Choix de la forme de l’événement

Les modèles présentés dans la section précédente ne sont pas suffisants pour modéliser la réaction autour d’un événement. Par exemple, il est difficile d’adapter la méthode de régression en deux passes à une structure d’erreur plus générale (voir Li et McNally (1999b)). Ces modèles son particulièrement inadaptés quand les dirigeants de la firme ont décidé d’effectuer un événement mais n’ont pas encore déterminé sa forme. C’est notamment le cas pour les rachats d’actions qui peuvent revêtir la forme de tender

est extrêmement difficile à définir. C’est pourquoi nous exposons les techniques d’estimation bayesienne pour ces modèles.

3.3.1 Des modèles plus complexes

Dans cette sous-section, nous exposons une démarche qui repose essentiellement sur les récents travaux de Li et McNally (1999a et b) ainsi que ceux de Scruggs (2000). Comme précédemment, les dirigeants sont supposés rationnels. Ils prennent leur décision en fonction du contexte économique de la firme :

* * 1 si 0 0 si 0 i i i i i i i s x s s x θ ξ θ ξ ′  = + ≥ =  _{= ′ + <} 

où s est une variable latente uniquement observée par les dirigeants de la firme. _i*

Les indices 1 et 0 désigne respectivement la première et la seconde forme de l’événement. Li et McNally (1999) s’intéressent aux rachats d’actions : les deux états considérés correspondent aux deux formes de rachat que les dirigeants peuvent annoncer (tender offer ou open market). Scruggs (2000) suit une logique similaire à propos des obligations convertibles (naked ou underwritten).

Le modèle de décision des dirigeants n’est pas nécessairement binaire et pourrait être aisément généralisé. A titre d’exemple, les dirigeants de la firme peuvent décider d’effectuer un rachat d’action. Les modalités (tender offer ou open market) restent alors à préciser. Le choix est alors ternaire : absence d’événement, rachat d’action sous la forme de tender offer, rachat sous la forme d’open market. Cependant, une telle étude n’a pas encore été réalisée.

La révélation du choix des dirigeants à travers un événement donne lieu à une réaction du marché. Il y a donc deux réactions potentielles qui correspondent aux différents états de la nature envisagés. Ainsi,

1 1 1 1 0 0 0 0 i i i i i i i RA y RA RA y β ε β ε ′ = +  =  _{= ′ +}  (3.11)

où RA désigne la rentabilité du titre i ajustée de la rentabilité du marché, i

Les caractéristiques y et _i0 y sont susceptibles de correspondre à des types différents _i1

de variables. A la suite de Chib et Hamilton (2000), Scruggs (2000) propose la représentation matricielle suivante du modèle :

* 2 0 1 2 0 0 0 0 0 01 2 1 1 1 1 01 1 , i i i i i i s x RA N y RA y ξ ξ ξ ξ ξ θ σ σ σ β σ σ σ β σ σ σ  ′             _′                _ ′ _        ! (3.12)

Ce modèle peut être résumé sous la notation suivante :

(

,

)

i i z ! N β′X Σ (3.13) où z_i = s RA RA_i* _{i0 i1}_′,

[

0 1

]

β = θ β β′ ′ ′′,

(

, 0, 1

)

i i i i X =diag x y y ,

Σ désigne la matrice de variance-covariance.

Il est possible de réduire le nombre de termes à estimer dans la matrice de variance- covariance Σ. Ainsi, le terme σ est fixé arbitrairement à 1, puisque _ξ2 s est de _i*

dimension indéterminée. De plus, Scruggs (2000) montre que le terme σ n’intervient ₀₁ pas dans la fonction de vraisemblance et suggère de contraindre sa valeur à 0. Les termes σ et _ξ0 σ permettent de tester si l’information privée des dirigeants et _ξ1 partiellement révélée par l’événement est corrélée avec la réaction des investisseurs. En conséquence, les paramètres à estimer sont β =

[

θ β β′ ′ ′_{0 1}

]

′ et σ = σ σ σ σ_ξ0, ₀2, _ξ1, ₁2_.

3.3.2 Estimation bayésienne

Le modèle défini dans la partie précédente est trop complexe pour pouvoir être estimé par les techniques traditionnelles décrites en particulier par Prabhala (1997). C’est pourquoi, Li et McNally (1999b) ainsi que Scruggs (2000) proposent l’emploi de méthodes d’estimation bayésiennes30, en particulier la méthode de data augmentation31 (aussi appelée méthode d’échantillonnage bayésien) et la méthode de Gibbs sampling (aussi appelée méthode d’échantillonnage de Gibbs). Ces deux méthodes appartiennent aux techniques de simulation regroupées sous le label Markov Chain Monte Carlo32(ci- après MCMC).

Dans la suite, nous décrivons l’approche définie par Chib et Hamilton (2000) dont Scruggs (2000) s’est fortement inspiré. On définit les notations suivantes : π β σ est

(

,

)

la densité a priori des paramètres et f RA s

(

, β σ est la fonction de vraisemblance du ,

)

modèle. Dans le cas d’une modélisation gaussienne de la réaction de la réaction du marché :

(

, ,

) (

,

) (

Pr , ,

)

f RA s β σ ∝ f RA β Σ s RA β Σ

Si l’on applique la règle de Bayes, la densité a posteriori des paramètres est obtenue par la formule :

(

)

_{( ) ( )}( ) ( )₍

(

, ,

₎

)

( ) ( )

(

)

, , , , , , f RA s RA s f RA s f RA s d d π β π σ β σ π β σ π β π σ β σ π β π σ β σ β σ = ∝

∫∫

(3.14) La densité a posteriori ne pouvant pas être calculée de manière analytique, Chib et Hamilton (2000) propose une estimation à l’aide des MCMC. π β σ

(

, RA s,

)

est appelée distribution cible. Les MCMC consistent à définir une chaîne de Markov dont la distribution limite invariante est identique à la distribution cible. Un grand nombre d’itérations de cette chaîne de Markov est effectuée à l’aide de simulations de Monte Carlo. Deux phases sont à distinguer : une première phase de transition appelée burn-in

qui comporte de l’ordre de 1000 itérations et une seconde phase comportant de l’ordre 10000 itérations qui permet l’obtention d’un échantillon représentatif de la distribution cible. C’est à l’aide de cet échantillon que des inférences statistiques sur les différents paramètres peuvent être effectuées.

La première étape de l’estimation consiste à procéder à une augmentation de l’espace des paramètres via la technique de data augmentation. Définissons le vecteur z _i*

comme le vecteur contenant les éléments inobservés de z . Si _i s_i =1, alors on observe la réaction du marché RA . i1

*

i

z est alors composé de la variable latente s de la réaction i*

0

i

RA qui aurait été observée en l’absence d’événement. Notons

{ } (

z_i* = z₁*,K,z_n*

)

le vecteur des variables inobservées33 qui sont rajoutées à l’espace des paramètres.

Il reste à définir les densités a priori des paramètres. La distribution a priori de β est une loi normale multivariée N

(

β0,B0

)

, celle de σ une loi normale multivariée

tronquée N g G

(

₀, ₀

) ( )

I_S σ où S désigne le sous-espace de ! tel que 4 Σ est définie positive et I est la fonction indicatrice qui prend pour valeur 1 lorsque _S σ∈S et 0 sinon34. En règle générale, les hyperparamètres

(

β₀,B g G₀, ₀, ₀

)

doivent être assignés de manière subjective.

Comme les rentabilités boursières quotidiennes présentent des distributions leptokurtiques, Scruggs (2000) propose de relâcher l’hypothèse de normalité du vecteur

i

z . Il propose l’emploi d’une distribution de Student multivariée de location β′Xi,

d’échelle Σet de ν degrés de liberté. Albert et Chib (1993) montrent qu’une telle distribution se déduit d’un mélange de distribution normale et d’une loi gamma. Plus précisément,

(

1

)

, i i i z ! N β′X λ−Σ (3.15)

30 _{Pour des rappels concernant la statistique bayésienne, voir en particulier Gelman, Carlin, Stern et Rubin (1995)}

ainsi que Bernardo et Smith (1995).

31

où

{ } (

λ_i = λ₁,K,λ_n

)

sont des variables aléatoires indépendantes issues d’une distribution gamma ,

2 2

ν ν

 

Γ_ _ dont la densité est

( )

2 1 2 i

i i e

νλ ν

π λ ∝λ − − .

Afin d’estimer un tel système, Chib et Hamilton (2000) augmentent l’espace des paramètres de

{ }

*

i

z et de

{ }

λ . La densité cible s’exprime alors comme : _i

{ }

{ }

(

*

)

( ) ( )

( ){ }

*

( ){ }

(

{ }

*

{ })

, , z_i , _i y s, z_{i i} f RA s, , , z_i , _i

π β σ λ ∝π β π σ π π λ β σ λ (3.16)

Scruggs (2000) définit la distribution a priori des paramètres β à l’aide d’une loi normale multivariée. La difficulté est plus importante pour les termes de la matrice de variance-covariance. En effet, il est nécessaire que cette matrice soit définie positive. Par conséquent, il choisit la distribution a priori comme une distribution normale multivariée tronquée aux régions de ! telles que la matrice de variance-covariance 4 soit définie positive.

La distribution empirique des paramètres est obtenue à l’aide de la méthode d’échantillonnage de Gibbs. Les étapes de cette méthode sont les suivantes :

1. Initialisation des paramètres β , Σ,

{ }

λ et _i

{ }

z*_i . Les paramètres β correspondent aux solutions obtenues par MCO, de même que les paramètres

{ }

z_i* . Σ est une matrice identité et λi = ∀1 i.

2. β est alors tiré de la distribution π β

(

y s, , ,Σ

{ }

z*_i ,

{ }

λ_i

)

.

3. σ est tiré de la distribution π σ

(

y s, , ,β

{ }

zi* ,

{ }

λ suivant l’algorithme de i

)

Metropolis-Hastings.

4. Les paramètres λ sont tirés indépendamment de _i π λ

(

_i y s, , , ,β Σ

{ }

z_i*

)

. 5.

{ }

zi* est tiré indépendamment de

({ }

{ })

*

, , , ,

i i

z y s

π β Σ λ

6. Les points 2 à 5 sont itérés avec les valeurs les plus récentes des variables conditionnelles. L’algorithme s’arrête à l’issu des 11000 itérations (burn-in et phase normale)

Cette échantillonnage permet l’obtention des distributions empiriques des différents paramètres. Il est alors possible de tester la nullité des paramètres en utilisant la

distribution simulée. Il suffit de définir le seuil de rejet et par conséquent les valeurs critiques correspondantes à l’aide de la distribution empirique.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les modèles qui permettent de tenir compte de l’anticipation partielle de l’événement lorsque celui-ci résulte d’une décision rationnelle des dirigeants. Les travaux de Prabhala (1997) ont montré que négliger ce type de phénomène est susceptible de remettre en cause les résultats obtenus par les études d’événement classiques. C’est pourquoi, à la suite d’Acharya (1988), une modélisation capable de rendre compte de l’anticipation partielle a été proposée. Toutefois, cette modélisation reste limitée, tant dans son champ d’application (les événements décidés rationnellement par les dirigeants) que dans sa mise en pratique. Dans ce dernier cas, il est nécessaire de définir un ensemble de firmes qui auraient pu subir l’événement mais ne l’ont pas subi. Or un tel ensemble est difficilement identifiable. C’est pourquoi dans la suite de cette thèse nous ne tenons pas compte des biais de sélection éventuellement introduits dans les analyses d’événement.

Dans le document Analyse d'événement et dépendances temporelles des rentabilités boursières (Page 84-91)