6 Le cas commutatif - Une classe d'espaces préhomogènes de type parabolique faiblement sphériqu

Dans cette section, on traite les équations fonctionnelles des préhomogènes de type com-mutatifs, bien que ces résultats soient connus en grande partie, comme cela a été rappelé dans l’introduction, afin de les exprimer dans nos notations et normalisations pour une utilisation ultérieure (cf. §8.3 qui traite du cas exceptionnel (E₇, α₂) et remarque 5.2.3).

Notation : φétant une forme quadratique non dégénérée, on note simplement γ(φ) la con-stanteγ(τ ◦φ) (cf.§3.6.2).

6.1 Structure 6.1.1 Rappels

On considère le sous-groupe parabolique très spécial standard défini dans le lemme 2.3.2, P₀ =P(h_λ₁, ..., h_λ_n),{λ_n, ..., λ₁}étant l’ensemble maximal canonique de racines orthogonales de ∆1 (l’ordre est inversé).

On rappelle que le système de racines obtenu à partir des restrictions non nulles de ∆ à t0 = ⊕1≤i≤nFh_λ_i est de type Cn, qu’il existe une algèbre déployée, notée ˜g, admettant t0

comme sous-alg`ebre de Cartan (prop.2.2.1 [Mu 3]) et que : B˜ =− d_nB

2B(H0, H0)(=− 2d₁B B(h_λ_i, h_λ_i)),

(d_n=nd₁ lemme 6.1.4) ainsi pour toute racine longue αde ∆ on a ˜B(X_α, X_−α) =d₁. Pour i 6= j, soit Eu,vî,j = {x ∈ g | [h_λ_i, x] = ux , [h_λ_j, x] = vx , [h_λ_k, x] = 0 pour 1≤k6=i, j ≤n}le sous espace associé à la racine uλ_i+vλ_j

2 de R (u, v =±1).

Proposition 6.1.1 1. Pour1≤k6=r ≤n, E_1,1^k,r 6={0}et il existe un élément deAute(g0), g_k,r dont la restriction à ⊕1≤i≤ng^λⁱ soit une involution qui se réduise à l’identité sur

⊕1≤i6=k,r≤ng^λⁱ et g_k,r(g^λ^k) =g^λ^r.

2. Il existe un syst`eme de Chevalley ,(Xµ, hµ, X−µ)µ∈R, de(˜g,t0)tel que toutes les formes quadratiques fλi−λj

d´efinies sur E_−1,1^i,j par fλi−λj 2

(A) = ¹₂B(ad(A)˜ ²(X_λ_i), X_−λ_j) sont

´equivalentes et repr´esentent d₁.

3. Dans le cas r´eel, on peut supposer de plus queΘ(X_λ_i) =X_−λ_i, i= 1, ..., n, Θ´etant une involution de Cartan telle que Θ/a=−id.

4. Pour toute orbite non r´eduite `a {0} de Gdans g1,il existe j∈ {1, ..., n} telle que cette orbite rencontre ⊕1≤i≤j(g^λⁱ− {0}).

Démonstration: 1)-2) C’est la démonstration de la prop.4.1.1 [Mu 3]) qui convient également lorsque dim(g^λⁱ)>1 pour i= 1, ..., n (cf.également la démonstration du 1) du lemme 6.1.7).

3) LorsqueF=Ron a [Θ(X_λ_i), X_λ_i] =c_ih_λ_i avec c_i = ˜B(Θ(X_λ_i), X_λ_i)>0 donc ( 1

√c_iX_λ_i, h_λ_i,Θ( 1

√c_iX_λ_i))

est encore unsl₂-triplet d’o`u le r´esultat (cf.lemme 1.1.7 de [Bo-Ru 2]).

4) est une cons´equence de la prop.5.2.2 de [Mu 2] et du 1) de cette proposition.

On normalise les invariants relatifs fondamentaux par : i= 1, ..., n : F_i( X

1≤j≤n

X_λ_j) = 1 donc F_i^∗( X

1≤j≤n

X_−λ_j) = 1 pour i= 1, ..., n.

On note E := E_−1,1^1,2 , f := fλ1−λ2 2

, d est la dimension commune des sous-espaces E_±1,±1^i,j , et δ:= (−1)^[^d²^].discriminant def.

On rappelle que :

g = g−1⊕g0⊕g1

g−1 = ⊕^1≤i≤ng^−λⁱ⊕^1≤i<j≤nE_−1,−1î,j g₁ = ⊕1≤i≤ng^λⁱ⊕1≤i<j≤nE_1,1î,j g0 = E(0)⊕1≤i<j≤n E_−1,1î,j ⊕E_1,−1î,j E(0) = ∩^1≤i≤nE₀(h_λ_i).

En raison des relations de commutation :

W_t₀ =⊕1≤i≤n (g^λⁱ− {0}) (resp.W_t^∗₀ =⊕1≤i≤n (g^−λⁱ− {0}) ) et F/Wt₀ =Q

1≤i≤nG_i (resp.F^∗/W_t^∗₀ =Q

1≤i≤nG^∗_i),G_i étant l’invariant relatif fondamental du préhomogène (E₀(h_λ_i)∩g₀,g^λⁱ) normalisé parG_i(X_λ_i) = 1 doncG^∗_i,invariant relatif fon-damental du préhomogène dual, vérifieG^∗_i(X_−λ_i) = 1 (G₁ =F₁ etF₁^∗=G^∗_n).

Définition 6.1.2 Le préhomogène (g0,g1)est dit presque déployé si les sous-espaces radiciels g^λ^r, r= 1, ..., n sont de dimension 1.

Lorsque ^λ²^−λ₂ ¹ ∈ ∆, f₀ est la restriction de f `a g^λ²^−λ² ¹ et e est la dimension de g^λ²^−λ² ¹, on rappelle que :

Lemme 6.1.3 1. f repr´esente d₁. 2. g est de rang n⇔ f est anisotrope.

3. Lorsque (g₀,g₁) est presque d´eploy´e :

i) f ∼f₀⊕f₁, f₀ est anisotrope et f₁ est hyperbolique.

ii) Lorsque n≥2, F₂ ∼ −f⊕ la forme hyperbolique `a deux variables.

iii) Lorsque e= 0 ou biene=d, f etaf, a∈F^∗,sont équivalentes⇔ aest un élément de f(E)^∗ à l’exception du cas d= 3 lorsque F est un corps p−adique.

iv) f(E)^∗ ⊂ ∩1≤i≤n−1χ_i(P₀).

D´emonstration: 1. r´esulte du 2. de la prop.6.1.1.

2. r´esulte de la d´emonstration du 2) du lemme 4.1.3 de [Mu 3].

3.i) Ce résultat, bien connu dans le cas réel (lemme 2-22 p.49, [Bo-Ru 2]), résulte d’un simple calcul puisque pourµ∈∆−1,1={µ∈∆|n(µ, λ2) =−n(µ, λ1) = 1}on aµ^′=−(µ+λ1−λ2)∈

∆−1,1 or :

s_µ(λ₁)(h_λ₂) = (λ₁−n(λ₁, µ)µ)(h_λ₂) =−n(λ₁, µ)≤2,

et l’´egalit´e : n(λ₁, µ) =−2⇒s_µ(λ₁) =λ₂ doncµ= ^λ²^−λ₂ ¹ est une racine courte, ainsi :

∆_−1,1=

({µ_i , µ^′_i:=−(µ_i+λ₁−λ₂), i= 1, ..., l₁}si e= 0

{^λ²^−λ₂ ¹, µ_i , µ^′_i :=−(µ_i+λ₁−λ₂), i= 1, ..., l₁}si e >0, les racines {µ_i , µ^′_i, i= 1, ..., l₁}ayant mˆeme longueur que λ₁.

Par dualit´e de la forme de Killing, on a pour A₀ ∈g^λ²^−λ² ¹ et x_i, y_i ∈F, i= 1, ..., l₁ : f(

i=1

(x_iX_µ_i +y_iX_µ^′

i) +A₀) =f(A₀) +

i=1

x_iy_iB([X˜ _µ_i, X_λ₁],([X_µ^′

i, X_−λ₂]),

Tout A ∈ g^λ²^−λ² ¹ − {0} se compl`ete en 1 sl₂-triplet (A, h_λ₂ −h_λ₁, B), B ∈ g^λ¹^−λ² ² − {0}, doncad(A)² est une bijection de g^λ¹ sur g^λ² qui sont de dimension 1 d’o`u ∃x ∈ F^∗ tel que ad(A)²(X_λ₁) =xX_λ₂ etf(A) = ^x₂ 6= 0.

3.ii) Soitx=a₁X_λ₁+a₂X_λ₂+y, y∈E_1,1^1,1, a₂ 6= 0,alors par le calcul habituel (cf.d´emonstration du lemme 1.1.1) :

x=exp(ad(A))(a₁X_λ₁+bX_λ₂) avecb=a₂−B(ad(y)²(X−λ1, X−λ2) 2a₁B(X_λ₂, X_−λ₂) , donc avec les normalisations choisies :

F₂(x) =a₁b=a₁a₂−f(θ_X_λ

1(1)(y)).

3)iii) Commef ∼f₁ ou bien f ∼f₀, 3.iii) est évident dans le cas réel puisque f₀ est définie positive et dans le casp−adique car alors d≤4 et f représente 1.

3. iv) r´esulte de la d´emonstration du 1) du lemme 4.1.3 de [Mu 3].

Lemme 6.1.4 Soitd= 2dim(g₁)−d_n

(d_n−1)d_n alors : d= (d1)²d , N = dim(g1)

d_n = d

2(nd1−1) + 1 et d_k=kd1 pour k= 1, ..., n.

Démonstration: 1) Comme tous les sous-espaces g^λ^j, j = 1, ..., n, sont conjugués et qu’ils commutent, la relation sur les degrés des invariants s’établit par récurrence sur n (cf.lemme 1.4.7).

2) Lorsque (g₀,g₁) est quasi-déployé, F_k est de degré k pour k = 1, ..., n (prop.3.2 de [Mu 3]) doncd₁= 1 etd=d.

3) Lorsque dim(g^λ¹) >1, sur une extension algébrique convenable de dimension finie de F,notée E,g:=g⊗^FEest déployée, on a alors les égalités suivantes :

d_n = nd₁

dim(g^λ¹) = d₁+(d₁−1)d₁

2 d

dim(g₁) = d_n+(d_n−1)d_n

2 d

dim(g₁) = ndim(g^λ¹) + (n−1)n

2 d d’o`u le r´esultat.

Pour des raisons de normalisations, on redonne le résultat suivant déjà connu ([Fa-Ko],[Bo-Ru 2]) :

Lemme 6.1.5 F=R:le polynôme de Bernstein associé à (P₀,g₁) est donné par : (s₁, ...s_n)∈Cⁿ : b(s₁, ...s_n) =

n−1Y

k=0 dY1−1

j=0

n−k≤i≤n

s_i+ d

2(j+d₁k) .

D´emonstration: On applique la proposition 3.7.3 en notant que par le choix de la nor-malisation deB on a :

k= 1, ..., n B(e X

1≤i≤k

h_λ_i, X

1≤i≤k

h_λ_i) =−2d_k, et on a d₁ = 1 ou 2 donc pour (s₁, ...s_n)∈Cⁿon a :

b(s₁, ...s_n) = (C^−d¹)ⁿ

n−1Y

k=0 dY1−1

j=0

n−k≤i≤n

s_i+ d

2(j+d₁k) avec :

• lorsqued1 = 1,C =B(Xe _λ₁, X−λi) = 1

• lorsqued₁ = 2 ,C=Be(^h^λ₂¹,^h^λ₂¹) =−1 (remarque 3.6.6).

Remarque 6.1.6 Rappelons la terminologie utilis´ee dans [Bo-Ru 2]), on dit que :

• (g₀,g1) est de type I lorsqu’il est presque d´eploy´e et f est anisotrope ⇔ rang(g) =d_n. On a donc e=d et d≤4 dans le cas p−adique.

• (g₀,g₁) est de type II lorsqu’il est presque déployé et f est isotrope ⇔ rang(g)> d_n. On a donc γ(f) =γ(f₀), e < d et g est déployée ⇔ e≤1 (démonstration du lemme 6.1.3).

e= 0 lorsque n≥3 (cf. tableau 1).

• (g₀,g₁) est de type III lorsqu’il n’est pas presque d´eploy´e ⇔ rang(g)< d_n. Pouru∈ F^∗/F^∗2n

, O_u etO_u^∗ ont été définis dans le §3.5.

6.1.2 Le type III

Par les tables de [Wa] et [Ve] (cf. ´egalement le tableau 1 et les tables de [Bo-Ru 2]p.222-224), les cas possibles, en dehors du cas o`u gest de rang 1,sont :

i) (∆, α₀) = (A2nm−1, α_nm) et (∆, λ₀) = (A2n−1, α_n) avec m≥2 ii) (∆, α₀) = (C_2n, α_2n) et (∆, λ₀) = (C_n, α_n).

Les démonstrations sont faites cas par cas ainsi dans le cas ii) lorsqueF est un corps P-adique, on supposera la caractéristique résiduelle différente de 2,pour des raisons techniques.

Lemme 6.1.7 Soitx₀ ∈g^λ¹,on suppose que l’application de E dansg^λ² d´efinie parad(A)²(x₀) est surjective alors :

1. Les orbites de G et de Ker(χ_n) dans g1−g^′₁ sont les mˆemes et ont pour repr´esentants : 0,P

1≤j≤iX_λ_j, i= 1, .., n−1.

2. Dans le préhomogène(U(Fh_λ_n)₀,U(Fh_λ_n)₁),(Aut₀(U(Fh_λ_n))_h_n−1 a n orbites de représentants : 0,P

1≤j≤iX_λ_j, i= 1, .., n−1 et P_⊕_{1≤j≤n−1}Fh_λj a une seule orbite dans U(Fh_λ_n)₁”.

Démonstration: 1) Tout élémentA∈E_−1,1^k,r pour lequel il existex∈g^λ^ktel quead(A)²(x)6= 0 se complète en unsl₂-triplet (A, h_λ_r−h_λ_k, B) avecB ∈E_1,−1^k,r (cf. démonstration du lemme 2.2.2 de [Mu 3]) par conséquent l’automorphisme élémentaire :

g_A=expad(B)expad(A)expad(B).g_k,r ∈G_t₀

se réduit à l’identité sur⊕1≤j≤n,j6=k,rg^λ^j,surg^λ^j (resp.g^λ^k) à ¹₂ad(A)²◦g_k,r (resp. ¹₂ad(B)²◦ g_k,r).

2) Soit x ∈ g₁−g^′₁,on peut supposer que x = P

1≤i≤jx_i, x_i ∈ g^λⁱ − {0} (4 prop.6.1.1).

Soit i ∈ {1, ..., j}, par 1) il existe A_i ∈ E_1,−1î,n et une involution g_A_i ∈ Gt0 ∩G_e réduite à l’identité sur ⊕1≤k≤n−1,k6=ig^λ^k telle que g_A_i(x) = P

1≤k≤j,k6=ix_k+X_λ_i puisque l’application est surjective d’o`u 1. et 2. puisque la restriction desg_A_i `aU(Fh_λ_n) est dansAut₀(U(Fh_λ_n)).

Proposition 6.1.8 1. Dans le cas r´eel ou bien dans le cas P-adique lorsque (∆, α₀) = (A_2nm−1, α_nm) et (∆, λ₀) = (A_2n−1, α_n) avec m≥2, P₀ a une seule orbite dans g”₁ et G a n+ 1 orbites dans g1 de repr´esentants : 0,P

1≤j≤iX_λ_j, i = 1, .., n. Les orbites de Ker(χ_n) dans g₁−g^′₁ sont les mˆemes que celles de G.

2. LorsqueFest un corps P-adique et que(∆, α₀) = (C_2n, α_2n) et(∆, λ₀) = (C_n, α_n), G a trois orbites dans g^′₁ lorsque n= 1et pour n≥2 il y a quatre orbites en bijection avec F^∗/F^∗2.

Les orbites de P₀ dans g”₁ (resp.g”₋₁) sont donn´ees par O_u (resp.O_u^∗) avecu d´ecrivant (F₁(g^λ¹ − {0})/F^∗2)ⁿ.

Démonstration: 1) Lorsqueg est de rang 1,on montre que Ker(χ₁) agit transitivement sur {x∈g₁|F₁(x) =u}, u∈F^∗ étant représenté par F₁.

a) Lorsque F1 est une forme quadratique (donc anisotrope), on sait que SO(P) agit transitivement sur {x ∈g₁/P(x) =t}.Soit U le sous-groupe alg´ebrique connexe de Aut(g), d’alg`ebre de Lie g^′₀ = [g₀,g0],alorsU ⊂(Kerχ₁)⁰.

On considère l’application de restriction, notée f, de U dans O(P), qui à g de U associe la restriction de g à g₁. f étant continue , f(U) est un sous-groupe connexe de O(P) donc un sous-groupe deSO(P) , comme le noyau def est réduit à l’identité , on a :

dim L(U) =dim L(f(U)) =dim g^′₀ Il suffit donc de v´erifier que

(1) dim g^′₀=dim (L(SO(P)))

pour avoir f(U) =SO(P),ainsi tout élément deSO(P) se prolonge en un élément deAut₀(g) normalisantg1, donc par dualité , il normalise égalementg−1,et par engendrement également g.Ainsi tout élément deSO(P) se prolonge en un élément deKer(χ₁).

Notons que lorsque F = R, U est un groupe compact donc f(U) également ainsi f(U) est un sous-groupe analytique compact deSO(P),donc f(U) est un sous-groupe algébrique de SO(P) ayant la même algèbre de Lie doncf(U) =SO(P).

dim (L(SO(P))) = dim(g₁)(dim(g₁)−1) 2

La vérification de (1) est immédiate à l’aide des tables de [Wa], [Ve] et du tableau 1,en effet les diagrammes de Satake correspondants aux cas absolument irréductibles, commutatifs, de F-rang un, très réguliers, ayant un invariant relatif fondamental de degré deux, sont les suivants :

• ⊚ • dim g^′₀ = 6 , dimg₁= 4,

⊚ • • . . . .• •>• dim (g^′₀) = (n−1)(2n−1) , dim(g1) = 2n−1,

⊚ • • . . . .• • •

•

• dim (g^′₀) = (n−1)(2n−3) , dim(g₁) = 2(n−1),

⊚>• dim (g^′₀) =dim (g₁) = 3.

b) Lorsque F₁ n’est pas une forme quadratique , g est isomorphe à sl₂(D), D étant une algèbre à division etF est un corps p-adique.

Donnons une brève description de (g₀,g₁) lorsqueg s’identifie à sl_2n(D).Ce cas est le même quesl_2n(F).On a

H₀ =

I_n O_n 0_n −I_n

g₁={

0_n A_n 0_n 0_n

avec A_n∈M_n×n(D)} g₋₁={

0_n 0_n B_n 0_n

avec B_n∈M_n×n(D)}

U(F(2H₀−h_λ_n−i+1) est l’ensemble des matrices ayant tous ses éléments nuls sauf ceux dont les indices des lignes et des colonnes appartiennent à l’ensemble {n−i+ 1, n+i}. E est l’ensemble des matrices ayant tous ses éléments nuls sauf celui situé sur la n−1 ligne et n colonne ou bien celui situé sur lan+ 1 ligne etn+ 2 colonne.

Vérifions que l’hypothèse du lemme 6.1.6 est vérifiée et pour ceci on peut supposern= 2.

On a : applica-tion est surjective surg^λ² lorsquex est non nul. On peut appliquer au pr´ehomog`ene (g₀,g₁) le 1) du lemme 6.1.6.

Comme on peut toujours plongersl_2n(D) danssl_2n+2(D) de la mani`ere suivante : A→A˜= La d´emonstration se trouve dans le §6.1.3.

6.1.3 Le cas (C2n, α2n) de type III

Le cas trait´e correspond au diagramme de Satake suivant : • ◦ • . . . .◦ •<⊚

Lorsque F est un corps local non archimédien, on suppose la caractéristique résiduelle différente de 2.

• La description du cas (C_l, α_l) déployé g s’identifie à l’ensemble des matrices de la forme :

A B C D

oùA, B, C, D sont des matri-ces carrées d’ordre l telles que D = −^tA, B et C sont symétriques.(cf.N.Jacobson,Lie Alge-bras,Interscience,1962)

La forme de Killing est donn´ee par la relation suivante :B(U, V) = (2l+ 2)trace(U.V) 2H₀ est alors donn´e par : 2H₀=

I_l 0_l 0_l −I_l

, O_létant la matrice carrée d’ordreldont tous les coefficients sont nuls et I_l la matrice carrée d’ordre l dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la première diagonale qui sont égaux à 1

Un calcul facile donne : g₁ ={

0_l U 0_l 0_l

U =^tU ∈M_l,l} g₋₁ ={

0_l 0_l U_l 0_l

U =^tU ∈M_l,l} On identifie ainsi g₁ etg₋₁ `a l’espace des matrices sym´etriques ayant l lignes.

L’action deAut(g)_H₀ =Aut₀(g)_H₀ ([Bou 2], chapitre 8, n^◦3, corollaire 2) (resp.G_e) s’identifie

a l’action de l’ensemble des matrices :

{g=

A 0_l 0_l µ^tA⁻¹

avec µ∈F^∗ A inversible} (resp : µ= 1 etdet(A) = 1) agissant par la conjugaison usuelle , ce qui donne avec les notations ci-dessus :

g(U) =µ⁻¹AU(^tA)

on a ainsi, modulo l’action du centre, l’action usuelle deGl_l(F) sur les matrices sym´etriques.

a peut ˆetre choisi comme l’ensemble des matrices diagonales de g, et P₀ correspond aux

éléments g pour lesquels la matrice A est triangulaire supérieure.

PourX ∈Ml,l, X_i désigne la matrice tronquée ài,lignes eticolonnes obtenues en conservant les lignes et les colonnes comprises entrel−i+ 1 etl.

Les invariants relatifs fondamentaux (non normalisés) et les caractères associés sont alors donnés par :

F_i(U) =det(U_i) χ(g) =µ^−l(det(A_i))².

• La description du cas (C_2n, α_2n) de type III

SoitEl’extension galoisienne sur laquelleg se d´eploie , on aE=F(√

ǫ), ǫétant une unité qui n’est pas un carré ([Ve]).

On note par x la conjugaison de x dansEet (., .) le symbole de Hilbert d´efini sur F^∗×F^∗.

Si on identifieg⊗^FEà l’espace des matrices donné précédemment, g s’identifie alors à {X ∈g⊗^FE / T XT⁻¹=X} avec

T =

J 0_l 0_l ^tJ

, J =







I_β 0 0 0 I_β 0 ... ... ...

0 ...0 I_β





 , I_β =

0 β 1 0

avec (β, ǫ) =−1.

On peut remarquer queJ² =βId.

En particulier g1 (resp.g−1) s’identifie à l’espace des matrices symétriques de M2n,2n(E) vérifiant la relation

JU =U(^tJ) (resp. (^tJ)U =U J )

On note avec un Een indice, tous les groupes pr´ec´edents provenants de g⊗^FE.

Commeg±1 engendrentg,on a

GE∩Aut(g) ={g∈GE /g(g1)⊂g1} et son action s’identifie `a l’action des matrices

{g=

A 0_l 0_l µ^tA⁻¹

avec µ∈F^∗ , JA=±AJ A inversible} agissant surg₁ (resp.g₋₁) apr`es identification matricielle par :

g(U) =µ⁻¹AU(^tA) (resp.g(U) =µ^tA⁻¹U A⁻¹ ).

Notons que

G^_2n(E) ={A∈G_2n(E) JA=±AJ}=G₁∪√

ǫG₁ avec G₁={A∈G_2n(E) JA=AJ}. Donnons la description de chaque h_λ_n−i+1,1≤i≤n, ils sont repr´esent´es par les matrices

h_λ_n−i+1 = (h⁽ⁱ⁾_k,l) avec

h⁽ⁱ⁾_k,l = 0 si k6=l ou si k=l /∈ {2i−1,2i,2(n+i)−1,2(n+i)} h⁽ⁱ⁾_{2i−1,2i−1} =h⁽ⁱ⁾_2i,2i = 1 =−h⁽ⁱ⁾2(n+i)−1,2(n+i)−1 =−h⁽ⁱ⁾2(n+i),2(n+i).

La sous-algèbre U(F(2H₀−h_λ_n−i+1) correspond aux matrices U⁽ⁱ⁾de gdont tous les éléments u_k,l sont nuls , sauf ceux tels que k et l appartiennent à l’ensemble {2i−1,2i,2(n+i)− 1,2(n+i)}.Les sous-espacesg^λⁿ⁻ⁱ⁺¹ ( resp.g^−λⁿ⁻ⁱ⁺¹) correspondants sont les matricesU⁽ⁱ⁾ de g₁ dont tous les éléments u_k,l sont nuls , sauf ceux tels quek etl appartiennent à l’ensemble {2i−1,2i} ( resp.{2(n+i)−1,2(n+i)}). En particulier, l’écriture sous forme de matrices (2,2) donne

pour g^λⁱ : D={X_a,b=

βa b b a

avec a∈E b∈F}

pour g^−λⁱ : D^′={Y_a,b=

La normalisation des invariants relatifs fondamentaux d´epend du choix dusl₂-triplet de base : (X_λ₁, h_λ₁, X−λ1).Dans cet exemple on convient de prendre :

X_λ₁ correspond à X_0,1 alors X_−λ₁ correspond à Y_0,−1 ainsi à l’identification matricielle près :

F_U(F(2H0−hλ1))(X_a,b) =−det(X_a,b) et F_U(^∗F(2H0−hλ1))(Y_a,b) =−det(Y_a,b)

c’est à dire que l’un des coefficients de la forme quadratique anisotrope à 3 variables et réduite sous forme de carrés, est un carré alors ǫ=−discriminant(F₁).

G_t₀ correspond aux matrices dont les ´el´ementsAsont de la forme :A=



(resp.P₀correspond aux matrices dont les ´el´ementsAsont de la forme :A=

 toute matrice inversible à 2 lignes et 2 colonnes vérifiant l’égalité I_βA =AI_β s’étend en un

élément Ã par :

g^λ¹ ( resp.g^−λ¹) correspond au sous-ensemble précédent dont tous les éléments sont nuls sauf peut-êtreB₂( resp.C₂).U(F(h₁) (resp.U(F(h₂) ) correspond au sous-ensemble précédent dont tous les éléments sont nuls sauf peut-être ceux qui portent un indice 1 ( resp. 2). E=E_−1,1^1,2 correspond à l’ensemble des matrices représenté parA3.

L’action deEsurg^λ¹ définie par ¹₂ad( )² est représentée matriciellement parB₁ :=A₃B₂(^tA₃) lorsque l’élément de E est représenté par A₃,celui deg^λ¹ par B₂ et celui de g^λ² parB₁. Pour x∈g^λ¹, y∈g^−λ²,la forme quadratiquef_x,y est donnée dans la description des matrices ci-dessus par :

X ∈D Y ∈D^′ A∈H f_X,Y(A) =cste.Trace(AX(^tA)Y) avec H={

a βb b a

a, b∈E}=G₁∪ {

0 0 0 0

• On rappelle que les orbites du cas de rang 1, (C₂, α₂),sont en bijection avec F₁(g^λ¹ − 0)/F^∗2.

LorsqueFest un corpsP-adique, les représentants deF₁(g^λ¹−0)/F^∗2contiennent{1, β, ǫβ},il y a égalité lorsque la caractéristique résiduelle est différente de 2 etX0,1, X1,0, Xα,0 (resp.Y0,1, Y_1,0, Y_α,0),avec αα=ǫ,sont des représentants des orbites non réduites à 0 dansD(resp.D^′).

De plus, comme le produit de deux éléments deF₁(g^λ¹ −0)/F^∗2 décrit F^∗/F^∗2, F_i décrit F^∗ pouri≥2.

Lorsque deux matrices X et X^′ de D vérifient l’égalité det(X) ≡ det(X^′) (modulo F^∗2), il existeAdansG^₂(E)∩G₁tel quegX(^tg) =X^′ puisqueXetǫX sont dans la mêmeG₁−orbite et que X etX^′ sont dans la même G^₂(E) (cf. le cas de rang 1).

Soit x ∈ O_u suppos´e non vide, alors il existe g ∈ N₀ et x_i ∈ g^λⁱ, i = 1, ..., n, tels que x = g(P

1≤i≤nx_i) et G_i(x_i) ≡u_i (mod(F^∗2)) pour i= 1, ..., n, donc chaque u_i ∈G_i(g^λⁱ)^∗/F^∗2 = F1(g^λ¹)^∗/F^∗2 (toutes les formes quadratiquesGisont équivalentes àF1 par construction) d’où O_u est une seule P₀-orbite par le résultat de rang 1 rappelé ci-dessus et parce que chaque χ_i(P₀) =F^∗2.

• Fin de la d´emonstration du 2. de la proposition 6.1.7

Elle se fait par récurrence sur n, le cas n = 1 étant rappelé ci-dessus.Les orbites de G et de G₁ sont donc les mêmes. On peut toujours supposer que x et x^′ appartiennent à

⊕1≤i≤n(g^λⁱ−0) et on noteX_i (resp.X_i^′ ) les diff´erentes composantes. On a : (−1)ⁿFn(x) = Y

1≤i≤n

det(Xi)≡(−1)ⁿFn(x^′) = Y

1≤i≤n

det(X_i^′) (F^∗2)

Notons {ǫ_i , i = 1,2,3} = Image(F₁)/F^∗2 et soient n_i (resp. n^′_i) le nombre de composantes X_k ( resp.X_k^′ ) dex (resp. dex^′ ) telles que det(X_k)≡ −ǫi (F^∗2) ( res. det(X_k^′)≡ −ǫi (F^∗2)).

Comme on a supposé que la caractéristique résiduelle est différente de 2, et quen₁+n₂+n₃= n^′₁+n^′₂+n^′₃ =n, on obtient pour tout i:n_i≡n^′_i (modulo 2) , ainsi on a deux cas :

a) il existeitel quen_i≡n^′_i ≡1,il suffit alors d’appliquer le r´esultat du casn−1,car on peut toujours supposer queX₁ =X₁^′ ( cf. 1)prop.6.1.1).

b) Pour touti, on ani≡n^′_i≡0.Il reste alors à montrer que deux éléments de la forme X 0₂

02 X

Y 0₂ 02 Y

sont dans la même orbite lorsque det(X) det(Y) n’est pas un carré, ce qui termine la démonstration du casn= 2.Il suffit ensuite d’appliquer l’hypothèse de récurrence pour le cas n−2.

D´emonstration du casn= 2 :

i) Considérons le polynome du second degré, à coefficient dansF,défini par l(u, v) = det(uX−Y)−v²det(X) u, v ∈F

On peut l’´ecrire

l(u, v) = det(X)(u²−v²) + 2udet(X)C(X, Y) + det(Y)

= det(X)(u+C(X, Y))²−v²det(X) + det(Y)−det(X)C(X, Y)²

Comme la forme quadratiqueu²−v² est isotrope , elle repr´esente Fd’o`u il existe un couple (u, v) tel quel(u, v) = 0.

Soit (u, v) tel que det(uX−Y) =v²det(X), nécessairement uv 6= 0 car X et Y ne sont pas dans la même orbite ainsi il existe un élément B de GL^₂(E)∩G₁ tel que

Y =uX+B(uX)(^tB).

ii) SoitA la matrice deM_4,4(E) d´efinie par : A=

Id2 B

−X(^tB)X⁻¹ Id₂

alors :

uX 0₂ 0₂ uX

tA=

Y 0₂ 0₂ Y^′

avec Y^′ 6= 0₂

donc detA 6= 0 et det(Y) ≡ det(Y^′) (F^∗2), on vérifie facilement que A est un élément de

G^₄(E)∩G₁.

• Indiquons ´egalement les caract´eristiques def_x,y :

Lemme 6.1.9 La classe d’´equivalence de f_X,Y, X ∈ D−0, Y ∈ D^′−0, ne d´epend que de l’orbite deX dans D et de l’orbite de Y dans D^′ et f_X,Y a pour discriminant un.

Lorsque F=R, f ∼f_X,Y a pour signature (2,2).

LorsqueFest un corpsP-adique de caractéristique résiduelle différente de deux, l’invariant de Hasse de f_X,Y vaut −(δ₁,det(X).det(Y) ).(−det(X),−det(Y) ) = γ(f_X,Y), avec δ₁ =

−disc(F₁).

D´emonstration: Il suffit de faire la d´emonstration pour la forme quadratique f_X,Y(A) =cTrace(AX(^tA)Y) c6= 0 A∈H

Un calcul immédiat donnef_BX^t_B,^t_{CY C}(A) =f_X,Y(CAB) d’où la première assertion.

Le discriminant (noté ”disc”) de cette forme quadratique est un polynome en X et Y, rel-ativement invariant donc à Y ( resp. X) fixé, c’est un invariant relatif de g^λ¹ (resp. g^−λ² ) d’où

disc(f_X,Y) =cste.(det(X))^p.(det(Y))^q Comme

disc(tf_X,Y) = disc(f_tX,Y) = disc(f_X,tY) =t⁴disc(f_X,Y) on a p=q= 2 ainsif_X,Y a un discriminant constant qu’il reste `a calculer.

Rappelons que par normalisation, la forme quadratique anisotrope F₁ est ´equivalente `a X²+ aY²+bZ² avec disc(F₁)≡ab≡ −ǫ.

PrenonsX=X_0,1 etY =Y_0,1,le calcul donne :

f_X_0,1_,Y_0,1(A) = 2cste(aa+βbb) avec A=

a βb b a

d’o`u le discriminant de f_X,Y vaut 1.

1) Lorsque F=R, f ∼f_X,Y a pour signature (2,2).

2) LorsqueF est un corps P-adique de caractéristique résiduelle différente de deux, on a γ(f_X,Y) = h_X,Y, h_X,Y désignant l’invariant de Hasse de f_X,Y, il y a seulement deux classes d’équivalence de telles formes quadratiques selon qu’elle représente 0 (alorsh_X,Y = 1) ou non (alors hX,Y =−1) ([O’M]).

Soit h^′(X, Y) = −(ǫ,det(X) det(Y) ).(−det(X),−det(Y) ), on v´erifie que h_X,Y =h^′(X, Y) dans chaque cas.

On a

h^′(X_d,0, Y_d,0) =−(−βdd,−βdd) =−(−βdd,−1) =−(βdd,−1) et f_X_d,0_,Y_d,0(A) =βddf₁(a) +f₁(βdb) avec f₁(a) =f₁(a₁+√

ǫa₂) =a²+a²= 2(a²₁+ǫa²₂) d’où f_X_d,0_,Y_d,0 représente 0 si et seulement si il existe a dans E^∗ tel que −βddf₁(a) soit représenté parf₁ c’est à dire que

h_X_d,0_,Y_d,0 = (−βdd,−ǫ) =−(βdd,−1)

parce que la caractéristique résiduelle est différente de 2 ( rappelons que dans ce cas (−1,−1) = (ǫ,−1) = 1).

On a :

f_X_α,0_,Y_1,0(A) =βf₂(a) +f₂(βb) (resp.f_X_1,0_,Y_α,0(A) =βf₂(a) +f₂(βb) )

avecf₂(a) =αa²+αa².Apr`es r´eduction def₂,le calcul direct donneh_X_α,0_,Y_1,0 =h_X_1,0_,Y_α,0 = (β,−1) =h^′(X_α,0, Y_1,0) et

f_X_d,0_,Y_0,1(A) = 2β(dab+dab) (resp.f_X_0,1_,Y_d,1(A) = 2β(adb+adb) )

s’annule poura=d= 1 etb=√

ǫ donch_X_d,0_,Y_0,1 =h_X_0,1_,Y_d,0 = 1 =h^′(X_d,0, Y_0,1).

Remarque : La constante γ_I(k),J(r) donnée dans le ii) p.498 de la note aux CRAS Paris (I.Muller- Décomposition orbitale des espaces préhomogènes réguliers de type parabolique commutatif et application, t.303, Série I, n^◦11, 1986, p.495-498) est erronée puisqu’elle est

donn´ee parγ(fX,Y) donc dans les notations de cette note on aγ_I(k),J(r)=−(−D, a_I(k)a_J(r))(a_I(k), a_J(r)).

D´emonstration: 1) Pour le type III (C_n) on applique le lemme 6.1.9.

2) Lorsquetf_x,y ∼f_x,y∀t∈F^∗,on adpair etγ(tf_x,y) =γ(f_x,y) = ((−1)^d²disc(f_x,y), t)γ(f_x,y)

∀t∈F^∗,donc (−1)^d²disc(f_x,y)≡1≡δ (mod(F^∗2)).

Cette situation se produit :

• Dans le type III (A_n) ou bien le type III r´eel (cf.d´emonstration 2)3) de la prop.6.1.8 et le lemme 6.1.9), de plus f_x,y ∼f.

• Dans le type II avec e= 0 (i)3) du lemme 6.1.3) alors γ(f) = 1 (cf.remarque 6.1.6) et f_x,y∼f.

• Dans le cas p−adique de type I avec d≡0 (mod(4)) car alors d= 4 donc f repr´esente F^∗ ettf ∼f ∀t∈F^∗ (3) du lemme 6.1.3) d’o`u γ(f) =−1 [O’M].

3) Les autres r´esultats proviennent de la dualit´e pour la forme de Killing.

6.2 Equations fonctionnelles

On applique la proposition 5.3.1 dont les hypothèses sont vérifiées par le lemme 6.1.10 puisqueg₁ est commutative.

6.2.1 Le cas transitif

Th´eor`eme 6.2.1 Pour les types : i) I avec d= 4 dans le cas P−adique, ii) II avec e= 0,

iii) III r´eel,

iv) III (A_n) p−adique

1) AlorsP0 (resp.G) a une seule orbite dansg”1 et g”−1 (resp.g^′₁ et g^′₋₁) et χ₁(P₀) =...=χ_n(P₀) =F₁(g^λ¹)^∗ =

(R^∗+ pour le type III r´eel, F^∗ dans tous les autres cas.

2)∀f ∈S(g₁) et π= (π₁, ..., π_n)∈(cF^∗)ⁿ on a :

Z^∗(F(f);π) =a(π)Z(f;π^∗| |^−N¹ⁿ) avec a(π) =γ(f)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² Y

1≤j≤n

a⁽¹⁾(π_j...π_n| |^2d^d¹^(n−j)+1)

et a⁽¹⁾(π₁) =











ρ^′(π₁) pour i) et ii),

−2(2π)^−2s−^d⁸⁻²Γ(s+ 1)Γ(s+^d₈ + 1) sinπspour le type III r´eel avec π1=| |^s, (−1)^d¹⁻¹Q

0≤j≤d1−1ρ^′(π₁| |^j) pour le type III (A_n) p−adique.

Démonstration: 1) C’est la proposition 6.1.8 dans les cas III réel, alors F_i(g₁)≥0 pour i= 1, ..., n, et III (An) p−adique pour lequel Fi(g1) =Fpour i= 1, ..., n, puisque la norme d’une algèbre à division est surjective surF.

Dans les autres cas, les préhomogène sont presque déployés et on a f(E)^∗ = F^∗ = χi(Gt0) pouri= 1, ..., n.

En effet, (g₀,g1) apparait dans le tableau 3 de [Mu 3], à l’exception du cas où (g₀,g1) est de type (D_n, α₁) avecg déployée (type II avec e= 0 et n= 2).

Lorsque (g₀,g₁) est de type (D_n, α₁) avec g d´eploy´ee, soitt∈F^∗ et φl’homomorphisme de

∆ dansF^∗ défini par φ(α₁) =φ(α_n)⁻¹ =t, φ(α_i) = 1 pour 2≤i ≤n−1, il se prolonge en l’élément g_φ∈G_t₀ défini parg_φ/g^µ=φ(µ)Id/g^µ.

Dans les autres cas il existe un pr´ehomog`ene commutatif : (ge0,ge1,Hf₀,te0 = ⊕1≤i≤n+1Fh_λ_e

i), tel que g = U(Fh_e_λ

n+1) et Hf₀=H₀+h_λ_e

n+1

2 (cf.prop 4.2.1 de [Mu 3]) et on applique le 2.du lemme 6.1.7 ainsi que le lemme 6.1.3,iv.

2) Par récurrence sur n, le cas n= 1 étant connu puisqu’il est soit donné par l’équation fonctionnelle de Tate dans les cas I et II (avec Be(X_λ₁, X−λ₁) = 1), dans le cas III réel c’est l’équation fonctionnelle vérifiée par une forme quadratique définie positive (avecB(e h_λ₁

2 ,h_λ₁

2 ) =−1) et dans le cas III (A_n)p−adique, elle est d`ue `a Jaquet-Godement [Go-Ja] ; on applique ensuite la proposition 5.3.1 avec H=F^∗ etγ_k =γ(f)^k(n−k) (lemme 6.1.10).

Remarque : γ(f) = ±1, γ(f) =

(−1 dans le cas i,

1 dans les cas ii) et iii) (d´emonstration du lemme 6.1.10), on n’a pas cherch´e sa valeur dans le cas iv).

6.2.2 Le cas non transitif

Pour u= (u1, ..., un)∈(F^∗/F^∗2)ⁿ on note : p(u)_j :=

(1 pourj= 0

u₁...u_j pour j= 1, ..., n , p(u) :=p(u)_n eth(u) = Y

1≤i<j≤n

(u_i, u_j).

Th´eor`eme 6.2.2 Pour les types :

i) I r´eel et I p−adiqueavec d≤3 (alors d₁ = 1),

ii) II avec e >0 (alors d₁ = 1 et n= 2),

iii) III (C_2n, α_2n) p−adique de caractéristique résiduelle différente de 2 (alors d= 2d₁ = 4),

On a∀f ∈S(g₁) et π= (π₁, ..., π_n)∈(cF^∗)ⁿ (πe= (π₁π₂⁻¹, ..., π_n)) : 1. (v₁, ..., v_n)∈(F₁(g^λ¹)^∗/F^∗2)ⁿ :

Z_v^∗(F(f);π) =e X

u=(u1,...,un)∈(F1(g^λ¹)^∗/F^∗2)ⁿ

ea⁽ⁿ⁾_v,u(π) Z_u(f; (eπ)^∗| |^−N¹ⁿ) avec:

a⁽ⁿ⁾v,u(π) = Λn(v, u)Q

1≤i≤nC(πn−i+1| |^2d^d¹^(i−1)+1;vi, ui) avec Λ1(v, u) = 1et pour n≥2

Λ_n(v, u) =





 Q

1≤i<j≤nγ(u_iv_jf) dans les cas i) et ii), (−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² γ(F₁)ⁿ Q

1≤i<j≤n(δ₁, u_iv_j).(u_i, v_j)

dans le cas iii),

C(π;v, u) =









π(−1)ρ(π;−uv) dans les cas i) et ii), A¹

π,π| |¹²(v, u, δ₁) dans le cas iii).

2. Dans les cas i) et ii) avec dest pair :

Z^∗(F(f);π) =B(π)Z(f; (πn−1, ..., π₁, Y

1≤i≤n

π_i−1

.˜ω_δⁿ⁻¹.| |^−N) avec: B(π) =γ(f)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² Y

1≤j≤n

ρ^′(π_n−j+1...π_n.˜ω_δ^j−1| |^d²^(j−1)+1).

3. Dans les cas i) avecd= 1,on a : Z^∗(F(f);eπ) =C_n Y

1≤i≤n

π_i(−1) X

u∈(F^∗/F^∗2)ⁿ

ǫ(u) .eb⁽ⁿ⁾_u (π) Z_u(f; (eπ)^∗| |⁻ⁿ⁺¹² ⁾¹ⁿ) avec: eb⁽ⁿ⁾_u (π) =ρ(π_n| |) Y

1≤j≤[ⁿ⁻¹₂ ]

ρ(π_n−2j| |^j+1ω˜₍₋₁₎jp(u)2j) Y

1≤j≤[ⁿ₂]

h(π_n−2j+1| |^j+¹²ω˜₍₋₁₎jp(u)2j) et :

• lorsque F est un corps p− adique, soit pn=

(1 sin est pair , 0 sinon , alors :

C_n= (−1,−1)^[ⁿ²^]α(1)^[ⁿ²^]+⁽ⁿ⁻¹⁾ⁿ² ⁻⁽ⁿ⁻¹⁾² , ǫ(u) = (p(u),−1)^[ⁿ²^]h(u)ⁿα(p(u))^pⁿ

• lorsque F=R,soit q(u) le nombre de composantes n´egatives deu, alors : C_n=e⁻ⁱ^π⁴⁽⁽ⁿ⁻¹⁾ⁿ² ^+[ⁿ²^]) , ǫ(u) =i^(n−1)q(u)(−1)^[^q(u)² ^].

4. Dans le cas iii) avec π_i= ˜ω_a_i| |^sⁱ, i= 1, ..., n on a : Z^∗(F(f);eπ) =D_n X

u∈(F1(g^λ¹)^∗/F^∗2)ⁿ

(δ₁, p(u))ⁿ.α(p(u)).ec⁽ⁿ⁾_u (π)Z_u(f; (eπ)^∗| |⁻⁽ⁿ⁺¹²⁾¹ⁿ) avec:

D_n = γ(F₁)ⁿ(−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² e

c⁽ⁿ⁾u (π) = Q

1≤i≤nρ(π_n−i+1| |ⁱω˜_p(δ₁_u)_i−1)h(π_n−i+1| |ⁱ⁺¹²ω˜_p(δ₁_u)_i) et p(δ₁u)_i =

(1 si i= 0

δ₁ⁱu₁...u_i si i≥1.

5. Dans les cas i) et ii) avecn= 2et d impair, les orbites deP0 dans g”1 (resp.g”−1) sont en bijection avec F^∗/(F^∗)² et donn´ees par :

w∈F^∗/(F^∗)² : O^′_w=∪u∈F^∗/(F^∗)²O_(u,wu) (resp. O_w^∗^′ =∪u∈F^∗/(F^∗)²O_(u,wu)^∗ ) et ∀f ∈S(g₁) et π= (π₁, π₂)∈Fc^∗² (eπ= (π₁π⁻¹₂ , π₂)) :

Z^∗

Ov^∗′(F(f);π) =e X

u∈(F^∗/F^∗2)

a^′_v,u(π₁, π₂) Z_O^′_u(f; (π)e ^∗| |^−N1ⁿ) avec: e

a^′_v,u(π₁, π₂) =α(−1)γ(F₂)(π₁.π₂)(−1)A¹

π2| |,π1| |^d^{2 +1}(v, u, δ₂) , δ₂= (−1)^[^d²^+1]disc(F₂).

Démonstration: 1) On procède par récurrence sur n en appliquant la proposition 5.3.1 avec H =F^∗2 et γ_k donné dans le lemme 6.1.10 ; le cas n = 1 est rappelé dans le corollaire 3.6.3 et le théorème 3.6.5.

2) Lorsquedest pair, le r´esultat provient du calcul deP

v∈(F^∗/F∗2)ⁿZ_v^∗(F(f);π) en appliquant 1) ainsi que la relation γ(tf) = (δ, t)γ(f).

3) On a pourj≥2 : Y

1≤i≤j−1

α(u_iv_j) =γ(v_j(⊕1≤i≤j−1u_iX_i²)) = (zj−1, v_j)(α(v_j)α(−1))^p^jγj−1(u) avec :

γ_j(u) =γ(⊕1≤i≤ju_iX_i²) = Y

1≤i≤j

α(u_i) , z_j =

(1 sij= 0

(−1)^[^j²^]u1...uj pour j= 1, ..., n , , p_j =

(1 si j est pair, 0 si j est impair donc

ea⁽ⁿ⁾_v,u(π) = Y

1≤j≤n

π_j(−1) Y

1≤j≤n−1

γ_j(u) Y

1≤j≤n

C_j(u, v_j) avec

C_j(u, v_j) = (z_j−1, v_j)(α(v_j)α(−1))^p^jρ(π_n−j+1| |^j+1² ;−u_jv_j)

or Il ne reste plus qu’`a exprimer γ_n(u) suivant le corps F(cf.3.6.2).

4) On aF₁(g^λ¹)^∗ =F^∗−δ₁F^∗2 et

5) On aχ₂(P₀) =F^∗2 (prop.3.2,ii)[Mu 3]) etχ₁(P₀) =F^∗ d’où lesP₀-orbites dansg”±1. Le reste découle des égalités suivantes : δ₂ =−δ, γ(f) =γ(F₂) (ii) du lemme 6.1.3) et

a^′_v,u(π₁, π₂) = X

v1∈F^∗/F∗2

e a⁽²⁾_(v

1,vv1),(u1,uu1)(π₁, π₂).

Remarque :

1) Ce théorème donne les coefficients des équations fonctionnelles vérifiées par la fonction Zéta associée à l’action de P0 puisque chaque Ou (resp. O_u^∗) avec u ∈ (F1(g^λ¹)^∗/F^∗2)ⁿ, est une seuleP₀−orbite dans le cas iii).

Dans le cas non transitif avec n≥3 (donnés dans i), les orbites dépendent de la parité de n.

Pour éviter cette distinction, on considère le sous-groupe P₀^′ =G^′₀.N₀ deP₀ avec G^′₀ :={g∈ G_t₀|χ_i(g) ∈ f(E)^∗, i = 1, ..., n} , alors, à l’exception du cas d = 2 lorsque F est un corps P−adique, chaqueO_u (resp. O_u^∗) avec u∈(F^∗/F^∗2)ⁿ,est une seule P₀^′−orbite.

Lorsque F est un corpsP−adique etd= 2,les P₀^′-orbites sont donn´ees par : O^′_ǫ=∪u∈(ǫ)O_u (resp.O_ǫ^∗^′ =∪u∈(ǫ)O^∗_u) avec

ǫ= (ǫ₁, ..., ǫ_n)∈ {−1,1}ⁿ et (ǫ) ={u∈(F^∗/F^∗2)ⁿ,(δ, u_i) =ǫ_i, i= 1, ..., n}, et ∀f ∈S(g₁) et π= (π₁, ..., π_n)∈(cF^∗)ⁿ(eπ= (π₁π⁻¹₂ , ..., π_n)) on a :

Z_O^∗∗′

ǫ′(F(f);π) =e X

ǫ∈{−1,1}ⁿ

eb⁽ⁿ⁾_ǫ′,ǫ(π) ZOǫ(f; (eπ)^∗| |^−N¹ⁿ) avec :

eb⁽ⁿ⁾_ǫ′,ǫ(π) = (α(δ))ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² s(ǫ^′, ǫ) Yn i=1

C_δ(π_n−i+1| |ⁱ;ǫ^′_iǫ_i) ,

s(ǫ^′, ǫ) = Yn i=1

(ǫ^′_i)ⁱ⁻¹(ǫ_i)ⁿ⁻ⁱ ∈ {−1,1} etC_δ(π;t) = 1

2(ρ^′(π) +tρ^′(πω˜_δ)), t∈C lorsque ǫ= (ǫ₁, ..., ǫ_n) , ǫ^′ = (ǫ^′₁, ..., ǫ^′_n)

et la caractéristique résiduelle de F est différente de 2.

2) On retrouve également les coefficients des équations fonctionnelles vérifiées par la fonc-tion Zéta associée à l’action de G.

• Dans le cas p-adique, lorsque d= 2 et f est anisotrope, G a une seule orbite dans g^′₁ lorsque n est impair et pour n pair , les orbites sont s´epar´ees par les valeurs de (δ, F_n(x)) pour x∈g^′₁.

Pourǫ=±1 etf ∈S(g₁) (resp.g∈S(g₋₁) posonsZ_ǫ(f;π) =Z(f I_{u∈F^∗/F∗2 |(δ,u)=ǫ}(F_n(x));π) (resp. Z_ǫ^∗(f;π) =Z∗(gI_{u∈F^∗/F^∗2 |(δ,u)=ǫ}(F_n^∗(x));π) alors il est imm´ediat que pour ǫ^′=±1 on a :

Z_ǫ^∗′(F(f);π) = X

ǫ=±1

a_ǫ^′_,ǫ(π)Z_ǫ(f;π⁻¹|:|⁻N) avec a_ǫ^′_,ǫ(π) = ǫⁿ⁻¹

2 (B(π) +ǫǫ^′B(πω˜_δ))

etB(π) =γ(f)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾² Q

1≤j≤nρ^′(πω˜^j−1_δ | |^j) (2) th´eor`eme 6.2.2).

On peut remarquer que a_ǫ^′_,ǫ(˜ω_δπ) =ǫ.ǫ^′.a_ǫ^′_,ǫ(π).

Revenant au cas g´en´eral, soient O et O^∗ deux orbites de G dans g^′₁ et g^′₋₁ alors O et O^∗ contiennent des orbites O_u et O^∗_u de P₀ dans g”₁ et pour tout h ∈ S(g₋₁) et π ∈ cF^∗ on a Z_O^∗∗(h;π) =P

v|O^∗v⊂O^∗Z_v^∗(h; (id, ..., π)).

• Une premi`ere solution consiste `a calculer X

v|O_v^∗⊂O^∗

a⁽ⁿ⁾_v,u(π, ..., π)

et à vérifier que cette quantité est indépendante du choix deutel que O_u ⊂O,ce qui prouve

`a nouveau l’existence de l’´equation fonctionnelle.

Ceci s’avère difficile à vérifier et a été fait dans le cas réel (cf.lemme 5.40 de [Bo-Ru 2]).

Dans le document Une classe d'espaces préhomogènes de type parabolique faiblement sphériques (Page 105-130)