La commande prédictive

La commande prédictive voit le jour dans les années 60 [Popoi, 1963] et connait ses premières applications industrielles dans les années 70 avec les travaux de [Richalet

et al., 1976]. L’idée générale de la commande prédictive est de calculer à chaque

période d’échantillonnage du contrôleur la séquence des commandes à appliquer sur un horizon de prédiction [Dufour, 2000], à partir d’un modèle de connaissance du système. Dans sa version la plus répandue, seule la première commande est appliquée et l’algorithme recommence à la prochaine période d’échantillonnage. L’algorithme consiste classiquement à résoudre un problème d’optimisation. Les différentes avancées [Grosdidier et al., 1988] ont permis de prendre en compte des contraintes dans le problème d’optimisation, permettant ainsi une meilleure prise en compte des spécifications industrielles. Les domaines faisant massivement appels à ces méthodes sont historiquement l’industrie du gaz, les procédés chimiques et pétroliers [Dufour, 2000].

Principe de la commande prédictive

La commande prédictive tire parti de la connaissance d’un modèle du système à contrôler pour simuler en temps réel son comportement sur un horizon de temps prédéfini et déterminer, en conséquence, les commandes optimales, de manière à :

 Minimiser une fonction objectif, formalisant un critère de performance défini selon les besoins de fonctionnement du système. Par exemple, le dépassement maximum de la température moyenne du le cœur.

 Respecter des contraintes de fonctionnement. Par exemple, les positions maximale et minimale autorisées des barres.

La fonction objectif et les contraintes sont formulées par le concepteur de la régulation dans le but de traduire les objectifs de commande (spécifications issues du cahier des charges) sous la forme de fonctions de coûts supportant la formalisation d’un problème d’optimisation mathématique.

La fonction objectif traduit généralement le critère de performance. Elle est formalisé par la fonction 𝐽 qu’on cherche à minimiser (ou maximiser selon les cas). Cette fonction peut concerner :

 Les variables d’état du système représentées par le vecteur 𝑥.

 Les variables d’entrée du système représentées par le vecteur 𝑢

 Un comportement désiré 𝑐

Partie I – Introduction Générale

68 Conception d’un Système Avancé de Réacteur PWR Flexible par les Apports Conjoints de l’Ingénierie Système et de l’Automatique

𝑚𝑖𝑛

𝑢∈𝛺 { 𝐽(𝑢) = ∫ 𝑔(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑐(𝑡)). 𝑑𝑡 _𝑄 }

où Ω est l’espace de validité des contraintes et 𝑄 un cylindre dont la base est définie par les variables 𝑥, 𝑢 et 𝑐 et de longueur le temps de prédiction [Dufour, 2000].

Le problème de commande se résume donc à un problème d’optimisation sous contraintes, les variables de décision étant les entrées de commande du système 𝑢. Afin de mettre en jeu un nombre fini de variables de décision, (nombre fini de d’échantillons de commandes), et obtenir ainsi un problème d’optimisation en dimension finie, on discrétise le plus souvent l’espace de décision défini par la fonction 𝑢. Il est procédé le plus souvent à une projection des entrées sur une base de fonctions polynomiales :

𝑢(𝑡) = ∑𝑛 𝑎_𝑖𝑡𝑖 𝑖=0 Ceci est illustré à l’ordre 2 par la Figure 14.

Figure 14: Base de fonctions pour la commande prédictive

Ainsi, les variables de décision pour l’optimisation sont les coefficients 𝑎_𝑖 des fonctions polynomiales définies ci-dessus.

Trois paramètres clés sont habituellement considérés pour le « réglage » de la commande prédictive (tel que présenté sur la Figure 15) [Dufour, 2000] :

𝑢(𝑡) = 𝑎0

𝑢(𝑡) = 𝑎₁𝑡

Partie I – Introduction Générale

69 Conception d’un Système Avancé de Réacteur PWR Flexible par les Apports Conjoints de l’Ingénierie Système et de l’Automatique

 La période d’échantillonnage de la commande 𝑇𝑒

Ce paramètre définit le temps entre deux mises à jour des entrées de commande. C’est alors aussi le temps maximal pour le calcul de ces dernières. Ce paramètre est particulièrement dimensionnant pour la commande prédictive.

 L’horizon de commande noté 𝑁𝑐

L’horizon de commande définit la longueur des suites d’arguments de la commande. Il représente donc le temps pendant lequel la suite des commandes optimales est calculée.

 L’horizon de prédiction noté 𝑁𝑝

L’horizon de prédiction définit la longueur sur laquelle est évalué le problème de commande.

Figure 15: Principe de la commande prédictive

Stabilité du problème 𝑡 Horizon de commande 𝑁_𝑐 Horizon de prédiction 𝑁_𝑝 𝑘. 𝑇𝑒 (𝑘 + 𝑁𝑐). 𝑇𝑒 (𝑘 + 𝑁𝑝). 𝑇𝑒 Références Sortie du procédé 𝑇_𝑒

Partie I – Introduction Générale

70 Conception d’un Système Avancé de Réacteur PWR Flexible par les Apports Conjoints de l’Ingénierie Système et de l’Automatique

Quelle que soit la stratégie de commande utilisée, une étude de stabilité est toujours nécessaire. Elle consiste à vérifier que la commande, solution de l’algorithme de commande prédictive utilisée, permet d’assurer la stabilité du procédé en boucle fermée [Dufour, 2000]. Il est possible, dans certains cas d’assurer la stabilité d’un problème de commande prédictive. Le cas le plus simple est le cas où l’horizon de prédiction 𝑁𝑝 est infini. [Keerthi et Gilbert, 1988] introduit une contrainte terminale égalitaire qui, dans le cas infini, garantit la stabilité pour un modèle linéaire. Selon [Dufour, 2000], dans le cas non-linéaire cette méthode n’est à priori pas applicable. De plus, dans le cas d’un horizon de prédiction fini, la commande prédictive ne garantit pas, dans le cas général, la stabilité.

Formalisation du problème de commande

La formalisation du problème de commande consiste à formuler la fonction objectif (critère de performance) 𝐽 et les contraintes répondant au cahier des charges. L’algorithme consiste alors à calculer à l’instant 𝑡 = 𝑘. 𝑇_𝑒 la séquence des 𝑁_𝑐 commandes optimales à appliquer sur l’horizon de prédiction 𝑁_𝑝. La fonction objectif à minimiser fait intervenir le vecteur des commandes du processus 𝑢, le vecteur des sorties (estimées ou mesurées) 𝑦_𝑝 et 𝑔 une fonction formalisant le critère de performance. L’objectif de minimisation se formule généralement par l’équation suivante :

min

𝑢̃ 𝐽(𝑢̃) = ∑ 𝑔(𝑢(𝑗 − 1), 𝑦𝑝(𝑗)) 𝑘+𝑁𝑝

𝑗=𝑘+1

Avec 𝑢̃ la séquence des 𝑁𝑐 commandes calculée par l’algorithme. On la définit de la manière suivante :

𝑢̃ = [𝑢(𝑘) … 𝑢(𝑘 + 𝑁_𝑐− 1)]𝑇

NB : pour tout signal 𝑠, 𝑠(𝑗) est défini comme la valeur de 𝑠(𝑡) à l’instant 𝑡 = 𝑗 × 𝑇𝑒, avec 𝑇_𝑒 la période d’échantillonnage.

Les commandes restantes à appliquer jusqu’à la fin de l’horizon de prédiction sont alors :

𝑢(𝑗 − 1) = 𝑢(𝑘 + 𝑁_𝑐− 1) (𝑗 ∈ {𝑘 + 𝑁𝑐+ 1, 𝑘 + 𝑁𝑝})

Le problème d’optimisation est soumis aux contraintes portant sur les mêmes variables, tel que :

Partie I – Introduction Générale

71 Conception d’un Système Avancé de Réacteur PWR Flexible par les Apports Conjoints de l’Ingénierie Système et de l’Automatique

{ 𝑐𝑖(𝑢(𝑗 − 1), 𝑦𝑝(𝑗)) ≤ 0 𝑖 ∈ ℷ = {1, … , 𝑛_𝑐𝑜} 𝑗 ∈ ℸ = {𝑘 + 1, … , 𝑘 + 𝑁𝑝}) Avec, { 𝑛_𝑐𝑜 le nombre de contraintes 𝑢 ∈ ℝ𝑚 𝑦_𝑝∈ ℝ𝑝 𝑚 le nombre de commandes 𝑝 le nombre de sorties Résolution du problème

La résolution de problèmes d’optimisation sous contraintes de cette nature, appliquée aux problèmes de commande prédictive en particulier, est largement documentée. Nous invitons le lecteur à se référer à [Dufour, 2000] faisant un tour d’horizon des méthodes de résolution de commande prédictive sous contrainte.

Partie I – Introduction Générale

72 Conception d’un Système Avancé de Réacteur PWR Flexible par les Apports Conjoints de l’Ingénierie Système et de l’Automatique