Choix des matrices de pondération Q et R

)) ( ( ) ( 1 d N k x K k z h k u _{i i} r i i + − =

∑

∑

vérifiant pour tout k , les propriétés de somme convexe et d’activation des fonctions d’appartenance (cf. expression (4.48)).

En prenant en compte l’expression (4.67), le schéma général de la structure de commande PDC avec action intégrale, pour les sous modèles linéaires affines, ainsi obtenu est représenté par la Figure 4.4.

Figure 4.4. Schéma général de la commande PDC avec action intégrale pour des sous modèles affines

4.2.4. Choix des matrices de pondération Q et R

Il est clair que les valeurs des matrices K^~ et N^~ dans la loi de commande (4.70) dépendent du choix des matrices Q^~ et R qui doit être fait a priori. Afin de pondérer l’état élargie x~_k et l’entrée u_k, ces deux matrices doivent être définies positives.

164 Commande floue TS basée sur modèle

Pour simplifier le test de positivité, on pourra éventuellement se limiter au choix de deux matrices diagonales, avec tous les éléments de la diagonale principale positifs, de la forme :

) , , , (q₁ q₂ q_n diag Q⁼ K ^, R⁼diag(r₁,r₂,K,r_m) (4.73)

Dans ces conditions :

- Plus q_i est grand, plus le retour vers zéro de la variable x~_i correspondante sera rapide.

- Plus r_j est grand, plus la commande u_j correspondante sera de faible amplitude. Si le i-ème élément de x~_k et le j-ème élément de u_k ont un maximum permit, respectivement max(^~x_i) et max(u_j), alors on peut adopter le choix initial suivant [BRY69]:

(

)

(

)

i x r u

q = = _(4.74)

Il faut remarquer que la méthode proposée pour calculer la structure de commande suppose en effet que les changements de consignes sont effectués sous forme d’échelons. Pour des applications industrielles, il s’avère qu’un réglage fin des matrices de pondération est souhaitable pour conférer au système, lors des changements de consignes, une évolution dynamique correcte en même temps que des amplitudes d’actions compatibles avec une utilisation pratique. Dans ce cas, les études en simulation se montrent un outil précieux pour évaluer et améliorer le comportement attendu du système.

Lorsque la loi de commande doit être utilisée pour une fonction d’asservissement (avec des modifications imposées au vecteur de consignes), il semble probable que la maîtrise du système dans ces conditions soit beaucoup plus difficile. Un ajustement des matrices Q^~ et R

intervenant dans le critère quadratique pourrait s’appliquer dans certains cas, mais il faut noter que le réglage des ces matrices doit satisfaire un compromis entre les amplitudes supportés par les actionneurs et la performance globale de la boucle. Ainsi par exemple, une augmentation des valeurs des coefficients de la matrice R par rapport à ceux de la matrice Q^~, pénaliserait les entrées, mais en même temps cela pourrait donner une faible pondération des écarts entre consignes et mesures. A ce moment, la compensation des perturbations pourrait devenir très lente par rapport aux performances potentielles de la structure de commande choisie.

Pour conserver un fonctionnement correct dans les différents cas envisagés, une solution intéressante consiste à introduire dans la structure de commande un modèle de référence ayant pour entrées le vecteur de consignes r_k et pour sorties la forme d’évolution réellement souhaitée pour le vecteur des sorties y_k du procédé [FOU79]. L’inclusion d’un modèle de référence dans la structure de commande permet une bonne séparation entre le problème du choix des boucles de réaction et le problème des performances en asservissement.

Commande floue TS basée sur modèle 165

4.3. Conclusions

Le but de ce chapitre n’était pas d’être exhaustif, mais d’exposer quelques principes de base concernant les différentes possibilités qu’offrent les modèles flous de type Takagi-Sugeno pour la commande des systèmes non linéaires multivariables en utilisant la philosophie de commande du type compensation parallèle distribuée (PDC). Cette approche consiste à utiliser la même partie antécédent des règles que celle du modèle flou de type Takagi-Sugeno, et, dans la partie conclusion, des commandes locales, par retour d’état. Dans ce contexte, chaque sous modèle du modèle flou de type Takagi-Sugeno est stabilisé localement par une loi linéaire.

Dans la première partie du chapitre, nous avons donné un aperçu général en considérant les problèmes de la stabilité (analyse) et de la stabilisation quadratique (synthèse d’un régulateur flou) des modèles flous homogènes de type TS. La plupart des travaux font appel, pour vérifier les conditions de stabilité, à la méthode de Lyapunov. Au niveau de la synthèse, la détermination de la loi de commande revient à déterminer pour chaque sous modèle local une matrice de gains de retour d’état. L’un des aspects intéressants de ce type de problèmes consiste en ce que sa formulation peut se faire sous une forme de LMI (Linear Matrix

Inequalities), qui peuvent être résolues d’une façon efficace par des algorithmes⁹³

d’optimisation convexe sous contraintes.

Dans la deuxième partie du chapitre, nous avons abordé le problème de synthèse quadratique de la commande. En utilisant l’approche PDC, nous avons développé une commande sous-optimale linéaire quadratique par retour d’état basée sur un modèle affine TS en temps discret. Pour cela, nous avons proposé trois lois de commande qui tiennent compte du terme indépendant caractéristique (biais) dans la partie conséquent du modèle affine. Les lois de commande sont de type régulateur, régulateur avec compensation de gain statique et régulateur avec action intégrale, ce qui permet l’annulation des erreurs stationnaires de poursuite par rapport à des références de type échelon dans la commande. L’approche retenu permet de calculer d’une façon analytique, la loi de commande multivariable pour des modèles flous affines TS issus de l’application des méthodes d’identification par clustering flou que nous avons abordé dans le chapitre précédent.

La suite de ce rapport est dédiée à l’application de nos travaux de recherche concernant la modélisation et la commande floue de type Takagi-Sugeno, sur le bioprocédé de traitement des eaux usées considéré.

93 Par exemple, la boîte à outils LMI Toolbox de Matlab ou des interfaces LMI telles que SeDuMi (développée au LAAS) ou YALMIP. Pour plus d’information sur des outils logiciels pour l’optimisation en commande, voir par exemple la page Web du projet OLOCEP du LAAS : http://www.laas.fr/OLOCEP/logiciels.htm.

Identification et Commande floues TS du bioréacteur 167 ___________________________________________________________________________

Chapitre 5