Collisions, élasticité et lubrification

Hoomans et al. [78] ont présenté un modèle de particules discrètes développé dans le

but d’effectuer des simulations 2D de lits fluidisés et dans lequel est implémenté un algorithme de collisions de particules (celui-ci sera présenté brièvement dans le paragraphe

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Dans le modèle Lagrangien, les bulles sont représentées par un point et ne modifient pas directement

l’écoulement liquide autour d’elles. On définit donc une zone intérieure, ou inner region, correspondant à la

distance du centre de la bulle à laquelle l’écoulement serait perturbé si la bulle occupait un volume réel. Cette

distance dépend des caractéristiques de l’écoulement relatif de la bulle dans le liquide.

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On définit similairement la zone extérieure, ou outer region, de l’écoulement perturbé. La présence

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MODELE NUMERIQUE 71

3.2.2). Le modèle de collision considéré dans ces travaux est un modèle de sphères dures qui suppose que les chocs sont de nature impulsive, i.e. que la force de collision est instantanée et concentrée en un point, et que les sphères ne se déforment pas durant l’impact. Une partie de l’énergie cinétique d’approche des particules est cependant dissipée au moment du contact

entre celles-ci. A la suite de ces travaux, Delnoij et al. [71] ont procédé à la simulation

d’écoulements diphasiques (gaz/liquide) dispersés en utilisant la même séquence numérique

de collisions et le modèle de sphères indéformables. Cependant, dans leur cas une fine

épaisseur de liquide résiste à l’approche de deux bulles de telle sorte que le contact n’a jamais

réellement lieu entre celles-ci et la force de répulsion provient de cette couche liquide. Afin de prendre en compte cet effet de lubrification, détaillé ci-après, ils ont estimé que le rayon

d’influence des bulles était égal à _{√ +} où = , est le coefficient de masse ajoutée. De plus, les collisions sont considérées totalement élastiques, i.e. la totalité de

l’énergie cinétique d’approche est restituée après le rebond.

Pour comprendre le type d’interactions bullebulle considérées dans ce travail, il est

nécessaire d’apporter préliminairement des précisions quant à la lubrification et l’élasticité

des collisions.

Lors de l’approche de deux sphères, celles-ci peuvent soit entrer en collision, soit interagir par le biais d’une couche de lubrification. Un schéma est proposé sur la Figure 3.3 pour illustrer ces interactions. :

FIGURE 3.3 : Schéma de l’approche de deux sphères dans la zone de collision ou de

lubrification.

Le schéma de la Figure 3.3 illustre sur sa partie gauche deux sphères et , de rayon respectif et , en mouvement l’une vers l’autre avec une vitesse d’approche = −

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72 MODELE NUMERIQUE

(les sphères sont représentées dans le repère lié à la particule ). En premier lieu,

considérons que l’inertie du mouvement des particules est négligeable devant la viscosité du

liquide. Lors du rétrécissement de la distance ℎ séparant les bulles, un écoulement de liquide est généré et celui-ci est chassé vers l’extérieur, comme illustré sur l’image centrale du

schéma. La pression dans cet écoulement crée une force de réaction , aussi appelée force de lubrification, qui s’oppose au mouvement d’approche des sphères. Cette force peut être calculée suivant la théorie de la lubrification [106], valide pour ℎ

et ℎ

, où

= ₊ est le rayon réduit et =^{‖ ‖} est le nombre de Reynolds basé sur la vitesse

d’approche. L’intensité de la force de lubrification est inversement proportionnelle à la distance ℎ et proportionnelle à la vitesse d’approche. Cela suppose donc l’impossibilité d’un

contact direct entre les sphères sous peine que la force prenne une valeur infinie. Dans le cas

d’un liquide incompressible, la théorie de la lubrification ne permet pas de rebond des

particules [107] et celles-ci restent à une distance finie ℎ l’une de l’autre avec une vitesse

relative = − = suite à l’interaction. L’énergie cinétique d’approche est alors

dissipée par viscosité dans le liquide.

Supposons désormais que la viscosité est négligeable devant l’inertie des particules en approche. La couche de liquide entre celles-ci n’oppose dans ce cas pas de résistance

significative et un contact direct peut se produire entre les deux sphères, la distance de lubrification étant alors nulle. Au moment du contact, les particules vont échanger de la quantité de mouvement et se déformer sous l’effet de la collision, donnant lieu à deux

possibilités. Dans le cas d’une collision élastique, l’énergie est stockée sous forme de très petites déformations élastiques puis relâchée, causant ainsi le rebond des sphères et le retour à leur forme initiale. Dans le cas d’une collision non-élastique, l’énergie est en partie ou

entièrement dissipée par déformation plastique, dissipation visqueuse interne aux sphères ou encore par génération de vibrations résiduelles, selon la nature des phases. On définit dans ce cas le coefficient de restitution tel que : = − [108].

Finalement, Davis et al. [109] ont proposé le nombre de Stokes = comme grandeur pertinente caractérisant les collisions elastohydrodynamiques. Il représente le ratio

de l’inertie de la particule sur la viscosité du fluide. Ainsi, pour , l’inertie d’approche

des particules n’est pas suffisante pour induire une augmentation de pression dans la couche de lubrification et l’énergie cinétique se retrouve dissipée par viscosité. A l’inverse, dans le

cas où , la collision a lieu et les sphères se repoussent avec une vitesse ‖ ‖ ‖ ‖.

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STRATEGIES NUMERIQUES 73

Pour le présent cas d’écoulements dispersés de petites bulles de gaz, l’inertie d’approche est très faible et la théorie de la lubrification est a priori applicable [66]. On considèrera donc que les interactions bullebulle sont instantanées, ont lieu à une distance ℎ

= , et que le coefficient de restitution est nul. Les mêmes considérations sont applicables aux interactions bulleparoi. Au lieu de calculer explicitement dans la résolution de la loi de Newton (3.5), une estimation de la vitesse des bulles est calculée en prenant en compte uniquement la force hydrodynamique et le poids. Un algorithme détecte ensuite si des collisions ont lieu et corrige le cas échéant les positions et vitesses estimées des bulles concernées (voir le paragraphe 3.2.2).