3. S TRATEGIES NUMERIQUES
3.2.4. Bulles et parallélisation
La gestion des éléments dispersés dans un code parallèle a quelques spécificités. En ce
qui concerne l’équation des bulles, le domaine a été découpé selon la configuration X (cf.
Figure 3.4) et cette configuration a été maintenue tout au long de la résolution afin de faciliter le traitement aux limites et aux interfaces entre sous-domaines. Chaque processus gère son propre jeu de bulles, i.e. celles dont le centre se trouve dans le sous-domaine. Dès qu’une
bulle quitte un sous-domaine, elle est supprimée de son processus et attribuée à un nouveau
(si elle n’est pas sortie complètement du domaine de calcul). De plus, lorsqu’une bulle est très
proche d’une interface avec un autre sous-domaine, les informations de cette bulle sont transférées au processus gérant le sous-domaine en question afin de pouvoir détecter de possibles collisions. Le transfert des données concernant la bulle (vitesse, position,
accélération, vitesse du liquide en son centre…) est effectué avec la bibliothèque OpenMPI.
Couplage multiphysique
3.3.
Jusqu’à présent, la résolution de la phase continue a été présentée sans prendre en compte l’effet retour de la phase dispersée. Ceci est fait grâce à un mécanisme de couplage et une résolution itérative. On abordera aussi à la fin de cette partie un détail concernant la
représentation du volume de la bulle dans un modèle Lagrangien faisant l’hypothèse d’une
bulle-point (force ponctuelle).
3.3.1. Algorithme de couplage quadrilatéral
Le schéma d’avancement temporel présenté dans la section 3.1.1 doit être modifié afin
d’appliquer le terme de force extérieure permettant le couplage bilatéral bullesliquide tout en prenant en compte les interactions bullebulle. Il faut définir pour cela une manière
CHAPITRE III. LA SIMULATION NUMERIQUE DIRECTE : MODELE EULERIEN-LAGRANGIEN AVEC COUPLAGE QUADRILATERAL DES PHASES
STRATEGIES NUMERIQUES 87
dispersé de bulles, le champ de force appliqué au liquide est fortement discontinu du fait qu’il est le résultat d’interactions locales dépendant de la position et de l’écoulement relatif autour
de chaque bulle, qui évoluent en permanence. Une méthode explicite prédictive telle
qu’appliquée aux termes d’advection et de diffusion n’est donc pas appropriée. Du fait que les résolutions de la phase continue et de la phase dispersée sont effectuées séquentiellement, le
couplage doit nécessairement faire appel à une stratégie itérative. C’est pour cela que le terme
de force extérieure sera évalué par une méthode de Crank-Nicholson à l’ordre 2 par :
, + =− + +
∆ (3.36)
Comme le suggère l’utilisation des exposants et + , l’évaluation de se fait à
l’échelle des étapes principales alors que les autres termes étaient évalués à l’échelle des sous -étapes par le schéma RK3.
La Figure 3.8 détaille la séquence d’étapes de résolution pour l’avancement temporel de
la solution, avec la prise en compte du couplage quadrilatéral (liquidebulles et bullebulle).
(1) A l’étape , toutes les données de l’écoulement sont connues : vitesses, pression et force extérieure pour la phase continue ; positions et vitesses des éléments de la phase discrète.
(2) Une résolution successive de l’équation (3.38) pour = [ , , ] est opérée en premier lieu, avec = à = et ̃ + = ̃ + à = .
̃ + = + + − , + − , − ∆ (3.37)
Dans cette première étape, on approxime le terme de force extérieure par sa valeur au pas de temps . Elle est donc constante dans le schéma de Runge-Kutta.
(3) Une estimation de la vitesse ̃ + est disponible à la fin de RK3.
(4) Pour chaque bulle, l’équation du mouvement est résolue par un schéma itératif de
Crank-Nicholson à l’ordre 2 à partir de leur vitesse et des vitesses du liquide
̃ + et évaluées en leur centre par une méthode d’interpolation trilinéaire. A
la fin de cette étape, les vitesses + ′ et positions + ′ résultant des interactions bullesliquide seulement sont estimées.
CHAPITRE III. LA SIMULATION NUMERIQUE DIRECTE : MODELE EULERIEN-LAGRANGIEN AVEC COUPLAGE QUADRILATERAL DES PHASES
88 STRATEGIES NUMERIQUES
(5) A l’étape , toutes les données de l’écoulement sont connues : vitesses, pression et force extérieure pour la phase continue ; positions et vitesses des éléments de la phase discrète.
FIGURE 3.8 : Schéma de l’algorithme d’avancement temporel des deux phases, avec
couplage quadrilatéral.
(6) Une résolution successive de l’équation (3.38) pour = [ , , ] est opérée en premier lieu, avec = à = et ̃ + = ̃ + à = .
CHAPITRE III. LA SIMULATION NUMERIQUE DIRECTE : MODELE EULERIEN-LAGRANGIEN AVEC COUPLAGE QUADRILATERAL DES PHASES
STRATEGIES NUMERIQUES 89
Dans cette première étape, on approxime le terme de force extérieure par sa valeur au pas de temps . Elle est donc constante dans le schéma de Runge-Kutta.
(7) Une estimation de la vitesse ̃ + est disponible à la fin de RK3.
(8) Pour chaque bulle, l’équation du mouvement est résolue par un schéma itératif de Crank-Nicholson à l’ordre 2 à partir de leur vitesse et des vitesses du liquide
̃ + et évaluées en leur centre par une méthode d’interpolation trilinéaire. A
la fin de cette étape, les vitesses + ′ et positions + ′ résultant des interactions bullesliquide seulement sont estimées.
(9) La séquence de collision permet d’obtenir les vitesses + et positions + finales des bulles. Le calcul des collisions ayant un coût numérique proportionnel à
, il peut s’avérer limitant, ainsi la séquence de collision n’est activée que si l’itération actuelle est supérieure à − (cette astuce numérique a pour
but d’économiser du temps de calcul et est détaillée dans la sous-partie suivante). (10)Le champ de force extérieure actualisé + est calculé.
(11)Le champ de vitesse liquide estimé est ensuite corrigé avec la nouvelle force
̃ + = ̃ + − + − ∆ . Enfin, le nouveau champ de pression + est calculé
en résolvant l’équation de Poisson à partir de la nouvelle valeur de ̃ + et la
vitesse est actualisée pour respecter la condition d’incompressibilité: + = ̃ + + + .
Le calcul est ensuite repris à partir de l’étape (4) pour la résolution de l’équation de
mouvement des bulles, les forces (masse ajoutée, drag, lift) étant cette fois calculées à partir du champ de vitesse + . Cette procédure est itérée fois afin de garantir la convergence des résultats.