On note qcles ddl qui peuvent avoir contact avec un obstacle rigide tel que q = (˜q, qc)∈ R
N, et respectivement u = (˜u, uc), p = (˜p, pc). ´Evidemment, les ddl non soumis `a des
contraintes g´eom´etriques doivent v´erifier ˜u = ˜u− = ˜u+ pour tous t∈
I. Dans la suite,
on va prendre qc ∈ R afin de simplifier les notations. Pour le probl`eme avec jeu, les
contraintes g´eom´etriques prennent la forme
h(q) =|qc| − β ≤ 0, β > 0. (6.10)
On peut ´ecrire l’´equation (6.10) `a l’aide de deux fonctions r´eguli`eres q → hα(q), α =
1, 2, telles que
h1(q) = qc− β, et h2(q) =−qc− β, β > 0.
Un algorithme conceptuellement simple consiste `a utiliser le sch´ema d’int´egration nu- m´erique standard pour les intervalles de temps r´eguliers entre impacts et de d´etecter les instants de contact par un test. D`es que les contraintes sont viol´ees, il faut d´eter- miner l’instant exact du contact, appliquer la loi d’impact et reprendre l’int´egration num´erique `a ce point. L’inconv´enient majeur de cette proc´edure est le temps de calcul. L’int´egration temporelle doit ˆetre arrˆet´ee `a chaque instant o`u s’´etablit un contact et de ce fait, le pas de temps n’est pas constant. Remarquons ´egalement que l’utilisation de sch´emas d’ordre ´elev´e n’est pas ´evident puisqu’on doit s’attendre `a des discontinuit´es des vitesses. Aussi, on propose d’utiliser directement la discr´etisation de l’inclusion diff´erentielle (6.7).
6.3.1
Discr´etisation de l’inclusion diff´erentielle
L’inclusion diff´erentielle (6.7) peut ˆetre discr´etis´ee comme suit [62]: (tni+1− tni) p(tni+1, qni+1, uni+1)− (uni+1− uni)∈ NV (qn
i+1)(w
n
i+1), (6.11)
o`u l’intervalle de temps a ´et´e d´ecoup´e aux instants tn
i et les fonctions approchantes qn
et un sont d´efinies par les valeurs qni = q(tni) et respectivement uni = u+(tni) = u−(tni+1).
Dans ce qui suit on note de mani`ere abr´eg´ee pn
i+1= p(tni+1, qi+1n , uni+1) et ∆nt = tni+1−tni.
L’indice n d´enote ici la discr´etisation de l’intervalle de temps en n sous-intervalles. Cet indice sera omis dans les paragraphes suivants afin d’all´eger les notations. Par ailleurs, on introduit la variable wn
i+1 qui est telle que
wni+1= Av(uni, ui+1n ) = kuni + (1− k)uni+1.
Sachant que le cˆone NV est inchang´e par multiplication avec une constante, on peut
´ecrire
et, `a l’aide du lemme des deux cˆones de Moreau, on obtient l’expression suivante caract´erisant wi+1n :
wi+1= proj ui+ (1− k)∆tpi+1, V (qi+1). (6.12)
On en d´eduit finalement l’expression de la vitesse `a droite ui+1= (1− k)−1(wi+1− kui).
Th´eor`eme 6 ([69][14]). On suppose que la fonction des forces p(u, q, t) donn´ee est continue, born´ee sur I×R
d et que p est Lipschitz continu par rapport `a u. Alors la
suite (un, qn) poss`ede une sous-suite qui converge point par point et uniform´ement vers une limite (u, q) o`u u est `a variations born´ees avec q(t) = q(t0) +Rtt0u(s)ds tel que
u = Av(u+, u−) est solution du probl`eme.
On remarque que le th´eor`eme pr´ec´edent (th´eor`eme 6) reste valable si on admet des impacts multiples mais si ces impacts multiples sont orthogonaux [14]. Dans ce cas, on introduit l’ensemble de contraintes actives pour la configuration q comme
J(q) ={α ∈ {1, . . . , m} : hα(q) = 0}.
Le cˆone de vitesses `a droite admissibles s’´ecrit alors
V (q) = {w ∈R d;∀α ∈ J(q) : wT∇h α(q)≤ 0} si hα≥ 0 R d sinon . (6.13)
6.3.2
Sch´ema num´erique pour le probl`eme de contact
En plus de la discr´etisation de l’inclusion diff´erentielle, il reste `a expliciter la discr´eti- sation de la relation q(t) = q(t0) +Rtt0u(s) ds. Dans ce travail, on a choisi le sch´ema
implicite
qi+1= qi+ 1/2∆t(ui+ ui+1),
car il s’est av´er´e stable pour les ´equations consid´er´ees. D’autres auteurs proposent d’utiliser plutˆot le sch´ema plus simple
qi+1= qi+ ∆tui,
mais ce sch´ema explicite n’est stable que dans de rares cas. Une version modifi´ee est propos´ee par exemple dans [73], o`u la force p est ´evalu´ee `a un instant interm´ediaire tm = ti+ 1/2∆t tel que pm = p(tm, qm, ui) avec qm = qi+ 1/2∆tui. On obtient ainsi
l’expression
qi+1= qm+ 1/2∆tui+1,
mais ce sch´ema a ´et´e instable pour notre type d’´equations (en effet, c’est ´egalement un sch´ema explicite).
En r´esum´e, le sch´ema suivant, fond´e sur une discr´etisation de l’inclusion diff´erentielle (´equation (6.11)), permet une simulation temporelle de la dynamique avec contacts possibles, ceux-ci ´etant dus `a un jeu:
On constate d’abord que, tant que hα(qi+1) < 0, α = 1, 2, le cˆone est l’espace entier
V (qi+1) =R
d et ainsi u
i+1= ui+ ∆tpi+1. Si maintenant hα(qi+1)≥ 0, on a
V (qi+1) ={R
d−1×
R
−}
quand le contact α = 1 est r´ealis´e. Ensuite, on peut distinguer les deux cas suivants:
i) uc
i + (1− k)∆tpci+1< 0 : la projection sur V (qi+1) donne
wi+1= ui+ (1− k)∆tpi+1
tel que
ui+1= (1− k)−1(wi+1− kui) = ui+ ∆tpi+1.
ii) uc i + (1− k)∆tpci+1≥ 0 : alors wi+1= ˜ ui+ (1− k)∆tp˜i+1 0 et ainsi ui+1= ˜ ui+ ∆tp˜i+1 −k 1−kuci
Si le contact α = 2 est r´ealis´e, on a
V (qi+1) ={ν = (ν1, . . . , νd)∈R
d| ν
d≥ 0},
et la projection s’effectue de mani`ere ´equivalente `a la proc´edure utilis´ee pour le contact α = 1.
6.4
Commentaires
Dans ce travail, la mod´elisation du probl`eme de contact dans ce travail est fond´ee sur la loi d’impact de Moreau. En effet, dans les ann´ees 80, Moreau [71] a ´et´e parmi les premiers `a d´evelopper des formulations math´ematiques permettant de traiter des pro- bl`emes m´ecaniques avec prise en compte de chocs in´elastiques. D’autres investigations, concernant tout autant les chocs in´elastiques qu’´elastiques ont ´et´e entreprises depuis par plusieurs auteurs. Un grand nombre de travaux concerne l’´etude de l’existence et de l’unicit´e d’une solution pour des probl`emes issus de la m´ecanique ([14],[70],[96]). Des
r´esultats plutˆot g´en´eraux ont ´et´e obtenus r´ecemment par Ballard [14] mais l’unicit´e des solutions ne semble pas toujours garantie.
Ici, le cas d’une seule contrainte (bilat´erale) a ´et´e trait´e. La situation est plus com- plexe si des contacts multiples sont admis car, dans ce cas, on peut trouver d’autres lois d’impact qui sont consistantes autant d’un point de vue g´eom´etrique qu’´energ´e- tique [79]. Dans tous les cas, plusieurs mod´elisations d’un contact sans frottement sont possibles: d’une part, l’impact peut ˆetre mod´elis´e comme un choc in´elastique de ma- ni`ere `a ce que la vitesse d’impact tangentielle soit conserv´ee alors que la composante normale `a la paroi n’est pas r´efl´echie. D’autre part, un choc parfait ´elastique repr´esente une r´eflexion compl`ete alors que, dans le cas interm´ediaire d’un choc ´elastique impar- fait, on a une r´eflexion partielle selon la loi de Newton qui d´epend d’un coefficient de restitution. C’est le coefficient de restitution qui d´ecrit cette perte d’´energie due aux d´eformations plastiques et `a la transformation d’´energie en ondes. Le coefficient de restitution d´epend ainsi de la configuration, de la forme des corps ainsi que de la nature du mat´eriau. Mˆeme dans les cas les plus simples, le coefficient de restitution n’est pas connu a priori. Certains auteurs ont tent´e de le d´eduire de donn´ees exp´eri- mentales pour des cas tr`es pr´ecis [78], [52], [99]. N´eanmoins, des m´ethodes g´en´erales pour sa d´etermination ne sont pas disponibles.