Deuxi` eme partie Mod` ele
Chapitre 3 Mod` ele
3.6 Comparaison avec catalogues synth´ etiques : M´ ethode de Monte-Carlode Monte-Carlo
Finalement, il nous reste `a estimer la probabilit´e d’obtenir ces valeurs de ΔJ par chance dans le cas de notre hypoth`ese nulleH0.
Pour cela, nous produisons des catalogues synth´etiques avec les param`etres ETAS optimis´es et μ obtenus pour l’hypoth`ese nulle H0. Ces catalogues ont la particularit´e principale d’avoir leur taux de fond variable en espace mais stationnaire, tout en respectant une distribution poissonienne en temps.
Catalogue Réel :
Sismicité de fond potentiellement non stationnaire
μ(x,y)(n) μ(x,y,t)(n)
Catalogues Synthétiques :
Sismicité de fond stationnaire
Paramètres ETAS
modèle H0 J0(n)
ΔJ(n)
modèle H1 J1(n)
μ(x,y)(n)N μ(x,y,t)(n)N
modèle H0 J0(n)N
ΔJ(n)N
modèle H1 J1(n)N
ΔJ
ΔJ∑N n
ΔJ(n)
ΔJ(n) Probabilité
d’avoir ΔJ(n)
0 % 100 %
P(ΔJ(n))
Figure 3.6 – Sch´ema r´ecapitulatif de la m´ethode de comparaison avec les catalogues synth´etiques.
Dans un premier temps, nous recherchons les variations de la sismicit´e de fondμ(x, y, t) pour chacune des ncellules spatio-temporelles de notre zone. Nous quantifions ces augmentations de la sismicit´e de fond `a l’aide du gain de la fonction coˆut ΔJ(n) d´etermin´e pour chacune des cellules. Dans un second temps, nous produisons N catalogues synth´etiques ayant une sismicit´e de fond stationnaire. Nous appliquons le mˆeme mod`ele `a ces catalogues synth´etiques et nous collectons les diff´erentes valeurs de ΔJN(n). Grˆace `a cela, nous pouvons estimer la probabilit´e d’avoir une certaine valeur de ΔJ dans le cas o`u μ(x, y) est effectivement stationnaire.
Nous appliquons le mˆeme mod`ele que celui du catalogue initial et nous d´eterminons la distribution de ΔJ dans le cas de l’hypoth`ese nulle H0. Nous faisons cette op´eration pour un grand nombre de catalogue (1000 en g´en´eral) afin d’avoir une bonne approximation de cette distribution. Cette distribution de ΔJ est donc celle que l’on s’attend `a trouver si μ est stationnaire : tout ´ecart correspondra `a un ´episode transitoire de sismicit´e.
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3.6 Comparaison avec catalogues synth´etiques : M´ethode de Monte-Carlo Grˆace `a cette technique de Monte-Carlo, nous quantifions de la probabilit´e d’avoir une certaine valeur de ∆J pourH0. Toute valeur de ∆J observ´ee, qui serait peu probable pourH0, sera donc jug´ee statistiquement significative (voir Figure 3.6).
Cas du Crit`ere d’Akaike Un mod`ele permet de reproduire un m´ecanisme ou un ph´enom`ene physique `a partir d’un ou de plusieurs param`etres caract´erisant ce m´ecanisme. Plus il existe de param`etres, plus le mod`ele sera complexe en expliquant d’autant mieux la r´ealit´e. Cela implique souvent moins d’hypoth`eses de travail mais ´egalement un temps de calcul croissant. Il faut donc faire un compromis entre cette complexit´e et cette explication du r´eel.
Le crit`ere d’Akaike (”Akaike Information Criterion”), not´e ∆AIC, est un crit`ere introduit par Akaike(1974), permettant de comparer deux mod`eles entre eux. Il repr´esente une interpr´etation du rasoir d’Ockham, dans la mesure o`u ce crit`ere p´enalise un nouveau mod`ele par rapport `a un autre en fonction du nombre de nouveaux param`etres inclus. Ce crit`ere s’´ecrit simplement :
∆AIC = 2(∆J +P) (3.34)
Dans cette ´equation, ∆J correspond `a la diff´erence des fonctions coˆut entre l’ancien et le nouveau mod`ele pour la celluleCn(voir ´equation3.31), etP correspond au nombre de nouveaux param`etres introduit lors du nouveau mod`ele. Lorsque ce crit`ere ∆AIC est n´egatif, cela signifie que le nouveau mod`ele explique mieux la r´ealit´e sans pour autant ˆetre trop complexe.
Dans notre cas, entre le premier mod`ele H0 et le second H1, on ajoute 5 nouveaux param`etres : [µ∗, τ, x∗, y∗, t∗]. En effet, µ∗ correspond au nouveau taux de sismicit´e de fond calcul´e pour la case d´elimit´ee en [x∗,y∗] et commen¸cant au temps t∗ pour une dur´ee τ . D’apr`es la d´efinition, le crit`ere d’Akaike de notre mod`ele revient alors `a d´eterminer si
∆AIC <0⇒∆J+ 5<0 (3.35)
Afin de savoir si le crit`ere d’Akaike est un crit`ere pertinent, nous d´ecidons de repr´esenter la distribution des ∆J pour 1000 catalogues synth´etiques produits avec une sismicit´e de fond stationnaire. Ces catalogues reprennent les mˆemes param`etres ETAS et les caract´eristiques que le catalogue produit dans la section ”Tests de la convergence”, `a la diff´erence qu’ils se d´eroulent sur une dur´ee de 1000 jours. La Figure 3.7 r´ecapitulent les r´esultats obtenus pour la dur´eeτ=2 jours et L=10 km, montrant l’´evolution de ∆J quand on s´electionne des cellules contenant au moins 1 s´eisme, 6 et 11 s´eismes.
On observe une ´evolution du crit`ere d’Akaike quand on change le nombre minimal de s´eismes dans les cellules (entre 8 `a 12 %) et ce crit`ere ´evolue selon les param`etres de d´etections choisis (Figure 3.8). Au final, typiquement 10% des cases sont jug´ees significativement anormales, (selon le crit`ere d’Akaike), alors qu’il n’existe pas d’´episodes transitoires.
MOD`ELE
í í í
Nbre > 10 EQs Nbre > 5 EQs Nbre > 0 EQs
ΔJ
ΔAIC < 0 ΔAIC > 0
Distribution cumulée des ΔJ (en %)
Figure 3.7 – Probabilit´e d’avoir ΔJ par chance calcul´ee `a partir de 1000 catalogues synth´etiques disposant des mˆemes caract´eristiques sismiques que pour le catalogue synth´etique de la section 3.3, pour des cellules comprenant au moins 1, 6 et 11 s´eismes.
Finalement, le crit`ere d’Akaike est rapide et ne n´ecessite pas de g´en´erer des catalogues synth´etiques. Mais avec notre m´ethode, nous disposons d’une connaissance d´etaill´ee des valeurs de ΔJ dans le cas deH0, et on peut donc savoir quelles cases sont anormales, en se donnant une probabilit´e ”d’anormalit´e” (ou de seuil significatif), alors que le crit`ere d’Akaike ne le permet pas.
C’est pourquoi, nous n’utilisons pas le crit`ere d’Akaike.
í í í
Tau = 1 jrs Tau = 2 jr Tau = 10jrs
ΔJ
ΔAIC < 0 ΔAIC > 0
Distribution cumulée des ΔJ (en %)
Figure 3.8 – Probabilit´e d’avoir ΔJ par chance. On repr´esente le cas o`u il existe au moins un s´eisme pour 3 valeurs de τ diff´erentes (1, 2 et 10 jours).
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3.7 Exemple : D´etection d’un essaim sismique dans un catalogue synth´etique