Choix de la modulation d’amplitude

En général, lorsqu’on souhaite réaliser un balayage de type spirale, on module l’amplitude du signal sinusoïdal d’excitation par une rampe linéaire (fonction f1). Ainsi le balayage en spirale couvre un champ de vue en forme de disque. Grâce à la carte NI fonctionnant sous LabVIEW, nous générons un signal de commande de ce type pour exciter chacun des deux axes propres ~X et ~Y du bras de fibre. Avec le PSD, nous visualisons la trajectoire du bras de fibre. Comme on peut le voir suivant un axe dans la figure 4.27, le bras de fibre ne suit pas la commande, c’est-à-dire que la position de la face de sortie de la fibre sur cet axe n’est pas proportionnelle à la tension de commande associée à cet axe, à tout instant.

La trajectoire 2D de la face de sortie de la fibre mesurée par le PSD (figure 4.28) montre que le balayage n’est pas uniforme radialement. En effet, la densité de points de mesure est beaucoup plus élevée au centre qu’en périphérie. Ceci est dû au fait que le bras de fibre a une vitesse angulaire constante et que la fréquence d’échantillonnage est fixe au cours du balayage (250 kHz). Les mesures sont alors acquises à des positions angulaires fixes mais la distance entre les points de mesure augmente à mesure que la dimension des spires augmente.

Chapitre 4

Figure 4.27 – a) Signal de commande sinusoïdal modulé par une rampe linéaire générée par la carte NI (avant amplification) ; b) Position de la face de sortie de la fibre sur un axe excité, mesurée avec le PSD.

Figure 4.28 – Trajectoire 2D de la face de sortie de la fibre mesurée avec le PSD pour un balayage de type spirale avec une modulation d’amplitude par rampe linéaire.

Pour une image de 250 x 250 pixels, nous avons évalué le nombre de positions mesurées par le PSD associées à chaque pixel (figure 4.29 a). Chacun des pixels au centre de l’image est associé à plus de 10 positions mesurées, avec un maximum de 859 positions pour un pixel, alors qu’à l’extrême périphérie il y a au maximum une seule position par pixel.

Ensuite, nous avons aussi déterminé le nombre de pixels non nuls dans le champ de vue (délimité par un cercle vert dans la figure 4.29 b), c’est-à-dire ceux correspondant au minimum à une position du bras de fibre pour laquelle une mesure est effectuée. Seulement 30 % des pixels sont non nuls. Plus précisément, il y en a 58 % dans la partie centrale (délimitée par un cercle bleu de rayon deux fois plus petit que le cercle vert) alors qu’il n’y en a que 20 % dans la partie externe du champ de vue (anneau compris entre les cercles bleu et vert). L’ensemble de ces résultats confirme que la modulation d’amplitude par une rampe linéaire entraîne une très grande densité de points de mesure au centre de l’image et par conséquent une part importante de pixels du champ de vue sont nuls, surtout en périphérie.

Figure 4.29 – a) Nombre de points de mesures associés à chaque pixel ; b) Pixels non nuls (c’est-à-dire associés à au moins un point de mesure) en rouge dans le champ de vue délimité par un cercle vert avec la partie centrale délimitée par un cercle bleu. La partie externe correspond à l’anneau compris entre les cercles bleu et vert.

Afin de rechercher les conditions d’excitation permettant d’aboutir à une densité de points de mesure plus homogène et un nombre de pixels non nuls plus élevé, nous avons étudié les effets de trois autres fonctions d’enveloppe de la modulation sur la trajectoire d’extrémité de la fibre : une fonction racine carrée f2, une fonction racine quatrième f3 et une fonction d’Heaviside f4, c’est-à-dire telle que la tension d’amplitude maximale est appliquée dès le début de l’excitation. Pour chacune de ces fonctions d’enveloppe fi (i = 1,4), nous avons effectué un balayage du PSD et enregistré 21875 positions de la trajectoire de la face de sortie de la fibre à la fréquence d’échantillonnage de la carte NI (250 kHz), ce qui correspond à une durée d’acquisition de 87,5 ms. Le signal de commande et la position de la face de sortie de la fibre mesurée par le PSD suivant un axe pour chaque fonction de modulation d’amplitude sont représentés dans la figure 4.30 tandis que les trajectoires 2D de la fibre sont représentées dans la figure 4.31.

Comme on pouvait le prévoir et comme le confirment les évolutions des positions suivant un axe montrées dans les figures 4.27 b, 4.30 b, d et f, plus la pente de l’enveloppe du signal d’excitation sinusoïdal est élevée, plus l’extrémité de la fibre s’éloigne vite de l’axe (position au repos). Or les pentes à l’origine des fonctions enveloppes fi augmentent avec l’indice i attribué à ces fonctions. Ainsi, la densité de points diminue dans la zone centrale et elle augmente dans la périphérie, lorsqu’on passe de la fonction d’enveloppe f1 à la fonction f4.

Chapitre 4

Figure 4.30 – Signal de commande sinusoïdal modulé par une fonction racine carrée f₂ (a), par une fonction racine quatrième f3 (c) et par une fonction de Heaviside f4 (e) générées par la carte NI (avant amplification). Position de la face de sortie de la fibre suivant un axe mesurée par le PSD pour une modulation par la fonction f2 (b), par la fonction f3 (d) et par la fonction f4 (f).

Figure 4.31 – Trajectoire 2D de la face de sortie de la fibre mesurée avec le PSD pour un balayage de type spirale avec une modulation d’amplitude par une fonction racine carrée (a), par une fonction racine quatrième (b) et par une fonction de Heaviside (c).

Comme pour la modulation linéaire, nous avons évalué le nombre de points de mesure associés à chaque pixel d’une image de 250 x 250 pixels, via la calibration avec le PSD (figure 4.32). Lorsqu’on passe de la fonction de modulation racine carrée à la fonction racine quatrième et à la fonction de Heaviside, le nombre de pixels auxquels sont associées plus d’une position du bras de fibre devient de moins en moins important. Plus particulièrement, on constate une nette diminution du nombre de pixels au centre de l’image auxquels sont associées plus de 10 positions mesurées du bras de fibre (points de mesure). Le nombre maximal de points de mesure associés à un pixel donné est beaucoup plus faible que dans le cas de la modulation linéaire (859). En effet, ce nombre est égal respectivement à 147, 80 et 37 pour la fonction racine carrée, la fonction racine quatrième et la fonction d’Heaviside.

Figure 4.32 – Nombre de points de mesure associés à chaque pixel pour un balayage de type spirale avec une modulation d’amplitude par une fonction racine carrée (a), par une fonction racine quatrième (b) et par la fonction d’Heaviside (c).

Pour finir cette étude, nous avons déterminé le nombre de pixels non nuls, c’est-à-dire le nombre de pixels auxquels est associé au moins un point de mesure, dans le champ de vue pour chaque modulation. Les résultats obtenus sont rassemblés dans le tableau 4.6. Le

Chapitre 4

pourcentage de pixels non nuls sur l’ensemble du champ est égal à 30 % pour la modulation linéaire alors qu’elle atteint 38,5 % avec la modulation par la fonction d’Heaviside. Dans ce dernier cas, les pixels non nuls sont répartis de la façon la plus homogène dans l’image car le rapport du nombre de pixels non nuls dans la partie centrale de l’image sur le nombre de pixels non nuls dans la partie externe est le plus petit. Pour notre application, nous choisissons donc de moduler l’amplitude de la tension d’excitation par la fonction d’Heaviside, c’est-à-dire d’appliquer une tension d’amplitude constante et maximale dès l’instant t = 0.

Pourcentage de pixels non nuls (%) Fonction de modulation Totalité Partie centrale Partie externe

linéaire 30 57,5 20

racine carrée 35 58 27,5

racine quatrième 38 54 32,5

Heaviside 38,5 42 37

Tableau 4.6 – Pourcentage de pixels non nuls pour chaque fonction de modulation.