont été réalisées à la fois avec des images MEB réelles et des coupes d!une image 3D artificielle (300·300 pixels). Dans la mesure où le problème 3D consomme beaucoup plus de RAM, les calculs 3D ont été réalisés uniquement à partir d'une image artificielle 3D plus petite, présentant une taille de 150·150·100 voxels, comme montré sur la Figure 4.17.

l!utilisation de conditions aux limites contraignantes (symétrie ou périodicité) mène à un module d!élasticité effectif calculé plus élevé que la condition de liberté. Pour la micrographie réelle, l'augmentation du module effectif vertical est de 8% et 12% pour les conditions symétriques et périodiques respectivement. De même, les valeurs correspondantes augmentent de 5% et 15% pour la direction horizontale. En ce qui concerne la structure artificielle, les incréments correspondants sont de 6% et 11% pour la direction verticale et de 10% et 13% pour la direction horizontale pour les conditions symétriques et périodiques, respectivement. La valeur obtenue avec la condition de périodicité est la plus élevée pour les deux structures et la plus proche de la valeur expérimentale parmi les trois conditions aux limites. Ce résultat tendrait à indiquer que la condition aux limites de périodicité est peut-être la plus appropriée pour les revêtements. Néanmoins, elle est illogique dans la mesure où il n!y a pas de continuité du réseau poreux entre l!arête droite et l!arête gauche du revêtement sur l!image. Ce point est d!ailleurs sûrement à l!origine de l!augmentation du module d!élasticité notée avec cette hypothèse. En effet, elle implique une rupture quasi assurée de toutes les fissures au niveau des arêtes latérales, ce qui contribue à renforcer la rigidité du matériau.

En ce qui concerne la modélisation 3D, les différences de modules d!élasticité effectifs calculés avec les trois conditions semblent beaucoup plus faibles en relatif. La plus grande différence se produit entre les modules horizontaux calculés avec la condition de liberté (122 GPa) et la condition de symétrie (131 GPa). Ainsi, la différence n'est que de 5% relativement à la première valeur. Les résultats obtenus avec les conditions de liberté et de périodicité sont approximativement égaux suivant la direction horizontale et présentent une différence inférieure à 3% pour la direction verticale. Compte-tenu de l'augmentation du temps de calcul et de la mémoire vive pour la condition de périodicité au niveau des limites latérales (et des commentaires indiqués précédemment), la condition de liberté peut représenter une alternative intéressante.

Tableau 4-5 : Influence des conditions aux limites sur les modules d'élasticité effectifs calculés sur deux structures et par modélisations 2D et 3D. L'écart-type est indiqué entre parenthèses.

Conditions aux limites

Modules d'élasticité effectifs, GPa Revêtement réel Structure artificielle

Modélisation 2D Modélisation 2D Modélisation 3D Horizontal Vertical Horizontal Vertical Horizontal Vertical Libre 19 (3) 25 (2) 31 (3) 47 (5) 124 119 Symétrie 20 (3) 27 (2) 34 (2) 50 (5) 131 116 Périodicité 22 (2) 28 (2) 35 (2) 52 (4) 124 122

Figure 4.17 : Exemple d!image 3D artificielle.

4.3.7 Comparaison entre modélisations 2D et 3D

Les deux colonnes à droite du tableau 4-5 montrent les résultats de modules d!élasticité effectifs obtenus par modélisations 2D et 3D pour la structure artificielle présentée sur la Figure 4.17. La modélisation 2D a été effectuée avec 16 coupes transversales d!une image 3D plus grande (300·300·300 voxels), comprenant 8 coupes parallèles au plan X-Y et 8 coupes parallèles au plan Y-Z avec une sélection aléatoire. Les deux images 3D présentent une structure équivalente. Bien que la valeur calculée ait tendance à augmenter avec la diminution de la taille de l!image, la variation est probablement inférieure à 5% entre les deux images, compte-tenu des résultats obtenus au niveau de la conductivité thermique : 0.95 W·m^-1·K^-1 pour une image de 300·300·300 voxels contre 0.98 pour une image de 107·107·100 voxels.

On peut remarquer que les modules d!élasticité horizontaux calculés sont plus petits que les modules calculés suivant la direction verticale pour la modélisation 2D, alors qu'ils sont presque identiques (ou même inversés) pour la modélisation 3D. En effet, dans cette structure, les fissures horizontales sont réparties de manière plus uniforme que les fissures verticales. En prenant par exemple la face avant de l'image 3D (présentée sur la figure 4.17), une meilleure connectivité des matériaux semble apparaitre suivant dans la direction verticale. Les fissures verticales concentrées dans le milieu de cette face, à gauche, traversent presque l'image sur toute sa hauteur de sorte que le module calculé apparaît plus faible suivant la direction horizontale. Toutefois, le résultat 3D indique que la structure 3D présente une connectivité équivalente suivant les deux directions. Par conséquent, le revêtement peut être mieux connecté dans le volume 3D.

Il est intéressant de noter que les modules effectifs calculés pour la même structure diffèrent assez largement entre modélisations 2D et 3D. Le module obtenu par modélisation 3D est presque 4 fois supérieur à celui obtenu par modélisation 2D suivant la direction horizontale, et plus de 2 fois supérieur dans la direction verticale. Il était attendu que les résultats 3D devaient être beaucoup plus proches des valeurs réelles car la modélisation 2D pour ce genre de structures semble inadaptée. En effet, ni l'hypothèse de contrainte plane, ni celle de déformation plane ne semblent appropriées pour les revêtements élaborés par projection thermique car ces revêtements présentent une profondeur non négligeable et une structure différente dans la direction normale à la coupe transversale. Par conséquent, la modélisation 3D est fortement suggérée pour aborder le module réel d!un revêtement. Cependant, les résultats présents indiquent que la structure artificielle utilisée n!est pas représentative d!un revêtement réel au niveau du comportement mécanique. Au niveau des calculs réalisés en 2D sur des micrographies réelles, les modules effectifs calculés sont assez nettement en-deçà des mesures. Néanmoins, les résultats obtenus en 3D sur l!image artificielle indiquent que les modules d!élasticité calculés en 3D sont plus élevés qu!en 2D. Cette tendance, si elle se confirmait sur les images réelles tendrait à indiquer que les résultats potentiellement obtenus en 3D sur des structures réelles devraient aller dans le bon sens.