Compacit´e par compensation - Analyse et approximation numérique de systèmes hyperboliques de l

 

|v+| ≤ |u| donc v+∈ L2([0, T ] × R) ∂xv(., t) = ∂xu(., t) donc v ∈ H1(R)

x 7→ |x| est continu dans H1(R) donc v+(., t) ∈ H1(R) Par construction, v est solution du probl`eme tronqu´e:

∂tv − ǫ∂xxv = ˜g(u) − ∂x_{f (u) = ˜}˜ g(u) − ˜f′(u)∂xu Ce probl`eme lin´eaire admet la formulation variationnelle: ∀z ∈ H1(R),

< ∂tv(., t), z >H−1,H1 +ǫ < ∂xv(., t), ∂xz >H1=< ˜g(u)(., t), z >H1 − < ˜f′(u)∂xu(., t), z >H1

Par ailleurs,comme u(., t) ∈ H1(R), g ∈ C1(R), et g(0) = 0, on d´eduit que g(u)(., t) ∈ H1(R). L’expression est donc bien justifi´ee. On a aussi:

∂xv(., t).∂xv+(., t) = |∂xv+|2(., t)

∂xu(., t).v+(., t) = ∂xv(., t).v+(., t) = (∂xv+).v+(., t) On remarque alors qu’en posant z = v+(., t) ∈ H1(R), il vient:

Z R ˜ g(u)(., t).v+(., t).dx = Z u>M ˜ g(u)(., t).v+(., t).dx | {z } u>M ≥X⇒˜g(u)≤0 + Z u≤M ˜ g(u)(., t).v+(., t).dx | {z } u≤M⇒v≤0⇒R ≡0 ≤ 0

Par le lemme I.3, la formulation variationnelle devient: 1 2(||v+(., t)||²L2− ||v+(., 0)||²L2 | {z } =0 ) + ǫ Z t 0 ||∂xv+(., s)||²L2.ds ≤ C Z t 0 ||∂xv+(., s)||L2||v+(., s)||L2.ds Par l’in´egalit´e Cxy ≤ ǫx2+^C_4ǫ²y2 , on obtient:

||v+(., t)||2 L2 ≤ ^C 2 2ǫ Z t 0 ||v+(., s)||2 L2.ds

Ce qui nous met en position d’utiliser le lemme de Gronwall pour conclure que v+ est identiquement nulle. De m`eme, pour montrer que (−u − M)+= (u + M )₋≡ w− est nulle, on proc`ede identiquement sachant que:

− Z R ˜ g(u).w₋.dx = Z u<−M−˜g(u)(., t).w−(., t).dx | {z } u<−M≤−X⇒˜g(u)>0 − Z u≥−M ˜ g(u)(., t).w₋(., t).dx | {z } u≥M⇒w≥0⇒R ≡0 ≤ 0

Finalement, ||u||L∞ ≤ M en presque tout t, et u est l’unique solution puisqu’alors: ˜_{f (u) = f (u)}

g(u) = g(u) 2

2.2 Compacit´e par compensation

Cette théorie, construite à partir de celle des fonctions généralisées de L.C. Young, permet de mettre en lumière la continuité faible de la fonction de flux à partir de la majoration L∞ de la solution régularisée. Bien sûr, cette information insuffisante (pas d’injection compacte) est compensée par les estimations d’entropie. Dans ce cas, celles-ci assurent que la solution trouvée est la limite quand ǫ → 0 des solutions approchées uǫ.

Chapitre I-2 M´ethode de viscosit´e et existence page 24

2.2.1 Pr´esentation de la th´eorie

On rappelle ici les principaux r´esultats qui nous serons utiles. Ils sont tous issus du livre de B. Dacorogna [20] ou de l’article de L. Tartar [80] auxquels on renvoie pour plus de d´etails.

Nous en sommes `a ||uǫ||L∞ ≤ M, ce qui implique que la suite (uǫ)_ǫ→0 est compacte pour la topologie faible ∗σ(L1, L∞) puisque L1n’est pas r´eflexif [10].

On d´esigne par K[.] les ensembles compacts et par B[.] les born´es.

Définition I.3 Soit Ω un ouvert régulier de Rn,on considère les informations suivantes:      uǫ ∗−L⇀ u : Ω ⊂ R^∞ n→ Rm Auǫ=^P^m_j=1^Pⁿ_k=1αijk∂x_kuǫ j (i = 1...q) f (uǫ)^∗−L⇀ l^∞ On introduit alors: B(ξ) : R^m→ R^q λ 7→   m X j=1 n X k=1 αijkλjξk   i=1...q On pose: V = {(λ, ξ) ∈ (R^m× Rⁿ) tels que B(ξ)λ = 0} Et on définit l’espace:

Λ = {λ ∈ R^m tels que ∃ξ ∈ Rⁿ_∗ vérifiant (λ, ξ) ∈ V } Le résultat le plus utile dans le cadre de notre problème est concentré dans cet énoncé: Théorème I.5 Soit M ∈ Mm(R), Mt= M , Q(x) =< M x, x >Rm et supposons:

     uǫ W −L⇀ u² Auǫ=^P^m_j=1^Pⁿ_k=1αijk∂xkuǫ

j compact dans H_loc⁻¹(Ω) pour chaque i=1..q Q(uǫ)⇀ l^D^′

Alors, si pour tout λ ∈ Λ, Q(λ) = 0, on a Q(u) = l. Autrement dit, Q ainsi d´efinie est faiblement continue pour (uǫ)ǫ si Λ est inclus dans le noyau de M .

Ceci est sous-tendu par le r´esultat abstrait ci-dessous caract´erisant les limites faibles dans ∗σ(L1, L∞) en termes de mesures de Young.

Th´eor`eme I.6 (Tartar) Posons K un compact de Rm.

• Soit us : Ω → Rm telle que us(x) ∈ K, alors il existe une sous-suite encore notée (us)s et une famille de mesures de probabilités (νx)_x∈Ω vérifiant pour toute fonction f : R^m→ R continue:

(

supp(νx) ⊂ K

f (us)^∗−L⇀ f : x 7→^∞ ^RRmf (λ).dνx(λ)

• Réciproquement, si (νx)_x∈Ω est une famille à un paramêtre de mesures de probabilités à support dans K, il existe une suite (us)s telle que us(x) ∈ K et pour toute fonction f continue K → R:

f (us)^∗−L ∞ ⇀ f : x 7→ Z Rm f (λ).dνx(λ) On donne ensuite un crit`ere ´etablissant la convergence forte.

Th´eor`eme I.7 (Tartar) Si us ∗−L⇀^∞ u, alors us

Lp<∞

→ u si et seulement si pour tout x ∈ Ω, νx(λ) = δu(x)(λ) , la mesure de Dirac concentr´ee au point u(x).

On termine par un lemme technique tr`es utile en pratique. Lemme I.5 (Murat) Soit Ω un ouvert de Rn:

Chapitre I-2 M´ethode de viscosit´e et existence page 25

2.2.2 Emergence de la solution globale L

∞

On donne ici le résultat le plus important de cette étape: les conditions sous lesquelles les fonctionnelles non-linéaires de l’EDP de convection-réaction sont continues pour la topologie faible-*. Nous commencerons par appliquer les théorèmes précédents pour préciser le comportement de uǫ7→^RRf (uǫ)φ.dx lorsque ǫ → 0. Ensuite, nous verrons que cela entraine une convergence forte de la suite (uǫ)_ǫ→0 (compacité) en utilisant l’hypothèse de stricte convexité faite sur la fonction de flux.

Proposition I.6 Soit Ω le demi-espace born´e en temps [0, T ] × R. On suppose en outre l’existence de couples (η, q) entropiques v´erifiant:

q′= η′.f′ avec η′′≥ 0 Alors la donn´ee de: _

 

uǫ ∗−L⇀ u et u^∞ ǫ born´ee dans L∞(Ω) f ∈ C2(R) telle que f′′> 0 et f (0) = 0 ∀η convexe : ∂tη(u^ǫ) + ∂xq(u^ǫ) ∈ K(Hloc⁻¹(Ω)) entraine: ₍ f (uǫ)^∗−L ∞ ⇀ f (u) uǫ L→ u (p < +∞)^p D´emonstration

La (longue) démonstration sera scindée en deux parties pour plus de clarté. Continuité *faible du flux

On pose Uǫ= (uǫ, f (uǫ), η(uǫ), q(uǫ)) ∈ (L∞(Ω))4.

Comme Uǫ est uniformément borné dans L∞, on a la convergence faible U^{ǫ ∗−L}⇀ U^∞ ^def= (u, v, w, z) On désire montrer au moins que v = f (u). Pour cela, on a par hypothèse:

∂tu^ǫ+ ∂xv^ǫ∈ K(Hloc⁻¹(Ω)) ∂twǫ+ ∂xzǫ∈ K(Hloc⁻¹(Ω))

puisque la première ligne correspond au cas particulier η(x) = x. Dans les notations de la définition I.3, l’estimation sur les dérivées s’interprète grace à l’opérateur λ 7→ B(ξ).λ. Dans notre cas, ce dernier s’écrit sous la forme:

(λ1, λ2, λ3, λ4) 7→ B(ξ1, ξ2).(λ1, λ2, λ3, λ4) =

ξ1.λ1+ λ2.ξ2

ξ1.λ3+ λ4.ξ2

Ces relations impliquent donc que l’ensemble Λ se d´efinit comme: Λ = {λ ∈ R⁴ tels que λ1 λ2 λ3 λ4 .~ξ = ~0 pour ~ξ ∈ Ω ⊂ (R⁺× R)^∗}

Il est à noter que les (ξi)_1≤i≤d+1 représentent les opérateurs de dérivées partielles. Donc Λ est l’ensemble des (λi)_1≤i≤4tels que le déterminant de la matrice 2 × 2 soit nul.

Λ = {λ ∈ R⁴tels que λ1.λ4− λ2.λ3= 0} Posons: Q(U ) =< M U, U > avec M = ¹ 2     0 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 0     D’après le théorème I.5, ceci implique que:

Q(U^ǫ) = u^ǫ.z^ǫ− v^ǫ.w^{ǫ ∗−L}

∞

Chapitre I-2 M´ethode de viscosit´e et existence page 26

C’est-`a-dire que:

u^ǫ.q(u^ǫ) − f(u^ǫ).η(u^ǫ)^∗−L

∞

⇀ u.z − v.w

On introduit alors la représentation suggérée par le théorème I.6. Comme uǫ 7→ Uǫ = (uǫ, f (uǫ), η(uǫ), q(uǫ)) est une application continue, il existe une famille de mesures paramêtrées (νx,t)_x∈R,t∈R+ telles que:

       u(x, t) =^R_Rλ.dνx,t(λ) ≡< νx,t, λ >_M(Ω),C1 0(Ω) v(x, t) =< νx,t, f (λ) >_M(Ω),C1 0(Ω) w(x, t) =< νx,t, η(λ) >_M(Ω),C1 0(Ω) z(x, t) =< νx,t, q(λ) >_M(Ω),C1 0(Ω) Ce qui am`ene: < ν, U >= (u, v, w, z)

Notons que λ représente ici les valeurs possibles pour u(x, t), lorsque (x, t) parcourt Ω. On comprend donc que l’étalement du support de νx,test directement lié aux oscillations subies par la limite ǫ → 0 de la suite uǫ(x, t). La limite faible u(x, t) =< νx,t, λ > est alors l’expression de l’espérance de la variable aléatoire réelle de densité νx,t(λ). La convergence forte correspond alors à la concentration de cette densité en un point.

Par construction de νx,t, on a: Q(U^ǫ)^∗−L ∞ ⇀ Q =< ν, Q(U ) >=< ν, λq(λ)− f(λ)η(λ) > On a aussi Q(Uǫ) ^∗−L ∞

⇀ Q(U ) = Q(< ν, U >), puisque Q est faiblement continue pour (Uǫ)_ǫ→0. On obtient alors la propri´et´e fondamentale de Q(U ):

< ν, Q(U ) > = Q(< ν, U >) Ceci s’´ecrit:

< ν, λ.q(λ) − f(λ).η(λ) > =< ν, λ >< ν, q(λ) > − < ν, f(λ) >< ν, η(λ) > D’o`u on d´eduit:

< ν, λ.q(λ) − f(λ).η(λ) > = u < ν, q(λ) > −v < ν, η(λ) > Par lin´earit´e de < ν, . >, on obtient:

< ν, (λ − u)q(λ) − (f(λ) − v)η(λ) > = 0 (2.4) On choisit maintenant les entropies faibles de Kruzkov: η(λ) = |λ − u|

Du fait de la relation q′(λ) = η′(λ).f′(λ), on a: q(λ) = sgn(λ − u)(f(λ) − f(u)). Ceci implique: (λ − u)q(λ) − (f(λ) − v)η(λ) = (v − f(u))|λ − u|

Et l’expression (2.4) devient alors:

< ν, |λ − u| > (v − f(u)) = 0 On obtient finalement l’alternative suivante pour tout (x, t) ∈ Ω:

- ou bien < ν, |λ − u| > 6= 0 et v = f(u) - ou bien < ν, |λ − u| > = 0

La seconde possibilit´e s’´ecrit encore: Z

R|λ − u(x, t)|dνx,t(λ) ≡ 0 Ceci implique:

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Convergence forte et second membre

Pour mettre en évidence la convergence forte, on va montrer que la convexité de la fonction de flux implique que ν est réduite à une masse de Dirac en établissant que son support est contenu dans un intervalle ou f est affine. Pour cela, on suppose que νx,t est une mesure de probabilité admettant une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. Comme dans ce cas v = f (u), la relation (2.4) devient:

< ν, (λ − u)q(λ) − (f(λ) − f(u))η(λ) > = 0

La densité de νx,t s’exprime grâce à une fonction R → R , on note l’enveloppe convexe de son support (qui est borné puisque les uǫ vérifient un principe du maximum):

co(supp{νx,t(λ)}) = [a, b] On introduit les mesures suivantes `a support dans [a, b]:

r′(λ) = (λ − u)ν s′(λ) = (f (λ) − f(u))ν La relation (2.4) est donc ´equivalente `a:

< r′(λ), q(λ) > − < s′(λ), η(λ) >= 0 (2.5) En vue d’int´egrer par parties cette expression, on introduit les fonctions suivantes:

r(x) =^R_a^x(λ − u)dν(λ) s(x) =^R_a^x(f (λ) − f(u))dν(λ)

Le point important est d’assurer que r(a) = r(b) = s(a) = s(b) = 0. On a r(a) = s(a) = 0 puisque l’on a supposé que ν était à densité. D’autre part, on a:

r(b) = Z b a (λ − u)dν(λ) = Z Rλdν(λ) − u |ν| |{z} =1 =< ν, λ > −u = 0 Pour la mˆeme raison, on a s(b) = 0. Une int´egration par parties dans (2.5) nous donne donc:

− < r(λ), q^′(λ) | {z }

η′(λ)f′(λ)

> + < s(λ), η^′(λ) >= 0

Ceci se r´e´ecrit sous la forme:

< (s − r.f^′)(λ), η^′(λ) > = 0

Ceci étant valable pour toute fonction croissante η′. Par linéarité, cette relation s’étend à toute fonction régulière, d’où on déduit:

s − r.f^′ ≡ 0

D’autre part, on a par construction r′(λ).[f (λ) − f(u)] − s′(λ).[λ − u] = 0 au sens des mesures. D’o`u: d

dλ(r(λ).[f (λ) − f(u)] − s(λ).[λ − u]) = 0 Comme r(a) = s(a) = 0 et que s(λ) = r(λ)f′(λ), il vient:

r(λ)[(f (λ) − f(u)) − f^′(λ)(λ − u)] = 0

Comme par construction de r, on a r(λ) 6= 0 si λ ∈]a, b[ (sinon le théorème de Rolle assurerait que la fonction linéaire r′(λ) s’annulle en deux points de ]a, b[), on déduit de cette expression que:

Chapitre I-2 M´ethode de viscosit´e et existence page 28

Pour conclure, comme on a supposé f strictement convexe, il n’existe aucun intervalle non trivial sur lequel f est affine. Donc le support de ν est réduit à un point pour tout (x, t). On termine en écrivant:

νx,t(λ) = δu(x,t)(λ) d’o`u u^ǫ(x, t)^ǫ→0→ u(x, t) dans L^p(p < +∞) et:

(f (u^ǫ), η(u^ǫ), q(u^ǫ))^∗−L

∞

⇀ (f (u), η(u), q(u)) dans L^∞*-faible

Dans le document Analyse et approximation numérique de systèmes hyperboliques de lois de conservation avec termes sources. Application aux équations d'Euler et à un modèle simplifié d'écoulements diphasiques. (Page 33-38)