Compacit´e et existence de solutions

Ce paragraphe contient simplement un corollaire du r´esultat de compacit´e de R. DiPerna [25] sur la suite d’approximations visqueuses du p-syst`eme homog`ene.

Th´eor`eme I.11 Soit (v0, u0, c0) ∈ L∞∩L2(R), avec v0≥ α > 0 et c0∈ [0, 1]. Alors sous les hypoth`eses (4.10), (4.11), il existe un triplet de solutions L∞([0, T ] × R) du syst`eme (4.3). Celles-ci sont obtenues comme limites ǫ → 0 des solutions visqueuses de (4.14).

D´emonstration

Remarquons que le changement de variables U = (v, u, c) 7→ ˜U = (w = v + K(c), u, c) est un diff´eomorphisme et qu’il permet d’affaiblir le couplage entre v et c dans (4.3). On obtient donc:

   ∂tw − ∂xu = K(c)t= k(c)g(c) ∂tu + ∂xp(w) = 0 ∂tc = g(c) (4.13) On r´egularise la partie ”p-syst`eme” que l’on s´epare de l’´equation differentielle:



∂twǫ− ∂xuǫ= k(c)g(c) + ǫ∂xxwǫ

∂tuǫ+ ∂xp(wǫ) = ǫ∂xxuǫ et ∂tc = g(c) (4.14) L’expression de la concentration est donc:

c(x, t) = c0(x) + Z t

0

g(c)(x, s).ds

D’autre part, les hypoth`eses (4.10), (4.11) assurent l’existence d’une zone invariante pour le syst`eme d´ecoupl´e (G_±1(w, u) = ±u −^Rwp−p′(s)ds). Par cons´equent, si g(c) converge suffisamment vite vers z´ero lorsque t → +∞, alors w reste born´ee et le th´eor`eme de compacit´e de DiPerna [25] assure que (w<sup>ǫ</sup>, u<sup>ǫ</sup>) → (w, u) fortement dans tous les Lp<∞ et presque-partout `a l’extraction d’une sous-suite pr`es. 2

Remarques:

• On a pu s’apercevoir que la principale difficult´e pour traiter le syst`eme (4.3) par cette m´ethode est d’obtenir une estimation uniforme en norme L∞. Pour cela, le th´eor`eme de la zone invariante semble ˆetre le seul moyen de proc´eder dans le cas g´en´eral. N´eanmoins, comme la jacobienne des flux n’est g´en´eralement pas diagonale, les composantes de la base canonique ne sont pas vecteurs propres `a gauche. Ceci oblige ces derniers `a d´eriver d’un potentiel ainsi qu’`a v´erifier une propri´et´e de signe `a travers une combinaison avec les termes sources.

Chapitre I-4 Existence de solutions pour le mod`ele diphasique ´equilibr´e page 51

• Dans [81], I. Toumi met en ´evidence une zone invariante (non-convexe) pour le probl`eme de Riemann appliqu´e au syst`eme (4.1) avec la loi de pression diphasique eau-vapeur:

p(ρ, c) =

 1.6ρc 1.6 − ρ(1 − c)

2

Signalons que celle-ci n’est pas de la forme prescite par (4.10) uniquement `a cause du terme en v/c puisqu’elle s’exprime sous la forme:

p(v, c) = v c ⁺

c − 1 1.6c

−2

• Ce travail est tr`es proche de [7] o`u les auteurs consid`erent les ´equations d’Euler homog`enes dans le cas d’une loi de pression telle que la vitesse du son lagrangienne soit une fonction de la pression. C’est-`a-dire:

ρ²∂ρ(p) = a(p)(ρ, S)

o`u S d´esigne l’entropie physique du syst`eme de la dynamique des gaz. Si l’on se place dans ce contexte, la restriction faite sur la pression s’exprime sous la forme:

∂ρ(p) = −∂v(p) ¹

ρ2 c’est-`a-dire − ∂v(p) = a(p)

Suivant les conventions de signe pour ∂v(p), cette ´equation differentielle s’int`egre sous la forme: ∂vln(A(p)) = 1 et donc A(p) =

e

Comme le rˆole jou´e par S dans le syst`eme d’Euler est semblable `a celui de c dans (4.1), on conclut ais´ement `a l’´equivalence des deux points de vue. Il faut pr´eciser aussi que ces r´esultats sont des cas particuliers de la th´eorie des syst`emes riches [76].

• Pr´ecisons pour terminer que le passage en variables lagrangiennes est bijectif pour des fonctions discontinues [86]. Par cons´equent, cette approche est bien justifi´ee dans le contexte des solutions faibles L∞ des syst`emes hyperboliques.

Partie II

M´ethodes de quadrature implicites

adapt´ees aux lois scalaires

page 55

R´esum´e

Il s’agit dans cette partie de mettre en ´evidence des crit`eres de stabilit´e pour les m´ethodes num´eriques implicites dans le cadre de la r´esolution de lois scalaires 1D. Cette ´etude se fait suivant deux directions: - d´efinir soigneusement la solution du syst`eme diff´erentiel issu de la m´ethode des lignes

- pr´evenir l’apparition d’oscillations parasites au voisinages des discontinuit´es.

Les premier point est d’abord ´etudi´e dans le cas lin´eaire o`u la transformation de Fourier permet de conclure `a la bonne tenue des sch´emas implicites pour des solutions `a priori r´eguli`eres. Dans le cas g´en´eral, on montre en utilisant un formalisme introduit par Dahlquist [43] que la m´ethode des lignes n’est bien pos´ee que dans certaines conditions. En cons´equence, les sch´emas num´eriques subissent des restrictions de maillage en pr´esence de situations difficiles. En accord avec l’intuition, celles-ci correspondent `a des zones de compression ou situ´ees `a proximit´e des ´equilibres instables du terme source. N´eanmoins, en testant certaines routines de quadrature sophistiqu´ees de type Runge-Kutta sur des probl`emes d’advection dissipatifs, on constate que ce crit`ere n’est pas suffisant pour garantir une approximation de bonne qualit´e si des ondes discontinues sont pr´esentes. En effet, de fortes oscillations apparaissent au voisinage de celles-ci bien en-dessous du seuil d’inversibilit´e de l’op´erateur discrˆet. Une analyse en variation totale permet alors d’expliciter des conditions suffisantes de stabilit´e non-lin´eaires prolongeant les pr´ec´edentes restrictions pour la plupart des m´ethodes de quadrature num´eriques. Ceci permet de proposer des routines robustes et non-oscillantes qui sont test´ees dans des situations de difficult´e progressive: loi lin´eaire homog`ene, ´equation de B¨urgers amortie, puis ´equation de Buckley-Leverett munie d’un terme de r´eaction `a plusieurs ´equilibres.

Chapitre 5

Stabilit´e lin´eaire des m´ethodes

implicites `a un pas - Cas des solutions

r´eguli`eres

Chapitre II-5 Stabilit´e lin´eaire des θ-m´ethodes page 58

Pour introduire l’analyse num´erique des lois hyperboliques scalaires avec second membre, on s’interesse aux approximations possibles de ce genre de probl`emes. Les m´ethodes retenues sont implicites par souci de stabilit´e lin´eaire, mˆeme en r´egime fortement r´eactionnel. D’autre part, cette approche peut ˆetre aussi motiv´ee par le besoin de se lib´erer de la restriction CFL pour des calculs de r´egimes stationnaires. Ce chapitre est donc d´edi´e `a l’´etude num´erique du probl`eme scalaire 1D donn´e par l’´equation g´en´erique



∂tu + ∂xf (u) = g(u)

u(x, 0) = u0(x) ∈ L2∩ L∞(R) ^(5.1) On se place naturellement dans les hypoth`eses du th´eor`eme d’existence et d’unicit´e de la partie pr´ecedente. On se restreindra tout d’abord aux m´ethodes implicites `a un pas couramment appel´ees ”θ-m´ethodes” par analogie avec la terminologie des ´equations diff´erentielles ordinaires. L’objectif en est de construire des algorithmes pr´ecis, stables, et respectant une grande partie des propri´et´es de l’´equation consid´er´ee.

5.1 G´en´eralit´es

On commence par introduire les notations qui seront utilis´ees tout au long de ce chapitre. Tout d’abord, on d´esigne par ∆x et ∆t les pas d’espace et de temps du maillage. Comme la fonction que l’on cherche `a approcher est discontinue mais localement sommable, on convient de discrˆetiser la donn´ee initiale u0 sous la forme:

u⁰_j = ¹ ∆x Z (j+1 2)∆x (j−1 2)∆x u0(x)dx

Dans [35] (par exemple), la plupart des sch´emas num´eriques explicites couramment utilis´es sont ´etudi´es. Ils permettent de d´efinir pour tout couple (j, n) ∈ Z × N une approximation un

j de la solution continue u(., n∆t) du probl`eme (5.1). On d´esigne alors par Un le vecteur des approximations (un

j)_j∈Z. Ces algorithmes, pour rester stables, ont l’inconv´enient d’ˆetre limit´es par la c´el`ebre condition de Courant-Friedrichs-Lewy:

sup

j,n|f^′(uⁿ_j)|._∆x^∆t ≤ 1

D’autre part, la pr´esence d’un second membre dans l’´equation (5.1) impose des restrictions suppl´emantaires sur le pas de temps si on le traite de fa¸con explicite. En r´eponse `a quoi, des approximations semi-implicites furent ´etudi´ees dans ce contexte (citons [50] ou [68], par ex.). L’approche que nous choisissons ici concerne donc les discrˆetisations totalement implicites du probl`eme (5.1), et tout particuli`erement les θ-m´ethodes qui s’´ecrivent sous la forme: (avec θ ∈ [0, 1] et λ d´esignant le rapport ∆t

∆x)

uⁿ⁺¹_j = uⁿ_j − θ.^λ.[F^I(uⁿ⁺¹_j , uⁿ⁺¹_j+1) − F^I(uⁿ⁺¹_j−1, uⁿ⁺¹_j )] − ∆tG^I(u_j−1ⁿ⁺¹, uⁿ⁺¹_j , uⁿ⁺¹_j+1)^ −(1 − θ).^λ.[F^E(uⁿ_j, uⁿ_j+1) − F^E(uⁿ_j−1, uⁿ_j)] − ∆tG^E(uⁿ_j−1, uⁿ_j, uⁿ_j+1)^

Les fonctions FI et FE d’une part, GI et GE d’autre part sont respectivement les flux num´eriques (implicites et explicites) et les moyennes des termes sources (implicites et explicites). Comme on se limite ici `a des sch´emas d’ordre 1 en espace (i.e. r´eellement `a 3 points), on peut simplifier FI = FE = F et GI = GE = G. On d´efinit donc un

j pour (j, n) ∈ Z × N comme la solution eventuelle du sch´ema suivant:

uⁿ⁺¹_j + θ.^λ.[F (uⁿ⁺¹_j , uⁿ⁺¹_j+1) − F (uⁿ⁺¹_j−1, uⁿ⁺¹_j )] − ∆tG(uⁿ⁺¹_j−1, uⁿ⁺¹_j , uⁿ⁺¹_j+1)^

= uⁿ_j − (1 − θ).^λ.[F (uⁿ_j, uⁿ_j+1) − F (uⁿ_j−1, uⁿ_j)] − ∆tG(uⁿ_j−1, uⁿ_j, uⁿ_j+1)^{ (5.2)} Afin d’´etudier pr´ecis´ement le comportement du sch´ema (5.2), on est amen´e `a faire des hypoth`eses sur les fonctions F et G. On suppose en particulier F et G diff´erentiables et on impose la condition de consistance sur la fonction de flux:

∀u ∈ R, F (u, u) = f(u) (5.3) Quant `a l’hypoth`ese de monotonie [35] qui se traduit par:

∀(u, v) ∈ R² 

Fu(u, v) ≥ 0 et Fv(u, v) ≤ 0 λ.(|Fu(u, v)| + |Fv(u, v)|) ≤ 1

Chapitre II-5 Stabilit´e lin´eaire des θ-m´ethodes page 59

D´efinition II.1 Un flux num´erique consistant sera dit monotone s’il v´erifie:

∀(u, v) ∈ R², Fu(u, v) ≥ 0 et Fv(u, v) ≤ 0 (5.4) La discr´etisation du second membre peut ˆetre centr´ee, auquel cas:

G(uⁿ_j−1, uⁿ_j, uⁿ_j+1)^def= g(uⁿ_j)

Pour θ = 0, Un+1se d´eduit directement de Un, l’algorithme est alors explicite. Dans le cas contraire, Un+1est implicitement d´efini par un syst`eme d’´equations qu’il faut inverser num´eriquement. Ce surcoˆut de calcul doit alors ˆetre compens´e par le gain en stabilit´e de la m´ethode. La d´emarche usuelle pour obtenir le vecteur Un+1

est alors d’it´erer un algorithme de type Newton [16] sur ce syst`eme, ou mˆeme tout simplement de le lin´eariser autour de Un (on parle alors de sch´ema implicite lin´earis´e). Pour ce faire, on d´esigne par A∆xl’op´erateur d´efini par: A∆x: ℓ2∩ ℓ∞(Z) → ℓ2∩ ℓ∞(Z) Uⁿ = (uⁿ_j)j7→ A∆x(Uⁿ) = 1 ∆x^{.[F (u} n j, uⁿ_j+1) − F (uⁿ_j−1, uⁿ_j)] − g(uⁿj)  j

Et la m´ethode se r´e´ecrit sous la forme

Un+1+ θ[∆t.A∆x(Un+1)] = Un− (1 − θ)[∆t.A∆x(Un)] (5.5) C’est-`a-dire ¡¡plus explicitement¿¿:

Uⁿ⁺¹= Uⁿ− (Id + θ[∆t.dA∆x(Uⁿ)])⁻¹.[∆t.A∆x(Uⁿ)]

o`u on a suppos´e: A∆x(Un+1) ≃ A∆x(Un) + dA∆x(Un).(Un+1− Un) avec dA∆x(Un) la diff´erentielle de A∆x

en Un. Une condition n´ecessaire `a l’existence d’un Un+1 est donc l’inversibilit´e pour tout ¡¡n¿¿ de la matrice (Id + θ[∆t.dA∆x(Un)]), le syst`eme ´etant en g´en´eral non-lin´eaire. N´eanmoins, on peut d’ores-et-d´ej`a noter que cette op´eration ne peut `a priori se faire (th´eor`eme d’inversion locale) que dans un petit voisinage de Un, ce qui limite la variation possible (Uⁿ⁺¹− Uⁿ), et cons´equemment le pas de temps ∆t.

Remarque: La θ-discr´etisation peut ˆetre introduite au moyen de l’´equation diff´erentielle ordinaire issue de la m´ethode des lignes [68]. Cette approche consiste en un formalisme visant `a d´ecoupler nettement les discr´etisations temporelles et spatiales. On introduit de nouveau l’op´erateur A∆x, et on s’attache `a r´esoudre le mieux possible le syst`eme diff´erentiel ordinaire:

˙ U + A∆x(U ) = 0 Uj(0) = (u0 j) t 7→ U(t) = (uj(t))_j∈Z (5.6)

Si on d´ecide d’int´egrer num´eriquement ce probl`eme avec une θ-m´ethode [43], on retrouve directement la discr´etisation ´ecrite plus haut. L’ordre de pr´ecision (loin des chocs) est au moins le minimum entre celui de l’int´egration temporelle et celui de l’op´erateur spatial discr´etis´e A∆x.