2.5 Modèle de Saint-Sulpice et al
2.5.4 Commentaires sur le modèle de Saint-Sulpice et al
bc(∆f) = A · C∆f δacmin = ∆Rm(1 + bc(∆fln(tr + tr0))] (2.65)
∆Rm, A, C, tr0 et D sont des paramètres matériaux.
La figure 2.6 met en évidence la comparaison entre le modèle développé par Saint-Sulpice
et al. et des essais de traction réalisés sur des éprouvettes en CuAlBe. Les graphes a et b
montrent une comparaison sur 120 cycles à 2% de déformation. Les graphes c et d concernent un cyclage effectué en augmentant graduellement la déformation imposée à chaque nouveau cycle. Les graphes e et f rendent compte de l’évolution de la déformation de transformation résiduelle en fonction du nombre de cycles, respectivement pour différentes valeurs de dé-formation imposées et lorsque l’on augmente la dédé-formation imposée. La bonne concordance observée entre résultats de simulation et expérience montre que pour ce type de matériau, lors d’un chargement superélastique, ce modèle permet de décrire correctement le comportement cyclique des AMF.
2.5.4 Commentaires sur le modèle de Saint-Sulpice et al.
Ce modèle permet de simuler l’effet superélastique pour des chargements 3D non propor-tionnels, en prenant en compte la variation de la réponse en fonction du nombre de cycles effectués. L’accent a été mis sur le couplage entre la définition des boucles internes et le nombre de cycles effectués. La dissymétrie de comportement traction-compression est prise en compte à partir de la définition d’une contrainte équivalente définie par Bouvet et al. [Bouvet et al., 2004]. Ce modèle utilisant un formalisme similaire à la définition de lois élas-toplastiques, par la définition de surfaces seuil dans l’espace des contraintes, a l’inconvénient de ne pas prendre en compte la variation des contraintes limites de transformation en fonction de la température. Une étape préliminaire de calcul de cette contrainte seuil en traction en fonction de la température de l’essai doit donc être menée. Par contre, le formalisme permet une définition précise des boucles de chargements lors de cycles répétés, qu’ils soient complets ou partiels. L’identification des paramètres matériaux semble toutefois assez complexe, car les paramètres de ce modèle sont assez éloignés de grandeurs macroscopiques mesurables.
2.5. Modèle de Saint-Sulpice et al. 63
c d
e f
Fig. 2.6: Comparaison entre un chargement (a) simulé et (b) expérimental pour une déformation
imposée de 2%. Comparaison entre (c) simulation et (d) résultats expérimentaux pour une déformation imposée croissante. Evolution de la déformation de transformation résiduelle en fonction du nombre de cycles (e) pour différentes valeurs de déformation imposées et (f) pour une déformation imposée croissante, d’après [Saint Sulpice et al., 2009]
Conclusion du chapitre
Les différents modèles présentés ici ont tous leurs spécificités, que ce soit au niveau des par-tis pris lors de la formulation du problème, des hypothèses fondamentales utilisées ou des phénomènes pris en compte. Il ressort de cette revue bibliographique que les modèles simu-lant le comportement superélastique des AMF sont assez complets, et l’objectif des modèles futurs porte plutôt sur la prise en compte d’effets annexes tels que le cyclage, les déforma-tions plastiques etc . . . Par contre les modèles décrivant le comportement thermomécanique complet, incluant la définition des mécanismes de transformation et de réorientation peuvent encore progresser en prenant en compte la dissymétrie traction-compression, l’effet de cycles partiels, etc. De plus, la plupart des modèles ne sont pas réellement reliés au comportement du Nickel-Titane, qui est pourtant l’alliage à mémoire de forme le plus utilisé. L’influence sur le comportement lié à la présence de séquences de transformation multiples et l’effet dû à la présence de macles dans la martensite restent négligés. La définition d’un modèle prenant en compte tous ces aspects constitue un défi que la communauté scientifique centrée autour de la modélisation des AMF doit encore relever.
3
Modèle thermodynamique
macroscopique
Sommaire
3.1 Formulation thermodynamique . . . . 66 3.1.1 Mécanismes de déformation - Choix des variables internes . . . . 66 3.1.2 Définition du potentiel thermodynamique . . . . 70 3.1.3 Forces thermodynamiques . . . . 76 3.1.4 Potentiel de dissipation . . . . 77 3.1.5 Chargements partiels . . . . 81 3.1.6 Dissymétrie traction-compression . . . . 82 3.1.7 Conditions d’activation - lois d’évolutions . . . . 86
3.2 Intégration numérique . . . . 89 3.2.1 Mise en équation du problème . . . . 90 3.2.2 Intégration implicite . . . . 90 3.2.3 Gestion des saturations . . . . 91 3.2.4 Expression du système d’équations, calcul des résidus . . . . 93 3.2.5 Prise en compte des rotations finies . . . . 98
Conclusion . . . 100
65
L
e modèle présenté dans ce chapitre est dédié au calcul de structures comportant des éléments en alliage à mémoire de forme. L’objectif est d’obtenir une loi permettant une bonne description de tous les comportements typiques des AMF (superélasticité, effet mé-moire, effet mémoire double sens assisté, etc.) tout en restant adaptée au calcul par éléments finis. La majeure partie des dispositifs utilisant des éléments actifs étant en Nickel-Titane, le développement de ces applications nécessite un outil de conception adapté aux spécificités de cet alliage. Un modèle destiné au calcul de structures doit donc être orienté vers la simulation non seulement de comportements propres à tous les AMF, mais également des comportements spécifiques aux alliages NiTi. Ce modèle devant être utilisé par des concepteurs qui ne sont pas forcément des spécialistes des matériaux à mémoire de forme, il est impératif que les paramètres matériaux soient les plus explicites possibles. Leur identification doit pouvoir se réaliser en se limitant à des essais simples à mettre en œuvre. Ces contraintes imposent de définir avec soin les variables internes et les paramètres matériaux nécessaires. Les variables internes devront représenter convenablement l’évolution du matériau, tout en réduisant leur nombre afin de limiter les temps de calculs. Les paramètres du modèle devront représenter les particularités de chaque matériau, compte tenu de leur composition et de leur histoire thermomécanique (écrouissage, traitements thermiques). Tout au long de la définition de ce modèle, les choix effectués ont été guidés par ces contraintes fondamentales. Ces critères nous ont poussés à utiliser comme base de départ la modélisation déjà réalisée par Peultier [Peultier, 2005]. La facilité d’identification des paramètres matériaux, et la prise en compte des principaux comportements des AMF faisaient partie de ses objectifs lors de l’élaboration de son modèle. Des modifications significatives y sont apportées, permettant de mieux rendre compte de la diversité du comportement des AMF, notamment au voisinage des températures de transformation. La prise en compte de comportements spécifiques aux nickel-titane a aussi été ajoutée. L’implémentation numérique a été particulièrement travaillée, afin d’obtenir un modèle robuste capable de simuler un grand nombre de trajets thermomécaniques en utilisant le logiciel ABAQUS. Le modèle présenté dans ce chapitre est le fruit d’une collaboration entre le LPMM de Metz (Y. Chemisky, E. Patoor) et le LEMTA de Nancy (A. Duval, T. Ben-Zineb).3.1 Formulation thermodynamique