Commentaires

Des ´etudes ont montr´e que la corr´elation spatiale de la composante verticale de la turbulence avait une influence sur le spectre de r´eponse [51], et ceci pour des longueurs de corr´elation d’un ordre de grandeur de deux fois l’envergure de l’aile. En ce qui concerne la turbulence longitudinale, l’influence de la longueur de corr´elation sur la stabilit´e du syst`eme coupl´e ´etudi´e ici reste n´egligeable. Ceci serait `a v´erifier sur d’autres configurations.

Il semble que de tr`es petites intensit´es de turbulence stabilisent le syst`eme a´ero´elastique (figures 5.30 et 5.31).

On observe que l’estimation du plus grand exposant de Lyapunov demande des si- mulations sur des dur´ees de temps relativement importantes. La dur´ee n´ecessaire est d’autant plus grande que l’intensit´e du bruit est importante. Il serait alors impor- tant de pouvoir estimer la dur´ee n´ecessaire afin d’obtenir des approximations λT de

λmax suffisamment pr´ecises. Une estimation par intervalle de confiance est pourtant

difficilement possible (voir _§4.10.4).

Comme cela a ´et´e discut´e au_{§4.10.4, la dur´ee de simulation minimale (pour un bruit} faible) peut ˆetre obtenue en ´etudiant l’´equation sans bruit. En g´en´erale, on a une bonne approximation si la courbe λT(p0) est lisse.

Chapitre 6

Vers une mod´elisation plus

r´ealiste du jeu

Les probl`emes de contact jouent un rˆole important dans de nombreuses mod´elisations de la m´ecanique. En particulier, il existe un grand nombre de syst`emes dont certains degr´es de libert´e subissent des contraintes unilat´erales comme c’est le cas pour le jeu. Dans le domaine de l’a´eronautique, le probl`eme le plus souvent rencontr´e est un jeu dans les liaisons avec les surfaces de contrˆole. Ces non-r´egularit´es structurales doivent ˆetre prises en compte dans la mod´elisation math´ematique du syst`eme m´ecanique. Dans la plupart des cas, le jeu est mod´elis´e de mani`ere simplifi´ee par un ressort non lin´eaire. Cette approche simple semble adapt´ee pour un profil bidimensionnel avec les deux ddl de pompage et de tangage. Dans ce cas, le jeu est g´en´eralement repr´esent´e par une non- lin´earit´e pr´esente dans la force de rappel en tangage. Toutefois, cette approche apparaˆıt insuffisante pour des mod´elisations plus complexes et notamment tri-dimensionnelles. Les structures a´ero´elastiques tri-dimensionnelles avec jeu peuvent ˆetre repr´esent´ees par des syst`emes dynamiques non r´eguliers en faisant intervenir les m´ethodes de la m´ecanique du contact. Dans ce chapitre, on pr´esente une m´ethode de sous-structuration permettant la r´eduction du mod`ele en pr´esence de degr´es de libert´e non r´eguliers. Le probl`eme de contact peut ensuite ˆetre formul´e selon la th´eorie introduite par Moreau au d´ebut des ann´ees 80 et dont la discr´etisation nous fournit un algorithme num´erique efficace.

6.1

D´eveloppement d’un mod`ele r´eduit

Dans la mod´elisation avec jeu, certains nœuds sont susceptibles d’avoir un contact avec une fronti`ere rigide. Les ddl concern´es, qu’on appellera ddl non r´eguliers, sont connus, ce qui facilite la mise en oeuvre d’un algorithme capable de d´etecter si un contact est r´ealis´e ou non. Par ailleurs, on suppose que le contact est sans frottement. Cette simplification est justifi´ee pour les probl`emes de contact trait´es ici.

Ω

_Ω

Γ

Fig. 6.1 – sous-structures Ωr et Ωc

On divise le syst`eme m´ecanique discr´etis´e en deux types de sous-syst`emes: les parties r´eguli`eres Ωr dont les ddl ne subissent aucune contrainte ainsi que les parties non r´eguli`eres Ωc _{dont les ddl peuvent subir un contact tel que Ω}s _{= Ω}rS_Ωc_{. Pour des}

raisons de simplicit´e, on ne consid`ere ici que le cas d’une seule sous-structure r´eguli`ere et d’une sous-structure avec contact li´ees par l’interface Γ, mais le cas de plus de deux sous-structures ne pose aucun probl`eme de g´en´eralisation. ´Etant donn´e qu’il s’agit de non-lin´earit´es concentr´ees, on peut supposer, sans perte de g´en´eralit´e, que les forces a´erodynamiques ne s’appliquent qu’aux degr´es de libert´es de la sous-structure r´eguli`ere. Soit l’´equation du mouvement de la structure discr´etis´ee:

M

¨ Q +C

˙

Q +K Q +F = 0, (6.1)

o`u Q = (Qr, Qi, Qc) et o`u on a not´e Qr les ddl de Ωr, Qi les ddl de l’interface Γ et

Qc les ddl non r´eguliers de Ωc. La d´ecomposition en blocs des matrices de raideur et

de masse selon l’appartenance aux sous-structures respectives s’´ecrit:

K =   Krr Kri 0 Kic Kii Kic 0 KT ic Kcc   , M =   Mrr Mri 0 Mic Mii Mic 0 MT ic Mcc   .

La matrice d’amortissement C est arrang´ee de mani`ere ´equivalente. De mˆeme, on a F = (Fr, 0, 0) o`u Fr ∈R

Nr _{sont les forces a´erodynamiques qui s’appliquent `a la sous-}

structure r´eguli`ere Ωr et Nr d´esigne le nombre de ddl appartenant `a Ωr. Le mod`ele

peut ensuite ˆetre r´eduit par synth`ese modale de la sous-structure r´eguli`ere tout en conservant les ddl de la sous-structure non r´eguli`ere. Pour ceci, on utilise une m´ethode de sous-structuration du type Craig et Bampton [33]. La taille du probl`eme peut ainsi ˆetre r´eduite `a M = nr+ nc+ ni o`u nr d´esigne le nombre de modes propres ´elastiques

de la sous-structure r´eguli`ere avec interface fixe retenus, ncest le nombre de ddl de Ωc

et ni le nombre de modes statiques de liaison.

Les d´eplacements internes de Ωr peuvent ˆetre exprim´es comme Qr = Ψqr+ ΦQi,

o`u Φ =−K−1

rr Kr c∈ MatR(Nr, ni) est la matrice des modes statiques de liaison (modes

g´en´er´es par d´eplacement unitaire des ddl de l’interface en gardant les autres fix´es). La matrice Ψ_{∈ Mat}R(Nr, nr) contient les nr premiers modes de Ω

r _{avec interface fixe,}

solutions du probl`eme aux valeurs propres suivant:

[Krr− λmMrr]Ψm = 0, m ={1, . . . , nr},

et qr sont les coordonn´ees g´en´eralis´ees des d´eplacement dans Ωr.

Par ailleurs, on pose q = (qr, qi, qc) tel que

(Qr, Qi, Qc) = P q avec P =   Ψ Φ 0 0 I 0 0 0 I   .

La projection de l’´equation (6.1) sur la base r´eduite P s’´ecrit

M¨q + C ˙q + Kq + F = 0. (6.2) Les matrices r´eduites _{M, C et K et le vecteur F sont donn´ees par les relations}

M = PTM P, K = P T KP, C = P T CP, F = P T F.

Finalement, on peut encore ´ecrire l’´equation (6.2) sous la forme diff´erentielle suivante du_{− p(u, q, t)dt = 0,}

o`u on a not´e u = ˙q et

p(u, q, t) =−M−1(C ˙X +KX + F).