Classes de traces et classes d’habitudes

Na Figura 5.4 é mostrado o comportamento de uma viga de aço biapoiada sob carga distribuída crescente, através da relação momento x curvatura da seção mais solicitada e dos diagramas de tensões normais nesta seção.

Figura 5.4: Viga biapoiada submetida a um carregamento crescente (Fonte: Pfeil e Pfeil, 2009). Admitindo que não há flambagem local (FLA e FLM) ou flambagem lateral com torção (FLT) da viga, o comportamento será linear enquanto a tensão máxima for menor que a tensão de escoamento do aço. A teoria de vigas (Euler-Bernoulli) postula que para uma barra de seção reta com dois eixos de simetria (Figura 5.5 e 5.6), em regime elástico, submetida a momento fletor atuante em um plano paralelo ao eixo longitudinal que contenha um dos eixos de simetria da seção, as tensões normais podem ser calculadas por:

max < fy

max = fy

y f W M y I M     _max 

Em que  é a tensão normal num ponto P, M é o momento fletor atuante na seção, y é a distância do ponto P ao eixo x, ymax é a distância do centro de gravidade da seção transversal até a fibra

extrema (ymax = d/2), I é o momento de inércia da seção em torno do eixo de flexão e W = I/ymax

é o módulo elástico da seção, em torno do eixo de flexão.

Então, o momento que leva a peça ao limiar do escoamento (limite elástico) é dado por:

y

y W f

M  . (5.1)

Figura 5.5: Tensões normais em uma seção submetida a momento fletor.

Figura 5.6: Limite elástico a flexão de uma seção retangular.

Note que agora foi utilizado o sub-índice y denotando escoamento (yield). O momento My

caracteriza o limite do comportamento elástico da peça, isto é, qualquer incremento no valor do momento fletor vai provocar incremento não linear nas tensões. Para momentos atuantes de valores iguais ou menores do que My as deformações são reversíveis, isto é, todas as fibras

submetidas a tensões maiores do que o limite elástico apresentarão deformações residuais uma vez cessada a solicitação. Para momentos atuantes maiores do que My as deformações não

desaparecem totalmente após a descarga. t P P P y c d P d y c t

M

x

b b L d d 2 d 6 d 3 z

T

C

(a) seção (b) deformações (c) tensões

t = y

c = y fy

A Equação 5.1 mostra que uma seção submetida ao momento My tem, atuando em sua fibra mais

solicitada, a tensão de escoamento, ou seja, o alongamento dessa fibra é o alongamento y. Se,

agora, é dado um incremento de deformação (giro) na seção, mais fibras vão atingir ou ultrapassar o alongamento y nas quais as tensões permanecem constantes no valor fy, de acordo

com o diagrama tensão-deformação idealizado, mostrado na Figura 5.7. Diz-se, então, que a seção está se plastificando, pois as deformações das fibras que ultrapassam o limite de proporcionalidade não são mais reversíveis.

Figura 5.7: Diagrama tensão/deformação de material elasto-plástico ideal.

Como pode se perceber, o momento My não representa a capacidade resistente da viga à flexão,

já que é possível continuar aumentando carga, e consequentemente o momento da seção. À medida que a deformação (giro da seção) aumenta, maior fica o patamar de tensões constantes (Figura 5.8c). No limite, quando as deformações longitudinais tendem a infinito, obtém-se um diagrama de tensões como o da Figura 5.8d, dizendo-se que a seção está totalmente plastificada.

Figura 5.8: Plastificação total de uma seção retangular.

Sendo A = Ac+At a área da seção transversal retangular, a força resultante de tração vale

Rt = Atfy e a força resultante de compressão é igual a Rc = Acfy. Assim, fazendo o equilíbrio à

translação: 2 / 0 A f A f A A A R R_c  _t   _{c y}  _{t y} _c  _t 

Esta condição leva a conclusão de que a linha neutra plástica (LNP) é a linha que divide a seção transversal em duas áreas iguais. Vale lembrar que a linha neutra elástica (LNE) é no centro de







y

f

y c y LN d fy

(a) seção (b) deformações (c) parcial (d) total t fy

R

c

R

t b zc zt

gravidade da seção transversal, ou seja, para seções duplamente simétricas, LNP e LNE são coincidentes (na metade da altura).

Do equilíbrio a rotação:



c t



y t t c c pl R z R z f A z A z M  .  .  2  2

Em que zc e zt são os braços de alavanca internos. Notando que o termo entre paretênses é uma

propriedade geométrica da seção transversal, pode-se agrupar:

y

pl Z f

M  . (5.2)

Em quem Z é o módulo plástico da seção.

A relação entre os módulos plástico e elástico é denominada de coeficiente de forma da seção, e pode representar a resistência adicional que a seção possui após o início do escoamento. Para algumas das seções mais usuais, esta relação vale:

Seções circulares: Z/W = 1,70 Seções retangulares: Z/W = 1,50

Seções “I” (duplamente simétrica): Z/W ≅1,12

Uma vez atingido o momento plástico Mpl, a seção não mais oferece resistência à rotação,

comportando-se como uma rótula, condição conhecida como rótula plástica. Em uma viga simplesmente apoiada, a rótula plástica coloca a viga numa situação de instabilidade, conhecida como mecanismo de colapso (Figura 5.9).

Figura 5.9: Formação da rótula plástica (Fonte: Pfeil e Pfeil, 2009).

A adoção de um diagrama elásto-plástico ideal para o aço é uma aproximação. Para deformações de valores até não muito maiores do que os da deformação de escoamento a aproximação é adequada. Em determinados casos, a deformação das fibras mais afastadas pode ser muito grande, acarretando a ruptura do material antes da plastificação total da seção. Por isso, a NBR 8800/08 limita o valor da relação entre o módulo plástico e o módulo elástico em 1,5. Adicionalmente, considerando que as tensões residuais estão sempre presentes nos perfis metálicos, causada, por exemplo, pelo resfriamento desuniforme das vigas laminadas ou soldadas, o início do escoamento se dará em um valor inferior do que My, como pode ser visto na

Figura 5.10. Pode ser visto que as tensões residuais antecipam o início do escoamento, entretanto, não afetam o momento último da seção Mpl.

Figura 5.10: Diagrama momento/rotação de uma seção de viga.

O momento residual é o momento que leva a fibra mais solicitada ao limite elástico, isto é, quando a máxima tensão de compressão atinge o valor fy. É definido como:



y r



r W f

M  .  (5.3)

A NBR-8800 estabelece que a tensão residual seja adotada ζr = 0,3.fy que leva ao momento

residual:

y

r W f

M  .0,7.

5.2.2 Flambagem local

Nem todas as seções são capazes de desenvolver tensões e deformações tais que atinjam o estado de plastificação (Mpl), devido ao fenômeno de flambagem local. Seções de paredes grossas têm

bom desempenho, chegando à plastificação, enquanto que vigas de paredes finas podem sofrer instabilidade local para baixas tensões normais de compressão na flexão.

Para prevenir a ocorrência da flambagem local deve-se limitar a relação largura/espessura (  b/t) da mesa comprimida e da alma do perfil da viga (Figura 5.12). A NBR 8800/2008 estabelece as relações largura/espessura limites para seções compactas (p) e semicompactas (r).

As seções que não são classificadas como compactas nem semicompactas são consideradas esbeltas (ver Figura 5.11). A saber:

• Seção compacta ( ≤ p): quando a seção pode atingir a plastificação total antes de

qualquer outra instabilidade, ou seja, alcançar o momento de plastificação Mpl , além

de exibir suficiente capacidade de rotação inelástica para configurar uma rótula plástica;

• Seção semicompacta (p <  ≤ r): quando a flambagem local ocorre após a seção

ter desenvolvido plastificação parcial, isto é, com um momento maior do que My,

mas sem apresentar significativa rotação;

• Seção esbelta (r < ): quando a flambagem local ocorre antes que seja atingido o

momento de início de plastificação My na seção.

Mpl = Z.fy My = W.fy Mr = W(fy-ζr)

M

Sem efeito de r Com efeito de r



y

Figura 5.11: Momento resistente em função da esbeltez

Figura 5.12: Notações utilizadas para efeito de flambagem local sobre a resistência à flexão de vigas I ou H com um ou dois eixos de simetria: (a) perfil laminado; (b) perfil soldado (Fonte:

Pfeil e Pfeil, 2009).

Os elementos comprimidos de um perfil podem estar em diferentes classes. O perfil como um todo é classificado pelo caso mais desfavorável.

O problema de flambagem local na flexão também deve ser tratado como um problema de flambagem de placa. As mesas dos perfis de seção abertas podem ser assimiladas a chapas com uma borda apoiada e a outra livre e, as almas e as mesas de perfis caixão se assimilam a chapas com as duas bordas apoiadas, definindo comportamentos diferentes, limitados pelos estados limites de Flambagem local da mesa (FLM) e a Flambagem local da alma (FLA), respectivamente. Diferentemente da compressão, na flexão uma parte da seção fica tracionada, o que garante maior estabilidade na seção e permite determinar os parâmetros referentes à flambagem com menos rigor do que foi considerado, não necessitando da análise particular introduzida com os efeitos devidos à pequena espessura das chapas, fatores Qs e Qa.

As mesas dos perfis abertos, na flexão, são submetidas a tensões de compressão que se distribuem ao longo da largura da chapa, uniformemente no inicio do carregamento e, com a continuação e aumento do carregamento as tensões alteram a sua distribuição, concentrando-se próximo da ligação com a alma, que é a região da seção com maior resistência à deformações. O valor teórico do coeficiente K, para este caso, é 0,425, entretanto, as especificações costumam adotar valores maiores, confirmados em ensaios. A NBR 8800/08 adota 0,76 a fim de levar em

M

n



0 p r Mpl Mr Seção compacta

comcompactascompacta _{Seção semi-} esbelta

Seção esbelta

conta a contribuição da alma à rigidez da mesa, conduzindo para a tensão crítica de flambagem elástica da mesa:

(5.4)

Igualando esta expressão à tensão de proporcionalidade, encontra-se a expressão para a esbeltez da chapa no limite de aplicação da flambagem elástica:

√ (5.5)

A esbeltez para que não ocorra flambagem, é determinada considerando a chapa com o coeficiente teórico, pois próximo da plastificação a contribuição da alma deve ser desprezada.

√ (5.6)

As almas dos perfis metálicos são assumidas como chapas engastadas em suas bordas e submetidas a tensões contidas no seu plano, com variação linear ao longo da altura, tracionando e comprimindo metades alternadas da altura da chapa. Para esta situação de carregamento os valores para as esbeltez limites entre a plastificação e a flambagem inelástica são determinados por meio da mesma expressão de flambagem elástica de chapas. Os valores para o coeficiente k consideram o engastamento das bordas da chapa e a influência das tensões residuais é desconsiderada. Para os perfis laminados, são fornecidas:

√ e _{√ (5.7)}

Entretanto, para as almas não é considerada a flambagem elástica, pois quando ocorre o valor de λ maiores que λr a viga é classificada como esbelta e o dimensionamento é particularizado. O

Anexo H da NBR 8800/08 é exclusivamente dedicado a este problema. Pode ser observado que as seções esbeltas praticamente não ocorrem nos perfis laminados ou soldados fabricados em série e, mesmo nos perfis soldados projetados, sua ocorrência não é comum.

Concluindo, o perfil apresentará flambagem local elástica quando



 _r



, sendo Mn=Mcr. Para



p



ocorrerá plastificação e Mn=Mpl=Zfy. Por fim, ocorrerá flambagem inelástica para

valores de λ, intermediários entre λp e λr e os valores do momento resistente são obtidos por

interpolação linear:

* ( ) + (5.8)

Cabe salientar que a MRd, que é definido como o momento resistente de projeto, pode ser obtido

A norma NBR 8800/08 fornece os demais valores dos limites e das resistências para todas as seções aplicáveis.

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