Comparaison de notre approche avec des approches concurrentes

Dans le graphique de la figure 3.9, nous pouvons ´egalement observer que l’algorithme n’a pas n´ecessairement totalement converg´e `a l’issue des 2000 cycles. Nous nous sommes alors demand´es si notre approche de colonies de fourmis ´etait davantage efficace que d’autres m´etaheuristiques. Afin de r´epondre `a cette interrogation, nous avons souhait´e d´evelopper une autre m´etaheuris- tique r´eput´ee efficace pour r´esoudre notre probl`eme, et comparer les performances en termes de qualit´e de convergence sur une base de temps commune. Nous avons opt´e pour une m´ethode de type ILS (Iterated Local Search) int´egr´ee `a un algorithme de recuit simul´e. Dans cet algorithme, nous ´elaborons une solution initiale en utilisant une heuristique de plus proche voisin (voir sec- tion 2.5.2). Puis nous d´emarrons la m´ethode de recuit simul´e, dont nous avons param´etr´e la temp´erature initiale `a la valeur T0 = 750. Nous employons ´egalement une loi de d´ecroissance

continuelle telle que Ti+1= λ.Ti avec λ = 0, 999. Pour la condition d’arrˆet, la temp´erature pour

lequel le syst`eme est suppos´e fig´e est fix´ee `a Tf = 0, 001. A chaque it´eration, l’algorithme va

perturber la solution courante en effectuant deux op´erations de permutation. Chaque permuta- tion consiste `a intervertir la position de deux villes dans la s´equence, celles-ci ´etant d´etermin´ees al´eatoirement. Afin de conserver la validit´e de la solution (chemin allant de vs `a vg), les villes

situ´ees en tˆete et queue de la s´equence ne peuvent ˆetre s´electionn´ees dans cette op´eration. A l’issue de ces permutations, un algorithme 2-opt est utilis´e pour d´eterminer une nouvelle solution correspondant `a un optimum local. Si le coˆut de cette nouvelle solution est meilleur que la nou- velle solution courante, elle est accept´ee et m´emoris´ee. Sinon, la solution peut ˆetre n´eanmoins conserv´ee si le tirage al´eatoire r´ealis´e satisfait l’´equation de Boltzmann.

La m´ethodologie d’exp´erimentation de la section pr´ec´edente a ´et´e appliqu´ee `a l’algorithme de recuit simul´e. De mani`ere similaire `a l’approche de colonies de fourmis, 150 ex´ecutions ont ´et´e r´ealis´ees afin d’obtenir les valeurs de coˆut moyennes par cycle. Il est `a noter que l’algorithme de recuit simul´e, param´etr´e selon les valeurs d´efinies ci-avant, r´ealise 13521 cycles au total. Afin de comparer les deux approches sur une base de temps identique, les temps de cycles de chaque algorithme ont ´et´e relev´es, sur une mˆeme machine. Pour des questions de pr´ecision (nos syst`emes d’exploitation n’´etant pas des syst`emes temps-r´eel non pr´eemptifs), les temps de calcul ont ´et´e r´ealis´es sur la base de 1000 cycles pour les colonies de fourmis, et de 5000 cycles pour la m´ethode de recuit simul´e. Les r´esultats obtenus sont, sur un ordinateur portable ´equip´e d’un processeur Intel Core 2 Duo P7350 (cadenc´e `a 2GHz) et de 3 Go de m´emoire vive, respectivement de 66, 832s et 27, 607s, soit environ 66, 8ms par cycle pour les colonies de fourmis et 5, 5ms par cycle pour le recuit simul´e. Les courbes de performance, rapport´ees sur une abscisse temporelle identique, sont illustr´ees par la figure 3.10.

Les r´esultats de la comparaison montrent que l’algorithme de recuit simul´e d´evelopp´e, malgr´e sa grande simplicit´e, montre d’´etonnantes performances puisqu’il surpasse notre algorithme de colonies de fourmis. Ce r´esultat, d´ecourageant au premier abord, a permis d’aboutir `a une r´eflexion sur la mani`ere d’am´eliorer les colonies de fourmis. Puisque les m´ethodes ILS ont prouv´e leur efficacit´e, nous avons cherch´e une mani`ere de les introduire dans notre approche. Nous l’avons finalement r´ealis´e `a l’aide d’une m´ethode simple, pr´eexistante dans la litt´erature [Dori 04] : distinguer deux cat´egories de fourmis. La premi`ere cat´egorie (dite de « fourmis de construction »), similaire `a celles employ´ees jusqu’`a maintenant, ´elabore des solutions en tirant b´en´efice de l’apprentissage. La seconde cat´egorie (dite de « fourmis d’am´elioration ») va utiliser la meilleure solution globale et la perturber (nous reprenons pour cela la fonction de perturbation mise en place dans la m´ethode de recuit simul´e), avant d’appliquer une m´ethode 2-opt. Cette approche vise ainsi `a combiner l’efficacit´e des approches ILS avec la facult´e d’apprentissage des colonies de fourmis, afin de ne pas rester bloqu´e dans un optimum local. Nous avons exp´eriment´e cette approche sur le benchmark pr´ec´edent et observ´e les r´esultats pr´esent´es en figure 3.11, que l’on compare aux approches pr´ec´edentes.

L’approche de colonies de fourmis obtenue montre une nette sup´eriorit´e en termes de perfor- mances moyennes. Elle tire parfaitement parti `a la fois de l’approche ILS et de l’apprentissage, en ayant la capacit´e de converger rapidement vers la solution optimale. On observe que c’est la seule approche qui converge bien vers l’asymptote de coˆut 25951,25 (coˆut de la solution opti- male) sur l’ensemble des ex´ecutions avant le terme des 2000 cycles. S’agissant d’une moyenne des coˆuts, cela signifie que toutes les recherches trouvent bien la solution optimale. De plus, elle est capable d’offrir une solution 0,1%-optimale (c’est-`a-dire de coˆut c < (1 + 0, 1%).c⋆ _{o`u c}⋆

est le coˆut de la solution optimale) dans un temps moyen de 12 secondes environ, ce qui est tout `a fait satisfaisant. Deux r´esultats sont en outre int´eressants. En premier lieu, la r´epartition

Figure _{3.10 – Comparaison des performances des algorithmes de colonies de fourmis} (ACO) et de recuit simul´e (SA). Le graphique pr´esente les valeurs moyennes de coˆut (sur 150 ex´ecutions, en unit´es de distance) des meilleures solutions trouv´ees en fonction du temps (en secondes).

Figure _{3.11 – Comparaison des performances des algorithmes de colonies de fourmis} (ACO), de recuit simul´e (SA), et de colonies de fourmis avec fourmis d’am´elioration (ACO-ILS). Le graphique pr´esente les valeurs moyennes de coˆut (sur 150 ex´ecutions, en unit´es de distance) des meilleures solutions trouv´ees en fonction du temps (en secondes).

Figure_{3.12 – Proportion moyenne (sur 150 ex´ecutions) du type de fourmis participant} `

a l’am´elioration de la meilleure solution, pour chaque s´erie de 50 it´erations de l’algo- rithme. Les valeurs indiqu´ees au-dessus de l’histogramme correspondent au nombre total d’am´eliorations r´ealis´ees au cours des 150 ex´ecutions, pour chaque s´erie de cycles. L’ab- sence d’histogramme traduit une absence d’am´elioration de la solution dans la tranche de cycles concern´e.

des effectifs de chaque cat´egorie de fourmis participant `a l’am´elioration de la solution, donn´ee par la figure 3.12, montre que les fourmis d’am´elioration ont un rˆole pr´epond´erant dans les pre- miers cycles de la recherche ; les fourmis de construction, b´en´eficiant de l’apprentissage, prennent ensuite l’ascendant en mutualisant sur l’apprentissage r´ealis´e. En deuxi`eme lieu, cette impl´emen- tation gomme les diff´erences de performances entre les m´ethodes de construction `a initialisation al´eatoire et de construction bidirectionnelle. Les r´esultats observ´es `a l’issue d’exp´erimentations compl´ementaires montrent que les courbes de performance sont confondues (nous n’avons par cons´equent pas jug´e utile de les pr´esenter).

3.3

Int´egration des colonies de fourmis dans la r´esolution glo-

bale

L’algorithme pr´esent´e en section pr´ec´edente a ´et´e int´egr´e dans l’approche de r´esolution glo- bale, pr´esent´e en figure 3.2. Pour l’´etage de r´esolution partielle, nous ne d´etaillerons pas les ´etapes de mod´elisation du probl`eme (qui consiste `a extraire les donn´ees du probl`eme et `a calcu- ler les plus courtes distances pour g´en´erer le graphe G′) et de reconstruction de la solution (qui concat`ene une s´erie de plus courts chemins). Quant `a la r´esolution globale, hormis la suppression de l’´etape de calcul de plus court chemin, elle reste pour le moment inchang´ee.

Les sections suivantes d´etaillent la comparaison de l’approche initiale avec notre approche hybride.