Les classes d’isogénie

On a vu qu’un objet(V;τ, τ)de C(T, T;s)détermine une classe de conjugaisonγ0 dans G(F)qui est(T, T)-admissible et s-norme enT. On va voir que, réciproquement, une classe de conjugaison deG(F)qui est(T, T)-admissible ets-norme enT, détermine uniquement une classe d’isomorphisme deC(T, T;s). Ceci constituera l’analogue de la théorie de Honda–Tate dans notre problème de comptage. Il s’agit encore d’une variante d’un théorème de Drinfeld, déjà généralisé par Laumon, Rapoport, Stuhler et par Lafforgue à d’autres contextes.

THÉORÈME 1. –L’application qui associe à un objet(V;τ, τ)deC(T, T;s)la classe de conjugaisonγ0 deG(F)conjuguée dansG(F⊗_Fq k)à γ=τ^sτ⁻¹, définit une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphisme deC(T, T;s)sur l’ensemble des classes de conjugaison deG(F)qui sont(T, T)-admissibles ets-normes enT.

Démonstration. –Il s’agit de vérifier que l’application (V;τ, τ) →γ0 est injective et surjective. Vérifions d’abord lasurjectivité.

Soitγ₀une classe de conjugaison deG(F)qui est(T, T)-admissible ets-norme enT. On va construire un objet(V;τ, τ)deC(T, T;s)dont la classe de conjugaison dansG(F)associée estγ₀en plusieurs étapes.

Étape 1 : leφ-espace irréductible(W, ψ)facteur de(V, τ). Prenons un représentant de la classe de conjugaisonγ0qu’on noteγ0∈D^×. SoitE=F[γ0]la sous-F-algèbre deDengendrée parγ0. C’est une extension de corps deFpuisqueDest une algèbre à division. Le degré de cette extensione= [E:F]divise le rang deDqui est égal àd.

Notons XE le normalisé de X dans E. D’après l’hypothèse de (T, T)-admissibilité, le diviseurdiv(γ0)se casse en somme de deux diviseurs de degré0supportés respectivement par TetT

div(γ₀) = div_T(γ₀) + div_T(γ₀).

Soit E_T le plus petit sous-corps deE tel queDiv⁰(X_ET)⊗Q contient encore la Q-droite engendrée pardiv_T(γ₀). Notonse_T = [E_T:F].

La paire (E_T,div_T(γ₀)/s) est alors une φ-paire minimale. Soit (W, ψ) un φ-espace irréductible correspondant à(ET,divT(γ0)/s); il est bien défini à isomorphisme près. Soitb le plus petit entier naturel tel que

div_T(γ₀) s ∈1

bDiv⁰(XET).

D’après le théorème 4 de 4.3,End(W, ψ)est une algèbre à division centrale surE_T de dimension b²surE_T et

dim_F⊗k(W) =be_T.

Étape 2 : structure de D^op-module sur le bon multiple de (W, ψ). Considérons le multiple(V, τ) = (W, ψ)^r avecr=d²/be_T. L’espace vectorielV a donc la bonne dimension d²surF⊗k. Notons que

dim_ETM_r

End(W, ψ)

=r²b²= d⁴ e²_T.

Pour donner àV une structure deD^op-module par rapport à laquelleτestidD⊗σ-linéaire, il suffit de construire un plongement

D^op →Mr

End(W, ψ)

ou, ce qui est équivalent, un plongement d’algèbres simples centrales surET

D^op⊗FE_T →M_r

End(W, ψ) .

Ceci est encore équivalent à l’existence d’une autre algèbre simple centraleCsurE_T telle que (D^op⊗FET)⊗CMr

End(W, ψ) . Une telle algèbre simple centraleEdoit avoir la dimension

dimET(C) =dimETMr(End(W, ψ)) dimET(D^op⊗FET) =d²

e²_T et l’invariant

inv(C) = inv

End(W, ψ)

−inv

D^op⊗FET

l’égalité étant prise dansDiv⁰(X_ET)⊗Q/Z. Pour queCexiste il faut et il suffit que inv

End(W, ψ)

−inv

D^op⊗FET

∈eT

d Div⁰(XET)/Div⁰(XET).

Rappelons un lemme [14, III.4, lemme 4].

LEMME 2. –Soient E une extension de F et A une algèbre simple centrale sur E de dimension d². Soit E une extension de E de degré e. Pour qu’il existe un plongement de E →A, il faut et il suffit quee divise det que l’image deinv(A)dansDiv⁰(XE)⊗Q/Z soit dans

inv(A⊗EE)∈e

dDiv⁰(X_E)/Div⁰(X_E).

On a les inclusionsET ⊂E⊂D^opde sorte qu’en vertu du lemme ci-dessus, on a inv

D^op⊗FE_T

∈eT

d Div⁰(X_ET)/Div⁰(X_ET).

Par ailleurs, grâce au théorème 4 de 4.3, on sait que l’invariant inv

End(W, ψ)

∈Div⁰(XET)⊗Q/Z

est égal à l’image de−divT(γ0)/s∈Div⁰(XET)⊗Q. Il reste donc à démontrer que divT(γ0)

s ∈eT

d Div⁰(XET).

On va utiliser le lemme suivant.

LEMME 3. –Soitγ0un élément deD^× dont la classe de conjugaison est unes-norme enT. SoitElaF-sous-algèbre deDengendrée parγ0. Notonse= [E:F]. Alors on a

divT(γ0)∈e

dDiv⁰(XE) oùdivT(γ0)est la partiediv(γ0)supportée parT.

Démonstration. –SoitDle centralisateur deEdansD. C’est une algèbre à division centrale de rangd/esur E. En remplaçant D parD etF par E, on peut supposer que l’élémentγ0

appartient àF. En une placex∈ |T|,DxGLd(Fx). Il existe doncδ∈GLd(Fx⊗_FqFq^s)tel que

γ₀=δσ(δ)· · ·σ^s−1(δ).

On en déduit que

det(γ0) = Ns

det(δ)

de sorte que la valuation dedet(γ0)est divisible pars. Or vu comme élément du centreFx, on a det(γ0) =γ₀^dd’où le lemme. 2

Suite de l’étape 2. L’inclusion E_T ⊂E induit un revêtement π:X_E →X_ET de degré e/eT. L’application injective π^∗: Div⁰(XET)→Div⁰(XE) induit par tensorisation avec Q l’application usuelle E_T^× ⊗Q→E^×⊗Q. Mais on a aussi l’application π_∗: Div⁰(XE)→ Div⁰(XET). Pour toutQ∈Div⁰(XET), on aπ_∗(π^∗(Q)) =_e^e

TQ. On en déduit que si Q∈Div⁰(X_E)∩Im

Div⁰(X_ET)⊗Q alorsπ^∗(π_∗(Q))est aussi égale à_e^e

TQ.

D’après le lemme, il existe un diviseur Q∈Div⁰(XE) tel que divT(γ0)/s = ^e_dQ. En particulier,Q est dansDiv⁰(XE)∩Im[Div⁰(XET)⊗Q] si bien queQ=^e_e^Tπ^∗(π_∗(Q)). On obtient donc une égalité de diviseurs deX_ET

divT(γ0) s =eT

d π_∗(Q)

avecπ_∗(Q)∈Div⁰(X_ET). C’est ce qu’il fallait pour qu’il existe une algèbre simple centraleC surET telle que

D^op⊗FCEnd

(W, ψ)^r .

Étape 3 : plonger E dans les endomorphismes de (V, τ). On a obtenu unD^op⊗_Fq k-moduleV muni d’une bijectionidD⊗σ-linéaireτ. De plus, l’anneau des endomorphismes de (V, τ)est égal àC. Il reste à construire une bijectionidD⊗σ^s-linéaireτ qui commute àτ. Il revient au même de construire une action deγ0ou ce qui est équivalent de montrer l’existence d’un plongementE →C. D’après le lemme 2, il suffit de démontrer que[E:E_T] =e/e_T divise d/e_T et que

inv(C)∈e

dDiv⁰(XE)/Div⁰(XE).

La première divisibilité est automatique. Par ailleurs, dansDiv⁰(X_E)⊗Q/Z, on a l’égalité inv(C) =−divT(γ0)

s −inv D^op

.

PuisqueEpeut être plongé dansD^op, on a d’après le lemme 3 inv

D^op

∈e

dDiv⁰(XE)/Div⁰(XE).

Par ailleurs, on a

divT(γ0) s ∈e

dDiv⁰(XE)

d’après le lemme 3. Donc, on peut plonger E dans C= End(V, τ) et obtenir une bijection id_D⊗k-linéaire deV commutant àτ. Posonsτ=γ₀τ^s.

Étape 4 : le triplet (V;τ, τ) est bien un objet de C(T, T;s). Soit n un entier assez divisible tel qu’il existe un D⊗_Fq Fqⁿ-sous-module de V, stable par τ et τ, tel que V = V⊗_Fqnk. NotonsElaF-sous-algèbre deEnd(V)engendrée parτⁿ|V etτⁿ|V. On a dans El’égalité

γ₀ⁿ=τ^ns

Vτ⁻ⁿ

V.

Les paires (E, γ₀ⁿ) et (E, γ₀ⁿ) sont isomorphes dans la catégorie E de sorte que le diviseur div(γ₀ⁿ)surX_E est supporté parT∪T. Par construction deτ, la partie dediv(γ₀ⁿ)supportée parT estdiv(τ^ns|V); il s’ensuit que la partie supportée parTestdiv(τ⁻ⁿ|V).

Soitx∈ |X−T|. Par ce qui précède, l’élémentτ_x^ns|V_x est une unité de E_x. L’application idD⊗σ-linéaireτx|V_x duDx⊗_Fq Fqⁿ-moduleV_x a unens-normeτ_x^ns|V_x compacte. D’après Kottwitz,τx|V_x doit fixer unDx⊗_FqFqⁿ-réseau de sorte que la paire(Vx, τx)est isomorphe à la paire(Dx⊗Fqk,idDx⊗σ).

L’assertion surτse démontre de même.

Étape 5 : la classe de conjugaison associée à(V;τ, τ)est bienγ₀. C’est évident sur la construction deτ=γ₀τ^s.

On a donc démontré que l’application(V;τ, τ)→γ₀ de l’ensemble des classes d’isomor-phisme des objets deC(T, T;s)sur l’ensemble des classes de conjugaison deG(F)qui sont (T, T)-admissibles ets-norme enT, estsurjective. Nous allons maintenant vérifier qu’elle est injective.

Soitγ0une classe de conjugaison deG(F)qui est(T, T)-admissible ets-norme enT. Soit ElaF-sous-algèbre deDengendrée par un représentantγ0de la classe de conjugaisonγ0.

Soit(V;τ, τ)un objet deC(T, T;s)dont la classe de conjugaison associée dansG(F), est γ0. Puisque(V, τ) est irréductible comme D⊗Fq k-module muni d’une bijection idD⊗Fq k-linéaire, en oubliant l’action de D, comme φ-espace, (V, τ) est isotypique. Le φ-espace irréductible (W, ψ), facteur de (V, τ), est complètement déterminé par γ0, car la φ-paire qui lui est associée par le théorème 4 de 4.3 est isomorphe dansE à laφ-paire(E,div_T(γ₀)). Ainsi (W, ψ)est nécessairement leφ-espace irréductible construit dans l’étape 1.

Commeφ-espace,(V, τ)est donc nécessairement isomorphe à(W, ψ)^roù l’entierrest défini comme dans l’étape 2. La structure deD^op-module est alors donnée par un homomorphisme d’algèbres

D^op →End (W, ψ)^r.

Dans l’étape 2, on a démontré que celui-ci existe. Il est de plus unique à automorphisme intérieur près, d’après le théorème de Skolem–Noether.

Il reste à construire une bijection idD⊗σ^s-linéaire τ de V commutant à τ telle que l’automorphismeτ^sτ⁻¹ est conjugué dans G(F ⊗Fqk)àγ0. Il revient au même de plonger

l’algèbre E=F[γ0] dans le commutant C de D^op dans End (W, ψ)^r. On a démontré dans l’étape 3 que ce plongement existe. Il est unique à automorphisme intérieur près, de nouveau d’après le théorème de Skolem–Noether. 2

4.6. Le groupe des automorphismes de(V;τ, τ)

Soitγ₀une classe de conjugaison deG(F)qui est(T, T)-admissible ets-norme enT. Soit (V;τ, τ)l’objet deC(T, T;s)qui lui correspond et qui est bien défini à isomorphisme près.

On va démontrer que le groupe des automorphismes de(V;τ, τ) est le groupe desF-points d’une forme intérieureJ_γ0 du centralisateurG_γ0 deγ₀ dansG. D’après le principe de Hasse pour les groupes adjoints, la classe d’isomorphisme de cette forme intérieure est complètement déterminée par celle des groupes locaux Jγ0,v, formes intérieures deGγ0,v qu’on va décrire explicitement.

L’automorphismeγ=τ^sτ⁻¹deV détermine une classe de conjugaison deG(F⊗_Fqk)dont on choisit un représentant noté aussiγ. SoitGγ(F⊗_Fqk)le centralisateur deγdansG(F⊗_Fqk).

Puisqueτcommute avecγ,τdétermine un automorphisme deGγ(F⊗_Fqk). Formons le produit semi-direct

G_γ(F⊗_Fqk)τ.

Il est clair queAut(V;τ, τ)est le groupe des points fixes deG_γ(F⊗Fqk)sous l’action deτ. On veut construire unF-groupeJ_γ0dont le groupe desF-points estAut(V;τ, τ).

On choisit un représentant γ₀∈G(F) dans la classe de conjugaison γ₀. Le centralisateur Gγ0 étant défini sur F, l’endomorphisme de Frobenius agit comme un automorphisme sur Gγ0(F⊗_Fqk). Formons le produit semi-direct

G_γ0(F⊗_Fqk)σ.

Il est clair que le groupeG_γ0(F)est le groupe des points fixes deG_γ0(F⊗Fqk)sous l’action deσ.

LEMME 1. –Pourrassez divisible, on a un isomorphisme de produits semi-directs G_γ(F⊗Fqk)

τ^r _∼

−→G_γ0(F⊗Fqk) σ^r

.

Démonstration. –Prenons uneFq-structure deD^op⊗Fqk-moduleV. Pour une extension assez grande deFq,τ etτvont être définis sur cette extension si bien qu’il va en être de même deγ.

On peut donc supposerγ=γ₀.

SoitE=F[γ]. Puisque l’homomorphismeE^×→Div⁰(X_E)a un noyau et un conoyau finis, on peut décomposer

γ^r=δ^sδ⁻¹

avecδ, δ∈E^× tels quediv(δ)soit supporté parT, et div(δ)parT en utilisant l’hypothèse que γ est (T, T)-admissible et s-norme en T, pour un entier r assez divisible. L’assertion d’injectivité du théorème 1 de 4.5 montre que les triplets(V;τ^r, τ^r) et(V;δσ^r, δσ^rs)sont isomorphes car ils correspondent tous les deux à la classe de conjugaison deγ^r. Il ne reste qu’à remarquer queδ∈E^×appartient au centre deG_γ(F⊗Fqk)de sorte que les actions deσ^ret de δσ^rsurG_γ(F⊗Fqk)sont les mêmes. La proposition s’en déduit. 2

PROPOSITION 2. –Soitγ0une classe de conjugaison deG(F)qui est(T, T)-admissible et s-norme enT. Soit (V;τ, τ)la classe d’isomorphisme de la catégorie des fibres génériques

C(T, T;s)qui lui correspond par le théorème1 de4.5. Il existe une forme intérieureJγ0 de Gγ0telle que

Jγ0(F) = Aut(V;τ, τ).

Démonstration. –Le triplet(V;τ, τ)induit une paire(V;γ)où on peut voirV comme un G-torseur surF⊗_Fqket oùγ:V →V est un automorphisme de ceG-torseur. L’hypothèse queγet γ0soient conjugués dansG(F⊗_Fqk)implique que la paire(V, γ)est isomorphe à(G⊗_Fqk, γ0).

L’ensemble des isomorphismes

L:= Isom

(G⊗Fqk, γ₀),(V, γ) définit donc unGγ0-torseur surF⊗_Fqk.

Le diagramme commutatif

σV ^τ

σ(γ)

V

γ

σV _τ V

induit un isomorphismeτ:^σL−→ L^∼ et donc une classe dans H¹

σ, G_γ0(F⊗k) .

La proposition se ramène à démontrer que l’image de cette classe dans H¹

σ, G^ad_γ0(F⊗k)

provient d’un cocycle continu, c’est-à-dire d’un élément de H¹(Z, G ^ad_γ0(F ⊗k)), ce qui est le contenu du lemme précédent. 2

D’après le principe de Hasse pour les groupes adjoints, la forme intérieureJ_γ0 deG_γ0 est complètement déterminée par les formes localesJ_γ0,vdeG_γ0,vqu’on peut décrire facilement à partir de(V;τ, τ).

– Soit v une place de X en dehors de T. Par hypothèse la paire (V_v, τ_v) est isomorphe à(D_v^op⊗_Fq k,idDv⊗σ). Les vecteurs fixes sous τv forment donc unD^op_v -module libre V_x^τv=1. Puisqueτ_v commute àτ, il laisse stableV_v^τv=1 et sa restriction à V_v^τv=1 est une bijectionD_x^op-linéaire dont la classe de conjugaison estγ0. Un automorphismeD_v^op⊗_Fq k-linéaire de Vv qui commute à τv laisse stable V_v^τv=1. Si de plus, il commute à τ, sa restriction à V_v^τv=1 doit commuter à la restriction de τ_v. Cela définit une bijection de Jγ0(Fv)avec le centralisateur deγ0dansG(Fx).

– Pour une place x∈ |T|, on a nécessairementx /∈ |T|, de sorte que la paire (Vx, τ_s)est isomorphe à

(D_x⊗FqFq^s)⊗Fqs k,id_D

x⊗FqFqs⊗σ^s .

Les vecteurs fixes sousτ_x forment unDx⊗_FqFq^s-moduleVx^τx=1libre de rang1. Puisque τ_xcommute àτ_x,τ_xdéfinit une bijectionσ-linéaire deVx^τx=1dans lui-même et donc une classe deσ-conjugaisonδxdu groupeG(Fx⊗_FqFq^s). On déduit de la relationγ0=τ^sτ⁻¹ que las-norme deδx est égale à γ0. Le groupe Jγ0(Fx)est alors le centralisateur tordu deδx.

COROLLAIRE 3. –Si en toutes les placesvdeF,Jγ0,vest isomorphe àGγ0,valorsJγ0 est isomorphe àGγ0.

Dans le document <span class="mathjax-formula">$D$</span>-chtoucas de Drinfeld à modifications symétriques et identité de changement de base (Page 29-35)