Calcul des traces sur [A] aux points cycliques

Prenons le même pointu= (u₁, . . . , u_r)deU comme dans 5.3 dont l’image[u]dansU_τ

SoientTetβTcomme dans le paragraphe précédent. En appliquant la formule des traces de Grothendieck–Lefschetz, on obtient la formule

oùFixdésigne l’ensemble des classes d’isomorphisme d’objets de la catégorie des points fixes Fix(σ^s◦(1⊗ · · · ⊗1⊗ΦβT),(S_λ^I)^r(u)).

Les objets de cette catégorie des points fixes sont constitués de

• Vi∈ D-Cht^I_λ((u_i))pour tousi= 1, . . . , r,

• des isomorphismes V2 −→∼ σ^s(V1), . . . ,Vr −→∼ σ^s(V_r−1) et d’une T-modification σ^s(V^r)^T−→ V^∼ ₁^T qui en toute placev∈ |T|soit de typeβv.

Il revient au même de se donner un pointV= (V, t, ι)∈ D-Cht^I_λ(u1)(k)et uneT-modification t:^σrsV^T→V^T qui ait le typeβven toute placev∈ |T|.

Comme dans le paragraphe précédent, on a les assertions suivantes.

PROPOSITION 1. –Soitzun point fixe deσ^s◦(1⊗ · · · ⊗1⊗Φ_βT)dans(S_λ^I)^r(u). Àzest

Les catégories

C^I_αu1,β

T(T, T;rs) et C^Ir

i=1αui,β_T(T, T;s)

ne semblent pas équivalentes de façon naturelle. Néanmoins, la formule de comptage leur donne le même cardinal. En effet, en appliquant le théorème 1 de 4.7, et en tenant compte du fait que l’extensionF⊗_FqFq^rsdeF est totalement décomposée enx, on obtient la formule

#C^I_αu

oùφ_αx∈ H(G(Fx))est la fonction caractéristique de la G(Ox)-double classe correspondant àαx.

pour tous les points cycliquesu= (u_i). Le théorème 1 de 3.3 s’en déduit par le théorème de densité de Chebotarev comme il a été expliqué dans 5.1. 2

5.5. Calcul sur la petite diagonale : situationA

Soitxun point fermé de degré1deX−I,xle point géométrique au-dessus dexet notons r.x:= (x, . . . , x

r

)∈(X−I)^r(k)

le point sur la petite diagonale correspondant.

La fibre (S_λ^I)^r(r.x)est la catégorie des(Vi)^r_i=1 où Vi= (Vi, ti, ιi)∈ S_λ^I(x). Puisque xest défini surFq, cette fibre a uneFq-structure évidente. Elle est de plus munie d’un automorphisme τd’ordrerqui permute les facteurs de manière cyclique.

SoientTun fermé deXévitantx, etβTune fonction qui associe à toutev∈ |T|une double

• (γ0, δx)parcourt l’ensemble des paires constituées d’une classe de conjugaisonγ0deG(F) et d’une classe deσ-conjugaison

δx∈G

(F⊗FqFq^r)x

dont la norme estγ0,

• la fonctionψλ_x⊗FqFqr est la fonction sphérique correspondant à la double classe λdans l’algèbre de HeckeG((F⊗_FqFq^r)x).

5.6. Calcul sur la petite diagonale : situationB

Soientx, xetr.xcomme dans 5.5. On va maintenant calculer la trace sur la fibre deB au-dessus du pointr.x= (x, . . . , x); ce calcul est un peu plus difficile que dans le casAcar on doit utiliser la théorie des modèles locaux et l’interprétation géométrique de l’homomorphisme de changement de base, voir [20].

Rappelons que l’action deτsur la fibre[B]r.xa été obtenue par prolongement d’une action définie géométriquement sur restriction de [B] sur l’ouvertU. A priori, on ne connaît pas la trace du Frobenius tordu parτen dehors de l’ouvertU. Les modèles locaux sont utiles dans ces situations de mauvaise réduction.

SoitX^[r]=X^r/Sr lar-ième puissance symétrique deX. Un k-pointT deX^[r] est un diviseur effectif de degrérdeX. Pour toutλ∈Z^d₊, on poseλT :=

(miλ)xioùT= mixi. On a un morphisme

c^I_[rλ]:S_[rλ]^I →X^[r]

où la fibre dec^I_[rλ] au-dessus d’un pointT ∈X^[r] est la catégorie en groupoïdes des triplets (V, t, ι)oùV ∈ D-Fib(k), oùt:^σV^T−→ V^{∼ T} est uneT-modification d’invariantinv(t)λT et oùιest uneI-structure de niveau.

On a un diagramme commutatif

S_r.λ^{I c}

I r.λ

πS

X^r

π

S_[rλ]^I

c^I_[rλ] X^[r]

oùπ_S envoie un point

(xi)^r_i=1, (Vi)^r_i=0, ti:V_i^xi−→ V^∼ _i^x₋ⁱ₁, ε:^σV0−→ V∼ r, ι

de S_r.λ^I au-dessus de(x₁, . . . , x_n), sur le point(t:^σV0^T → V0^T, ι)de S_[rλ]^I au-dessus deT = x1+· · ·+xr∈X^(r), oùtest la modification composéet:=ε◦tr◦ · · · ◦t1. D’après la propriété de factorisation du paragraphe 1.2, ce diagramme est cartésien au-dessus de l’ouvertπ(U)oùU est le complémentaire dansX^rde la réunion des diagonales.

On a de plus un diagramme cartésien

S_r.λ^{I fr.λI}

π_S

Qr.λ π_Q

S_[rλ]^I

f_[rλ]^I Q[rλ]

oùQr.λest le champ des

(x1, . . . , xr); (0 =Q0⊂Q1⊂Q2⊂ · · · ⊂Qr)

oùx1, . . . , xr∈X, oùQi sont desD-modules de torsion tels queQi/Qi−1 est supporté par x_ietinv_xi(Q_i/Q_i−1)λ. Le champQ[rλ]classifie les paires(T, Q)oùT∈X^(r)etQest un D-module de torsion tel queinv(Q)λT. Le morphismeπ_Q:Qr.λ→ Q[rλ]est défini par

(x1, . . . , xr); (0 =Q0⊂Q1⊂Q2⊂ · · · ⊂Qr)

→(T, Q)

avecT=x1+· · ·+xretQ=Qr.

PROPOSITION 1. –Le morphismeπ_Q:Qr.λ→ Q[rλ]est un morphisme petit au sens stratifié.

En particulier, l’image directeR(π_Q)_∗Ar.λest un faisceau pervers prolongement intermédiaire de sa restriction à l’ouvert où il est un système local.

Notons que la notion du morphisme petit au sens stratifié de Mirkovic et Vilonen, pour les schémas, voir [19], est conservé par un changement de base lisse. Il est donc bien défini pour les champs d’Artin. Il revient donc au même de démontrer la proposition après un changement de base lisse surjectif comme dans 1.1.5 pour se ramener aux grassmanniennes affines auquel cas elle est démontrée dans [19,21].

Au-dessus de l’ouvertπ(U), le diagramme

Qr.λ X^r

Q[rλ] X^[r]

est cartésien de sorte qu’on a une action deS_rsur la restriction deR(π_Q)_∗Ar.λà l’image inverse deπ(U)dansQ[rλ]. On en déduit une action deS_rsur tout le faisceau perversR(π_Q)_∗Ar.λpar fonctorialité du prolongement intermédiaire.

D’après [20], l’action induite de la permutation cycliqueτ sur ce faisceau pervers est reliée à l’homomorphisme de changement de base d’algèbres de Hecke. La fibre deQ[rλ] au-dessus du pointT =rxa les pointsQ_α(x)paramétrés parαrλ, tous définis surFq. On définit une fonction de l’algèbre de HeckeHxen prenant la combinaison linéaire

ψ[rλ](x)=

αrλ

Tr σ◦τ,

R(π_Q)_∗Ar.λ

Qα(x)

φαx

oùφαx∈ H(G(Fx))est la fonction caractéristique de la double classe correspondant àα. On a l’énoncé suivant, voir [20, théorème 3].

PROPOSITION 2. –Soityun point fermé deX⊗_FqFq^r au-dessus dex. SoientHyl’algèbre de Hecke du groupeG((F⊗_FqFq^r)y)etb:Hy→ Hxl’homomorphisme de changement de base.

Alors on a l’égalité

ψ_[rλ](x)=b(ψ_λ(y)).

Avant de continuer notre discussion, rappelons qu’on a un diagramme : Qr.λ

π_S

S_r.λ^I

f_r.λ^I c^I_r.λ

π_Q h

(X−I)^r

π

Q[rλ] S_[rλ]^I

f_[rλ]^I c^I_[r.λ] (X−I)^[r]

dont le carré de gauche est cartésien et dont le carré de droite est commutatif. Notonshla flèche diagonale du carré de droite.

Le complexe d’intersection F_r.λ^I = (f_r.λ^I )^∗Ar.λ étant localement acyclique par rapport au morphismec^I_r.λ:S_r.λ^I →(X−I)^r, les faisceaux de cohomologie

Bi= Rⁱ c^I_r.λ

∗F_r.λ^I

sont des systèmes locaux. Rappelons qu’on a une action deS_rsur la restriction deB_ià l’ouvert U compatible à l’action de ce groupe surU. Cette action s’étend à toutB_i qui est un système local.

Puisqueπ: (X−I)^r→(X−I)^[r]est un morphisme fini, on a Rⁱh_∗F_r.λ^I =π_∗Bi.

En particulier,Rⁱh_∗F_r.λ^I est muni d’une action deS_rdéduite de celle surB_i.

Par ailleurs,Rh_∗F_r.λ^I = Rc^I_[rλ],∗R(π_Q)_∗F_r.λ^I oùR(π_Q)_∗F_r.λ^I = (f_[r.λ]^I )^∗A[r.λ], de sorte que R(π_Q)_∗F_r.λ^I hérite l’action canonique de S_r sur le faisceau pervers A[r.λ]. On en déduit donc une action deS_r sur tout le complexe Rh_∗F_r.λ^I , et en particulier sur ses faisceaux de cohomologie.

PROPOSITION 3. –Les deux actions deS_r sur Rⁱχ_∗F_r.λ^I construites ci-dessus sont iden-tiques.

Démonstration. –Soitjl’immersion ouverte de l’imageπ(U)dans(X−I)^[r]. Puisqueπest un morphisme fini, on a

π_∗Bi=j_∗j^∗π_∗Bi

oùj_∗ est le foncteur image directe sur les faisceaux ordinaires. Il suffit alors de vérifier que les deux actions deS_rcoïncident surπ(U)ce qui est une tautologie. 2

Au-dessus du point[rx]image der.x∈X^rdansX^[r]le morphisme finiπ:X^r→X^[r]est complètement ramifié c’est-à-dire que l’image inverse de[rx]est un épaississement der.x. Par conséquent la fibre de π_∗B_i en [rx] est canoniquement isomorphe à la fibre deB_i enr.x. La compatibilité entre les deux actions deτdémontrée dans la proposition précédente, implique l’égalité

Tr

τ◦σ◦Φβ_T,[Br.x]

= Tr

τ◦σ◦ΦβT,RΓ S_[rλ]^I

[rx]

,R(π_S)_∗F_r.λ^I

où dans le membre droit l’action de τ provient de l’action triviale sur l’espace S_[rλ]^I ([rx])et de l’action non triviale deτsur le faisceau perversR(π_S)_∗F_r.λ^I provenant de l’action deτ sur R(π_Q)_∗Ar.λ.

On est maintenant en position d’appliquer la formule des traces de Grothendieck–Lefschetz

qui est un coefficient deb(ψ_λx) exprimé comme combinaison linéaire des φ_α(x) d’après la proposition 2. On déduit la formule suivante du théorème 1 de 4.7 et de la proposition 2 de cette section.

où la fonctionψλx est celle définie dans le corollaire1de5.5.

En appliquant le théorème 1 de 3.3, et en tenant compte du fait que les fonctionsφβv peuvent être prises arbitrairement, on obtient la formule.

COROLLAIRE 5. –Soit

v=xφv une fonction telle que presque partout φv est l’unité de l’algèbre de Hecke;alors on a l’égalité

Notons qu’à la différence de la formule globale de Arthur et Clozel [1], en les placesv=x, on n’a que des intégrales orbitales non tordues.