Le code numérique SIGMA/W

Le code SIGMA/W de la compagnie Geoslope (version 2007), utilisé dans ce projet, est un logiciel d’éléments finis qui permet d’effectuer les analyses contrainte-déformation sur le comportement des sols. Ce code peut effectuer une analyse élastique linéaire simple ou une analyse élastoplastique non linéaire plus sophistiquée. Lorsqu’on le couple avec le logiciel SEEP/W de la société Geoslope, il peut aussi simuler la génération et la dissipation de la pression interstitielle dans le sol.

SIGMA/W emploie une formulation basée des changements incrémentaux de diverses variables telles que la déformation et la pression interstitielle.

Modèles et propriétés des matériaux

Le code SIGMA/W inclut six modèles constitutifs différents, plus une option pour que l’utilisateur puisse créer un autre modèle constitutif. Le comportement simulé sera différent selon le modèle, qui peut s’exprimer en contraintes totales ou en contraintes effectives, avec ou sans changements de la pression interstitielle.

Le choix d’un modèle dépend essentiellement des aspects qu’il faut prendre en considération, incluant la rigidité des matériaux, le déplacement, et la stabilité.

Dans le cas de la construction d'un remblai, une déformation importante peut-être engendrée (sans affecter la stabilité de la structure). Une analyse non linéaire est alors requise pour obtenir une évaluation réaliste de la déformation potentielle. Une analyse linéaire-élastique pourrait sous-estimer considérablement les déformations dans un tel cas.

La mise en place d’une couche de remblai sur un sol mou (ou sur des résidus miniers) peut produire des surpressions interstitielles qui peuvent affecter la stabilité. Dans ce cas, il peut être nécessaire d’employer l’un des modèles plus élaborés, tels que le modèle de Cam-Clay Modifié (CCM), avec une analyse de consolidation couplée à une analyse de stabilité.

Chaque modèle ne s'applique pas nécessairement à tous les sols. Par exemple, le modèle conçu pour l’argile molle (Cam-Clay modifié) est bien adapté pour des sols normalement ou légèrement surconsolidés, et non pour les sols raides ou fortement surconsolidés. Un modèle linéaire- élastique peut alors donner des résultats plus réalistes pour ces sols plus raides (manuel Sigma/W de Geoslope 2007).

Il faut donc choisir un modèle qui soit compatible avec les caractéristiques du sol et l'objectif de l'analyse. Dans ce projet, les modèles élastoplastique (avec critère de Mohr-Colomb) et CCM seront utilisés pour réaliser les simulations du comportement des résidus miniers autour d’inclusions de roches stériles (considérées comme élastiques)

Géométrie et maillage

La méthode des éléments finis est basée sur le concept de subdivision du continuum en petits morceaux (éléments finis), une description du comportement (ou les actions) des différents morceaux et le raccord de tous les morceaux pour représenter le comportement du continuum dans son ensemble (manuel de SIGMA/W). Ce processus de subdivision du continuum est connu sous le nom de discrétisation pour former un maillage d’éléments. SIGMA/W 2007 utilise des algorithmes spécifiques aux problèmes géotechniques, permettant de développer et d’assigner automatiquement un maillage à la géométrie. Les capacités de calcul des ordinateurs contraignent toutefois l’utilisateur à contrôler cette discrétisation automatique générée par les algorithmes

disponibles, afin de minimiser le temps de calcul et/ou augmenter la précision de la solution. Une analyse de l’effet du maillage est essentielle avant de l’utiliser pour les calculs détaillés.

Conditions aux frontières

La spécification des conditions aux frontières pour représenter les problèmes analysés est l'une des composantes clés d'une simulation numérique. Un contrôle adéquat des conditions aux frontières rend les analyses numériques plus fiables. Il est essentiel de comprendre la signification physique des divers types des conditions aux frontières ; un exemple est illustré à la figure 2.19 pour la simulation d’un essai oedométrique.

Figure 2.19 : Exemple de conditions aux frontières pour la simulation d’un essai de consolidation (œdométrique) (voir section 3.5).

L’analyse des contraintes avec pression interstitielle couplées

Le code SIGMA/W permet de résoudre des problèmes de consolidation en utilisant l’option couplée ou non couplée. Une analyse couplée exige que les équations contrainte-déformation et de dissipation de la pression interstitielle soient résolues simultanément. La formulation de cette méthode est présentée ci-dessous. Avec l'analyse couplée, les propriétés et les conditions aux frontières peuvent être appliquées à partir de SIGMA/W. Trois équations sont créées pour chaque nœud du maillage d'éléments finis. Deux de celles-ci sont des

équations d'équilibre pour les déplacements et la troisième est une équation de continuité pour l’écoulement de l’eau.

Pour une analyse non couplée, les valeurs de la pression interstitielle peuvent être obtenues séparément des logiciels SEEP/W, VADOSE/W ou QUAKE/W (de Geoslope).

Équations constitutives

Les relations incrémentales entre les contraintes et les déformations pour un sol saturé incluses dans le code Sigma/W, peuvent être écrites comme suit (Fredlund et Rahardjo, 1993) :

εx= (σx− u_E w)−ν_{E �σ}y+ σz− 2uw� (2. 54)

εy =�σy − u_E w�−_Eν(σx+ σz− 2uw) (2. 55)

εz= (σz− u_E w)−_Eν(σx+ σx− 2uw) (2. 56)

εi : Déformation normale dans la direction i (i=x,y,z), σi : Contrainte totale normale dans la direction i, (kPa) uw : Pression interstitielle, (kPa)

E : Module élastique (module de Young) (kPa) ν : Coefficient de Poisson.

Équation d'écoulement

L'écoulement bidimensionnel de l’eau interstitielle, dans un volume élémentaire du sol, est donné par l'équation de Richards (1931) (appliquée ici en condition saturée) (manuel de SIGMA/W):

kx γw ∂2_u w ∂x2 + ky γw ∂2_u w ∂y2 + ∂θw ∂t = 0 (2. 57)

uw : Pression interstitielle en kPa; θw : Teneur en eau volumique en m/m; t : Temps.

2.5.2.1 Informations requises pour réaliser une analyse couplée

Dans une analyse couplée, il est obligatoire de définir et d'appliquer à la fois le déplacement et les conditions hydrauliques aux frontières, car les deux ensembles d'équations sont résolus simultanément.

Une analyse couplée peut être simplifiée en permettant que la pression interstitielle ne change que dans les zones saturées. Cette option est utilisée ici (dans cette étude, on ne considère pas les conditions non saturées).

L’évolution du pas de temps par incréments

Dans une analyse couplée réalisée avec SIGMA/W, il est nécessaire de définir l’évolution du pas de temps incrémental. Toutes les directives pour créer les pas de temps incrémentaux sont discutées dans la documentation de SEEP/W (qui s'appliquent aussi pour SIGMA/W). Les incréments (pas) de temps initiaux doivent être assez petits, et ils peuvent être augmentés par la suite pour réduire le temps de calcul.

Changement de la conductivité hydraulique

Quand un sol se consolide, la conductivité hydraulique saturée peut diminuer pendant que la structure du sol devient plus compacte. Ce comportement peut être inclus dans une analyse couplée avec SIGMA/W en utilisant une fonction de k-modifiée telle que présentée dans la figure 2.20. La valeur de ksat est alors modifiée par un facteur qui dépend de la contrainte verticale effective σv’. Dans l’exemple montré à la figure 2.19, la valeur de k diminue par un facteur de 10 lorsque la contrainte effective augmente de le 10 à 100 kPa.

Figure 2.20 : Exemple de fonction k-modifiée disponible dans ce code SIGMA/W (tiré du code SIGMA/2007Geoslope).

Une telle relation peut être obtenue à partir d'un essai oedométrique conventionnel. La conductivité k peut être calculée à l’aide de l'équation suivante (e.g. Bardet 1997).

kh= c_{1 + e}vγwav

0 = cvγwmv (2. 58)

Où cv est le coefficient de consolidation obtenu à partir de l'essai oedométrique (cm2/s) (comme les valeurs de mv et av). En général, la conductivité k obtenue de cette méthode indirecte est peu précise et souvent erronée.

Le coefficient de compressibilité av est donné par l’équation suivante (Bardet 1997) : av =_σe1− e2

2 ′ _{− σ}

1

′ =_ΔσΔe′ (2. 59)

Le coefficient représente le changement de l’indice des vides suite à un changement de la contrainte effective.

La conductivité hydraulique kh calculée avec l’équation 2.59 correspond à la contrainte effective moyenne dans l'incrément de contrainte. Cette valeur peut être employée pour créer la fonction de k-modifiée.